Plan du cours
Chapitre 11 :Le produit scalaire dans l’espace
1. Rappels sur le produit scalaire dans le plan (voir révisions 1◦S) 1.1. Définition
1.2. Autres expressions du produit scalaire 1.3. Règles opératoires
1.4. Orthogonalité dans le plan
1.5. Applcations du produit scalaire (th de la médiane, Al Kashi, équation de droite, de cercle) 1.6. Distance d’un point à une droite
Exercices n◦25,28,31,33,38,39,42,43,48,52,54 2. Le produit scalaire dans l’espace
2.1. Définition 2.2. Règles de calcul
2.3. Expresson analytique en base ortnormée Exercices n◦59,60,62,67,69
3. Orthogonalité dans l’espace
3.1. Vecteurs orthogonaux, droites orthgonales
3.2. Droite orthogonale à un plan - Plans orthogonaux 3.3. Projection orthogonale sur un plan
3.4.Projection orthogonale sur une droite 3.5. Equation cartésienne d’un plan 3.6. Demi-espace
Exercices n◦71,75,78,80,82,83 Activités 1, 3, 5, 6
L’essentiel du cours
Revoir le cours de première dans le livre de révisions proposé Dans le chapitre qui suit,−→u ,−→v ,−→w sont des vecteurs de l’espace.
1. Définition et différentes expressions du produit scalaire dans l’espace :
Deux vecteurs sont toujours coplanaires. Le produit scalaire défini dans le plan mettant en jeu deux vecteurs, le produit scalaire de ces deux vecteurs dans l’espace est égal à leur produit scalaire dans un plan qui les contient.
Ainsi,
⎧⎨
⎩
−
→u ·−→v =k−→uk × k−→vk si−→u et−→v sont colinéaires de même signe
−
→u ·−→v =−k−→uk × k−→vk si−→u et−→v sont colinéaires de signes contraires
−
→u ·−→v =−→u ·−→ v0 où−→
v0 est le projeté orthogonal de−→v sur−→u .(−→u et−→
v0 sont donc colinéaires) On a aussi −→u ·−→v =k−→uk × k−→vk ×cos (−→u ,−→v)
Et dans unrepère orthonormal,si−→u
⎛
⎝ x y z
⎞
⎠et−→v
⎛
⎝ x0 y0 z0
⎞
⎠,alors −→u ·−→v =xx0+yy0+zz0
Propriété importante : −→u2=k−→uk2 et en repère orthonormal, −→u2=k−→uk2=p
x2+y2+z2 2. Règles opératoires:
−
→u ·−→v =−→v ·−→u
−
→u ·(−→v +−→w) =−→u ·−→w+−→v ·−→w (k−→u)·−→v =k(−→u ·−→v)
3. Orthogonalité dans l’espace:
¥Droites orthogonales : si(D−→u)et(D−→v)sont des droites de vecteurs directeurs respectifs−→u et−→v , (D−→u)et(D−→v)sont orthogonales si et seulement si−→u ·−→v = 0.
¥Droite orthogonale à un plan :si(P)est le plan de base(−→v ,−→w),donc−→v et−→w coplanaires et non colinéaires, (D−→u)et(P)sont orthogonaux si et seulement si−→u ·−→v = 0et−→u ·−→w = 0
On dit alors que−→u est un vecteur normal au plan(P).
¥Plans orthogonaux : Si(P)et(P0)sont des plans de vecteurs normaux respectifs−→n et −→ n0 (P)et(P0)sont orthogonaux si et seulement si−→n ·−→
n0 = 0
¥Projection orthogonale d’un point sur un plan :
P
M
M’
Le projeté orthogonal deM sur(P)est le pointM0 défini par :
½ M0∈(P)
(M M0) orthogonale à (P)
¥Projection orthogonale d’un point sur une droite :
P
M M’
(D)
Le projeté orthogonal deMsur(D)est le pointM0défini par: :
½ M0∈(D)
(M M0) perpendiculaire à (D) (dans le plan passant parM et 3. Equation cartésienne d’un plan:
¥Le plan passant parAet de vecteur normal −→n est l’ensemble des pointsM tels que−−→AM·−→n = 0
¥Dans un repère³
O;−→i ,−→j ,−→ k´
si−→n
⎛
⎝ a b c
⎞
⎠
Un plan de vecteur normal−→n est l’ensemble des pointsM(x, y, z)tels que ax+by+cz+d= 0 (équation cartésienne du plan)
¥Distance d’un pointAà un plan(P)
Le plan est ici muni durepère orthonormal³
O;−→i ,−→j ,−→ k´ Si A(xA, yA, zA)et(P)d’équation cartésienneax+by+cz+d= 0,
la distance deAà(P)est : d(A, P) =|axA√+byA+czA+d| a2+b2+c2
