Soit ABCD un rectangle de centre I et M un point quelconque du plan

Quentin DE MUYNCK 1^èreS2 Lundi 23/04/2018

Devoir à la Maison 8 Exercice 1 :

1. Soit ABCD un rectangle de centre I et M un point quelconque du plan. Démontrer que M A² +M C² = M B²+M D².

ABCD étant un rectangle, on aAC =BD

M A²+M C²=M B²+M D² 2M I²+AC²

2 = 2M I²+BD² 2 2M I²+AC²

2 = 2M I²+AC² 2

2. SoitABCDun parallélogramme. À quelle condition a-t-on l'égalitéM D²−M C²=M A²−M B² pour tout point M du plan.

On pose I le milieu du segment [AB]etJ le milieu du segment[CD]. M D²−M C²=M A²−M B²

2−−→ IM ·−−→

DC= 2−−→

J M·−−→ AB

−−→ IM ·−−→

AB=−−→

J M·−−→

AB car−−→

DC=−−→ AB

−−→ IM·−−→

AB−−−→

J M·−−→ AB= 0 −−→

IM −−−→

J M

·−−→ AB= 0

−→ IJ·−−→

AB= 0⇔−−→ AD·−−→

AB= 0

La dernière égalité nous montre que(IJ)⊥(AB), ce qui revient à(AD)⊥(AB). Or, si un parallélogramme possède un angle droit, alors c'est un rectangle.

Pour que la propriété soit vériée, il faut que ABDC soit un rectangle.

Exercice 2 : C est un cercle de centreO, de rayonr, etA est un point xe du plan.

On cherche à établir la propriété suivante : Quelque soit la droite dpassant par A et coupant le cercle C en deux pointsP etQ, le produit scalaire−→

AP ·−→

AQ reste constant.

1. SoitP⁰ le point diamétralement opposé à P. Démontrer que −→

AP ·−→

AQ=−→

AP ·−−→

AP⁰.

Le triangleP QP⁰ est inscrit dans le cercleC, donc le triangleP QP⁰ est rectangle enQ.Qest alors le projeté orthogonal deP⁰ surd. On peut donc écrire−→

AP ·−→

AQ=−→

AP ·−−→

AP⁰. 1

Quentin DE MUYNCK 1^èreS2 Lundi 23/04/2018

2. Démontrer que−→

AP ·−−→

AP⁰ =AO²−r²

−→AP·−−→

AP⁰ = 1

2 AP²+AP⁰²−P P⁰²

= 1

2 AP²+AP⁰²−2r²

= 1 2

2AO²+P P⁰² 2 −2r²

(selon le théorème de la médiane)

= 1

2 2AO²−2r²

=AO²−r²

3. −→

AP ·−→

AQ=−→

AP ·−−→

AP⁰ =AO² −r² Ce produit scalaire ne dépend donc que du cercle et de la position du point A. Ceux-ci étant xes, le produit scalaire est constant. Cette quantité s'appelle la puissance de A par rapport au cercleC.

Prolongation :

Soient deux cercles (O, R) et (O⁰, R⁰) et un point M du plan. On note P et P⁰ les puissances respectives de (O, R) et (O⁰, R⁰). On note ψ le milieu de OO⁰. On cherche l'ensemble des points M tels que les puissances des deux cercles soient égales.

P=P⁰ P−P⁰= 0 M O²−R²−(M O⁰²+R⁰²) = 0

2−−→

ψM ·−−→

OO⁰−(R²−R⁰²) = 0 (selon le théorème de la médiane)

2ψM⁰×OO⁰=R²−R⁰² (on pose M' le projeté de M sur OO') ψM⁰= R²−R⁰²

2OO⁰

L'ensemble des points M tels que la puissance de M par rapport aux deux cercles soit égale est la droite orthogonale à la droite des centres passant par le point M' tel que déni par la quantité conjuguéeψM⁰. Cette droite est l'axe radical des deux cercles.

Remarque : Si les cercles ont le même rayon, alors la droite est la médiatrice de OO⁰. Si les cercles sont tangents ou sécants, leur·s point·s d'intersection vérie·nt P=P⁰ = 0 et se trouve·nt sur l'axe radical.

2