Quentin DE MUYNCK 1èreS2 Lundi 23/04/2018
Devoir à la Maison 8 Exercice 1 :
1. Soit ABCD un rectangle de centre I et M un point quelconque du plan. Démontrer que M A2 +M C2 = M B2+M D2.
ABCD étant un rectangle, on aAC =BD
M A2+M C2=M B2+M D2 2M I2+AC2
2 = 2M I2+BD2 2 2M I2+AC2
2 = 2M I2+AC2 2
2. SoitABCDun parallélogramme. À quelle condition a-t-on l'égalitéM D2−M C2=M A2−M B2 pour tout point M du plan.
On pose I le milieu du segment [AB]etJ le milieu du segment[CD]. M D2−M C2=M A2−M B2
2−−→ IM ·−−→
DC= 2−−→
J M·−−→ AB
−−→ IM ·−−→
AB=−−→
J M·−−→
AB car−−→
DC=−−→ AB
−−→ IM·−−→
AB−−−→
J M·−−→ AB= 0 −−→
IM −−−→
J M
·−−→ AB= 0
−→ IJ·−−→
AB= 0⇔−−→ AD·−−→
AB= 0
La dernière égalité nous montre que(IJ)⊥(AB), ce qui revient à(AD)⊥(AB). Or, si un parallélogramme possède un angle droit, alors c'est un rectangle.
Pour que la propriété soit vériée, il faut que ABDC soit un rectangle.
Exercice 2 : C est un cercle de centreO, de rayonr, etA est un point xe du plan.
On cherche à établir la propriété suivante : Quelque soit la droite dpassant par A et coupant le cercle C en deux pointsP etQ, le produit scalaire−→
AP ·−→
AQ reste constant.
1. SoitP0 le point diamétralement opposé à P. Démontrer que −→
AP ·−→
AQ=−→
AP ·−−→
AP0.
Le triangleP QP0 est inscrit dans le cercleC, donc le triangleP QP0 est rectangle enQ.Qest alors le projeté orthogonal deP0 surd. On peut donc écrire−→
AP ·−→
AQ=−→
AP ·−−→
AP0. 1
Quentin DE MUYNCK 1èreS2 Lundi 23/04/2018
2. Démontrer que−→
AP ·−−→
AP0 =AO2−r2
−→AP·−−→
AP0 = 1
2 AP2+AP02−P P02
= 1
2 AP2+AP02−2r2
= 1 2
2AO2+P P02 2 −2r2
(selon le théorème de la médiane)
= 1
2 2AO2−2r2
=AO2−r2
3. −→
AP ·−→
AQ=−→
AP ·−−→
AP0 =AO2 −r2 Ce produit scalaire ne dépend donc que du cercle et de la position du point A. Ceux-ci étant xes, le produit scalaire est constant. Cette quantité s'appelle la puissance de A par rapport au cercleC.
Prolongation :
Soient deux cercles (O, R) et (O0, R0) et un point M du plan. On note P et P0 les puissances respectives de (O, R) et (O0, R0). On note ψ le milieu de OO0. On cherche l'ensemble des points M tels que les puissances des deux cercles soient égales.
P=P0 P−P0= 0 M O2−R2−(M O02+R02) = 0
2−−→
ψM ·−−→
OO0−(R2−R02) = 0 (selon le théorème de la médiane)
2ψM0×OO0=R2−R02 (on pose M' le projeté de M sur OO') ψM0= R2−R02
2OO0
L'ensemble des points M tels que la puissance de M par rapport aux deux cercles soit égale est la droite orthogonale à la droite des centres passant par le point M' tel que déni par la quantité conjuguéeψM0. Cette droite est l'axe radical des deux cercles.
Remarque : Si les cercles ont le même rayon, alors la droite est la médiatrice de OO0. Si les cercles sont tangents ou sécants, leur·s point·s d'intersection vérie·nt P=P0 = 0 et se trouve·nt sur l'axe radical.
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