Définition du produit scalaire – Cours et formation gratuit

Produit Scalaire : Rappels et Applications

I. D´ efinition du produit scalaire

D´ efinition

1)Leproduit scalairede deux vecteurs~uet~vnon nuls est le r´eel, not´e~u~v(ou^x~u, ~v^y) d´efini par :

~

u~v^||~u^||||~v^||cos^p~u, ~v^q Si~u^ÝÑ0 ou~v^ÝÑ0 alors~u~v0

On appelle carr´e scalaire et on note~u²le produit scalaire~u~u

2)En notant~u^ÝIA,^Ñ ~v^ÝIB^Ñet H le projet´e orthogonal de B sur (IA) :

~

u~v^ÝIA^ÑÝIH^Ñ

"

IAIH si^ÝIA^Ñet^ÝIH^Ñont le mˆeme sens

IAIH si^ÝIA^Ñet ^ÝIH^Ñsont de sens contraire

II. Calcul

Quels que soient les vecteurs~u, ~v, ~wet les r´eelsαetβ : a)~u~v~v~u

b)^pα~u^qpβ~v^qαβ^p~u~v^q c) ~u^p~v w~^q~u~v ~uw~ d)^p~u ~v^q2~u² 2~u~v ~v² e) ^p~u ~v^qp~u~v^q~u²~v²

III. Orthogonalit´ e

~

u^K~v^ðñ~u~v0

IV. Vecteur normal

Un vecteur non nul est dit normal `a une droite D s’il est orthogonal `a un vecteur directeur de D.

V. Application ` a l’analyse

Soient un rep´ere orthonormal ,~u^pxuyu^qet~v^pxvyv^q. On a :

~

u~vxuxv yuyv

VI. Coordonn´ ee d’un vecteur normal

Soit D la droite d’´equation ax by c0 dans un rep`ere orthonormal . Alors<sup>ÝÑ</sup>n<sup>p</sup>a, b<sup>q</sup>est normal `a D

VII. Th´ eor´ eme d’Al Kashi

Soit ABC un triangle quelconque . On a :

BC²AB² AC²2ABACcos^pÝAB,^{ÝÑ Ý}AC^Ñq AB²BC² AC²2BCACcos^pÝCA,^{Ñ Ý}CB^ÝÑq AC²AB² BC²2ABBCcos^pÝBA,^{ÝÑ Ý}BC^ÝÑq

VIII. Th´ eor´ eme de la m´ ediane

Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC] .

Fiche issue dehttp://www.ilemaths.net 1

On a :

AB² AC²2AI^{2 1}₂BC²

IX. Aire d’un triangle

Aire^pABC^{q 1}₂ABACsin^pA^pq

X. Applications

Dans chaque cas, d´eterminons l’ensemble des points M v´erifiant l’´egalit´e :

a) M AM B 0

ðñM AM B

L’ensemble des points M forme la m´ediatrice de [AB]

b)^ÝAB^ÝÑÝAM^ÝÑ0

ðñ ÝÝÑ

AB^KÝAM^ÝÑ

L’ensemble des points M est la droite perpendiculaire `a (AB) passant par A

c) ^ÝM A^ÝÑÝM B^ÝÑ0 (1)

En introduisant I milieu de [AB] :

(1)^ðñ

ÝÝÑ

M I ^ÝIA^Ñ

ÝÝÑ

M I ^ÝIB^Ñ 0

ðñM I^{2 Ý}M I^ÝÑ

ÝÑ

IA ^ÝIB^{Ñ Ý}IA^ÑÝIB^Ñ0

Comme I est le milieu de [AB] , ^ÝIA^{Ñ Ý}IB^ÑÑÝ0 donc^ÝM I^ÝÑ

ÝÑ

IA ^ÝIB^Ñ 0 De plus , comme A , I et B sont align´es dans cet ordre ,cos^pÝIA,^{Ñ Ý}IB^Ñq1 On en d´eduit :

ÝÑ

IA^ÝIB^Ñ||ÝIA^Ñ||||ÝIB^Ñ||

soit :

ÝÑ

IA^ÝIB^ÑAB₄² Il advient :

(1)^ðñM I^2AB₄² 0

ðñM I^2AB₄²

ðñM I¹₂AB

L’ensemble des points M estle cercle de diam`etre [AB]

d)M A² M B²apour tout a positif(2)

On introduit le milieu I du segment [AB] :

(2)^ðñ

ÝÝÑ

M I ^ÝIA^{Ñ 2}

ÝÝÑ

M I ^ÝIB^{Ñ 2}a

ðñ2MI² 2^ÝM I^ÝÑpÝIA^{Ñ Ý}IB^Ñ

Ý

Ñ0^q IA² IB²a

ðñ2MI² IA² IB²a

ðñ2MI²aIA²IB²

SiaIA²IB² 0, l’´equation n’aura pas de solution. L’ensemble des points M est l’ensemble vide.

SiaIA²IB^2¡0,(2)^ðñM I

b

aI A2I B2

2

L’ensemble des points M repr´esentele cercle de centre I et de diam`etre

b

aI A2I B2

2

SiaIA²IB²0, l’ensemble des points M est r´eduit au point I.

e) M A²M B²apour tout a r´eel.(3)

Mˆeme technique que pour led), on introduit le point I milieu de [AB].

On obtient alors :

(3)^ðñ

ÝÝÑ

M I ^ÝIA^Ñ

2

ÝÝÑ

M I ^ÝIB^Ñ

2

a

En utilisant l’identit´e remarquable~u²~v^2p~u~v^qp~u ~v^q:

ðñ

ÝÝÑ

M I ^ÝIA^ÑÝM I^ÝÑÝIB^Ñ

ÝÝÑ

M I ^ÝIA^{Ñ Ý}M I^{ÝÑ Ý}IB^Ñ a

ðñ2^ÝBA^ÝÑÝM I^ÝÑa

ðñ ÝÝÑ

BA^ÝM I^{ÝÑ a}₂

Fiche issue dehttp://www.ilemaths.net 2

Soit H le projet´e orthogonal de M sur la droite (AB).

(3)^ðñ

ÝÝÑ

BA^ÝHI^Ña 2

L’ensemble des points M estla droite perpendiculaire `a (AB) telle que HI = ^|a^| 2BA.

Fiche issue dehttp://www.ilemaths.net 3