Question de cours : Énoncer le théorème de la bijection

(1)

1. SUJETS DE L’OPTION SCIENTIFIQUE

Exercice principal S46

1. Question de cours : Énoncer le théorème de la bijection.

2.a) Justiﬁer la convergence de l’int´egrale

∫ +∞ 0

e⁻ ^t

2

8 dtet en donner la valeur.

b) Établir l’inégalité stricte :

∫ +∞ 1

e⁻ ^t

2

8 dt >1.

3. Établir pour toutn∈N^∗, l’existence d’un unique réelu_n vérifiant

∫ un

1n

e⁻ ^t

2

8 dt= 1 n. 4.a) Établir pour toutn∈N^∗, les inégalités :(

u_n− 1 n

)e⁻

u²_n 8 6 1

n6( u_n− 1

n )e⁻

1 8n². b) En déduire queu_n est équivalent à 2

n quandntend vers +∞. 5. Trouver un équivalent de la différence(

un− 2 n

), quandntend vers +∞, de la forme α

n^β oùαetβ sont des réels, indépendants den, à déterminer.

Exercice sans pr´eparation S46

SoitX une variable aléatoire à valeurs positives, admettant une densitéf et vérifiant la propriété suivante : la variable aléatoireX+ 1

X possède une espérance mathématique.

1. Établir l’inégalité :E (

X+ 1 X

)

>2.

2. Montrer que l’inégalité précédente n’est jamais une égalité, mais que E (

X+ 1 X

)

peut prendre des valeurs arbitrairement proches de 2.

(2)

1. Question de cours : Développement limité d’ordre 1 d’une fonctionf :R²−→Rde classeC¹. Soitf l’application deR² dansRdéfinie par :∀(x, y)∈R², f(x, y) = (2x−y)²e^2x⁻^y.

2.a) Justifier quef est de classeC¹ surR² et vérifier que : ∀A∈R², ∂f

∂x(A) + 2∂f

∂y(A) = 0.

b) Montrer quef possède une infinité de points critiques. Trouver ceux en lesquelsf admet un extremum local ou global.

3. Soit (α, β) un couple de réels différent de (0,0) etg une fonction de classeC¹ surR², à valeurs réelles vérifiant :∀A∈R², α∂g

∂x(A) +β∂g

∂y(A) = 0.

Pour tout couple (u, v)∈R², on pose :h(u, v) =g(αu−βv, βu+αv).

a) Montrer queh(u+ε, v) =h(u, v) +o(ε) (quandεtend vers 0).

b) En d´eduire l’existence d’une fonctionφde classeC¹ surRtelle que :∀(u, v)∈R², h(u, v) =φ(v).

4. Montrer quef est la seule fonction de classeC¹ surR²v´eriﬁant :





∀A∈R², ∂f

∂x(A) + 2∂f

∂y(A) = 0

∀t∈R, f(0, t) =t²e⁻^t

.

SoitX et Y deux variables aléatoires indépendantes, définies sur un espace probabilisé(

Ω,A, P)

et de mˆeme loiN(0,1).

On pose :M =



0 X 0

Y 0 0

0 0 0



.

1. CalculerP(X =Y) etP(XY >0).

2. Trouver la probabilit´e que la matriceM soit diagonalisable.

(3)

1. Question de cours : Inégalité des accroissements finis pour une fonction réelle d’une variable réelle.

Soitf une fonction définie et continue sur ]0,1], à valeurs dansR, telle que l’intégrale

∫ 1 0

f(t) dtsoit convergente.

Pour tout entiern>1, on pose :u_n(f) =

∑n k=1

f (k

n )

−n

∫ 1 0

f(t) dt.

2.a) Proposer une interpr´etation de un(f)

n en terme d’aires et indiquer sa limite lorsquentend vers +∞, dans le cas o`u f admet un prolongement continu au segment [0,1].

b) On suppose dans cette question quef est la fonctiont7→t². Calculerun(f) et v´eriﬁer que la suite(

un(f))

n∈N^∗ est born´ee.

3. Dans cette question,f est une fonction continue positive et croissante sur ]0,1].

a) Justiﬁer la convergence de l’int´egrale

∫ 1 0

f(t) dt.

b) Montrer que la suite( un(f))

n∈N^∗ est positive et major´ee.

4. En utilisant l’inégalité des accroissements finis, montrer que si f admet un prolongement de classe C¹ au segment [0,1], alors la suite(

un(f))

n∈N^∗ est born´ee.

5. Pour tout réel α, on notefαla fonction définie sur ]0,1] parfα(t) =t^α. Déterminer pour quelles valeurs deαl’intégrale

∫ 1 0

fα(t) dtest convergente et la suite(

un(fα))

n∈N^∗ born´ee.

SoitE un espace euclidien dont le produit scalaire est noté⟨,⟩. On noteL(E) l’ensemble des endomorphismes deE etA(E) l’ensemble des élémentsf deL(E) qui vérifient :

∀(x, y)∈E²,⟨f(x), y⟩=−⟨x, f(y)⟩.

1. Que peut-on dire de la matrice d’un élémentf ∈ A(E) dans une base orthonormée deE?

2. On noteC(E) l’ensemble des endomorphismesg deE qui commutent avec tous les ´el´ements deA(E), c’est-

`

a-dire qui v´eriﬁent :

∀f ∈ A(E), f◦g=g◦f .

a) Montrer que lorsque la dimension deE est ´egale `a 2,C(E) est un plan vectoriel deL(E) qui contientA(E).

b) TrouverC(E) lorsque la dimension deE est strictement sup´erieure `a 2.

(4)

1. Question de cours : Rappeler la définition d’un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien. Que peut-on dire de sa matrice dans une base orthonormale ?

L’espace vectorielR⁵est muni du produit scalaire usuel, not´e⟨,⟩, pour lequel la base canonique est orthonormale.

SoitM =







0 −1 0 0 0

1 0 −1 0 0

0 1 0 −1 0

0 0 1 0 −1

0 0 0 1 0





etφl’endomorphisme deR⁵dontM est la matrice dans la base canonique.

2.a) Montrer que la matriceM n’est pas inversible.

b) Montrer que l’endomorphismeφ²=φ◦φest sym´etrique.

3.a) Montrer que pour tout couple (x, y) de vecteurs deR⁵, on a : ⟨φ(x), y⟩= − ⟨x, φ(y)⟩. b) Montrer que les valeurs propres de l’endomorphismeφ²sont n´egatives ou nulles.

c) En d´eduire queM n’est pas diagonalisable.

4.a) Montrer que le noyau deφet l’image deφsont deux sous-espaces supplémentaires orthogonaux deR⁵. b) Montrer que siλ est une valeur propre non nulle deφ² et xun vecteur propre deφ² associé à λ, alors les deux vecteursxetφ(x) engendrent un plan de R⁵qui est stable par l’endomorphismeφ.

c) ´Etablir l’existence de deux r´eels non nulsαetβ, et d’une base orthonormale deR⁵ dans laquelle la matrice deφest :







0 0 0 0 0

0 0 α 0 0

0 −α 0 0 0

0 0 0 0 β

0 0 0 −β 0





.

SoitX une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé(

Ω,A, P)

qui suit la loi uniforme sur ]−1,+1[.

1. Trouver toutes les fonctionsϕdéfinies, continues et strictement monotones sur ]−1,+1[ telles que la variable aléatoireY =ϕ(X) suive la loi exponentielle de paramètre 1.

2. En déduire une fonction paire ψdéfinie sur ]−1,+1[ telle que la variable aléatoireψ(X) suive aussi la loi exponentielle de paramètre 1.

(5)

1. Question de cours : Rappeler l’énoncé du théorème de la limite centrée.

2. Soit (U_n)_n_∈N∗ et (V_n)_n_∈N∗ deux suites de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé(

Ω,A, P) et convergeant en probabilit´e vers 0.

a) Établir pour toutε >0, l’inégalité :P(|Un+Vn|>ε)6P(|Un|>ε/2) +P(|Vn|>ε/2).

b) En d´eduire que la suite (Un+Vn)n∈N^∗ converge en probabilit´e vers 0.

Dans la suite de l’exercice,θet ρdésignent deux paramètres réels inconnus , avecρ >0.

SoitX une variable aléatoire admettant pour densité la fonctionfθ,ρdéfinie par :

∀x ∈ R, f_θ,ρ(x) = 1 2√

2π (

exp (−1

2

(x−θ−ρ)2) + exp

(−1 2

(x−θ+ρ)2))

, o`u exp d´esigne la fonction exponentielle.

3.a) Montrer queX admet un moment d’ordre 4.

b) Calculer l’espérance de X et montrer que la variance de X est égale à 1 +ρ².

4. Soit (Xn)n∈N^∗ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi queX. On pose pour toutn∈N^∗ :Xn= 1

n

∑n i=1

Xi etRn= 1 n

∑n i=1

(Xi−Xn

)2

−1.

a) Montrer que (R_n)_n_∈N∗ est une suite convergente d’estimateurs deρ². Ces estimateurs sont-ils sans biais ? b) Proposer un intervalle de conﬁance deθ utilisable pour de grands ´echantillons de la loi deX.

Soitn∈N^∗ etaetb deux r´eels tels queab̸= 0. On noteM(a, b) la matrice deMn+1(R) donn´ee par :

M(a, b) =







0 a a · · · a b 0 0 · · · 0 ... ... ... · · · ... b 0 0 · · · 0





. 1.a) CalculerM(a, b)²

b) Montrer queM(a, b)²est diagonalisable et trouver ses valeurs propres.

2. Montrer queM(c, d) =







0 c c · · · c d 0 0 · · · 0 ... ... ... · · · ... d 0 0 · · · 0





est semblable `aM(a, b) si et seulement siab=cd.

(6)

1. Question de cours : Définition et propriétés des endomorphismes symétriques d’un espace euclidien.

2. Dans cette question,E d´esigne l’espace vectoriel R³ que l’on munit du produit scalaire usuel pour lequel la base canonique (e1, e2, e3) est orthonorm´ee.

Soitul’endomorphisme de R³d´eﬁni par :

∀(x1, x2, x3)∈R³, u(x1, x2, x3) = (x1+x2+ 2x3, x1−x2,2x1+ 2x3). a) Trouver la matrice deudans la base canonique et en d´eduire queuest sym´etrique.

b) D´eterminer une base de Keru, puis montrer que(

u(e1), u(e2))

est une base orthogonale de Imu.

c) D´eterminer la matrice du projecteur orthogonal sur Imudans la base canonique deR³. Dans la suite de l’exercice,(

E,⟨,⟩)

est un espace euclidien et on note∥ ∥la norme euclidienne associ´ee au produit scalaire⟨,⟩.

3. SoitF un sous-espace vectoriel deE,xun vecteur deE ety=pF(x) la projection orthogonale dexsurF. Montrer que pour toutz∈F, on a : ∥x−z∥>∥x−y∥, avec ´egalit´e si et seulement siz=y.

4. Soituun endomorphisme sym´etrique de( E,⟨,⟩)

. On noteple projecteur orthogonal sur Imu.

a) Montrer que Keruet Imusont suppl´ementaires et orthogonaux.

b) Soitx∈E. Justifier l’existence d’un vecteury0∈Etel queu(y0) =p(x) et trouver parmi les vecteursy∈E vérifiantu(y) =p(x), celui qui a la plus petite norme ; on le notev(x).

c) Montrer quev est lin´eaire, puis calculeru◦v etu◦v◦u.

d) Calculerp(x) etv(x) pourx= (1,1,1), lorsqueuest l’endomorphisme deR³de la question 2.

SoitX une variable aléatoire possédant une densité de probabilité continue surRet nulle hors de l’intervalle ]−1,+1[.

1. Montrer queX poss`ede une variance, qui est strictement comprise entre 0 et 1.

2. Montrer que toute valeur de l’intervalle ouvert ]0,1[ est eﬀectivement possible pour la variance deX.

(7)

1. Question de cours : Définition de la limite d’une suite de nombres réels.

2. Soit (un)n∈N^∗ une suite r´eelle born´ee. On pose pour toutn∈N^∗ :vn= sup(uk, k>n).

a) Montrer que la suite (v_n)_n_∈N∗ est convergente.

b) On suppose que la suite (un)n∈N^∗ est positive et que lim

n→+∞vn = 0. Montrer que la suite (un)n∈N^∗ est convergente avec lim

n→+∞u_n= 0.

Soit (Xn)n∈N^∗ une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur un même espace probabilisé(

Ω,A, P) suivant toutes la loi géométrique de paramètrep∈]0,1[.

On note pour toutn∈N^∗ :S_n=

∑n i=1

X_i.

3. Soitε >0. D´eterminer lim

n→+∞P( Sn

n − 1 p

> ε )

.

4.a) Montrer que pour tout entierk>n, on a :P(S_n=k) = (k−1

n−1 )

pⁿ(1−p)^k⁻ⁿ. b) Que vautP(S_n=k) lorsquek < n?

5. Soitf : [1,+∞[−→Rune fonction de classeC¹, bornée et de dérivée bornée sur [1,+∞[.

a) Montrer que pour toutx∈]0,1], la s´erie ∑

k>0

f (

1 + k n

) (k+n−1 n−1

)

(1−x)^k est convergente.

On pose alors pour toutx∈]0,1] :Kn(x) =xⁿ

+∞

∑

k=0

f (

1 + k n

) (k+n−1 n−1

)

(1−x)^k b) ´Etablir l’existence deE

( f

(S_n n

))

et exprimerE (

f (S_n

n ))

en fonction deK_n(p).

c) Soitε >0. Montrer qu’il existe deux r´eels AetB tels que pour toutn∈N^∗, on a : E

( f

(Sn

n ))

−f (1

p

)6A ε+B P( Sn

n − 1 p

> ε )

.

d) Soitt∈[1,+∞[ et (un)n∈N^∗ la suite d´eﬁnie par :∀n∈N^∗, un= Kn

(1 t

)

−f(t)

. Montrer que lim

n→+∞un= 0.

SoitE=R3[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 3.

On pose :F ={P ∈E, P(0) =P(1) =P(2) = 0}, G={P ∈E, P(1) =P(2) =P(3) = 0} etH ={P ∈E, P(X) =P(−X)}.

Montrer queE=F⊕G⊕H.

(8)

1. Question de cours : Th´eor`eme de transfert.

Soitpun réel vérifiant 1

2 < p <1. On pose q= 1−p.

Soit (Xn)n∈N une suite de variables aléatoires réelles indépendantes, définies sur le même espace probabilisé (Ω,A, P)

. On suppose queX0est la variable certaine de valeur 0 et que pour toutn∈N^∗, la variable al´eatoire Xn suit la loi binomiale de param`etresnet p.

Pour toutn∈Net pour touttr´eel, on pose :Y_n= 2X_n−net g_n(t) =E( e⁻^tYⁿ)

, oùE désigne l’espérance..

2. Montrer que pour toutn∈Net pour toutt∈R+, on a :g_n(t) =(

pe⁻^t+qe^t)n

. 3.a) Établir pour toutn∈Net pour tout t∈R+, l’inégalité :P(Y_n60)6g_n(t).

b) Montrer qu’il existeα∈]0,1[ (indépendant den) tel que pour toutn∈N, on a :P(Yn 60)6αⁿ. 4. Dans cette question, soitn∈N^∗ fixé. On pose Z0= 0 etZn = min(Y0, Y1, . . . , Yn).

a) D´eterminerZn(Ω). CalculerP(Zn=−n).

b) Pour toutk∈[[0, n−1]], on pose :A_k=

∪n j=k+1

[Y_j 60]. Montrer que l’on a :P(A_k)6 α^k+1 1−α. c) Soitk∈[[0, n−1]] etr∈[[−n,0]]. Établir les inégalités :

P(Zn =r)6P(

Ak∩(Zn=r))

+P(Zk=r) et E(Zn)>−nαⁿ+E(Zn−1). 5. Montrer que la suite(

E(Z_n))

n∈N^∗ est convergente.

Soitf un endomorphisme deR³ et soitAla matrice def dans la base canonique deR³. On suppose quef n’est pas diagonalisable et qu’il v´eriﬁe : (f−id)◦(f²+ id) = 0.

1. Montrer que Ker(f−id) et Ker(f²+ id) sont suppl´ementaires.

2. Montrer queAest semblable `a



0 −1 0

1 0 0

0 0 1



.

(9)

1. Question de cours : D´eﬁnition des valeurs propres et vecteurs propres d’un endomorphisme.

Soit E un espace vectoriel de dimension n ∈N^∗. On rappelle qu’une forme linéaire de E est une application linéaire deE dansR. On noteE^∗=L(E,R) l’espace vectoriel des formes linéaires deE.

2. D´eterminer la dimension deE^∗.

3. Dans cette question uniquement,E est l’espace vectoriel Rp[X] des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal àp(p∈N).

Soitf etg deux éléments deE^∗ définis par : pour toutP∈E, f(P) =P(0) etg(P) =

∫ 1 0

P(t)dt.

Déterminer une base de Ker(f) et une base de Ker(g). Les formes linéairesf et gsont-elles proportionnelles ? 4. Soitf et gdeux éléments non nuls deE^∗tels que Ker(f)⊂Ker(g) .

a) Montrer que Ker(f) = Ker(g).

b) Soitx₀∈/Ker(f). On pose :h=g(x₀)f−f(x₀)g. Montrer queh= 0. Conclusion.

5. Dans cette question, on consid`ere une matriceA∈ M3(R). On identiﬁeA et l’endomorphisme deR³ ayant pour matriceA dans la base canonique deR³.

Un sous-espace vectorielF deR³est ditstable parAlorsque pour toutX ∈F on aAX∈F.

a) SoitX ∈F avecX ̸= 0. Montrer que Vect(X) est stable parAsi et seulement siX est vecteur propre deA.

b) SoitP le plan deR³ d’équationax+by+cz= 0 avec (a, b, c)̸= (0,0,0) etLla forme linéaire deR³définie parL(x, y, z) =ax+by+cz.

Montrer queP est stable parAsi et seulement si Ker(L)⊂Ker(LA).

En d´eduire queP est stable parAsi et seulement si



a b c



est un vecteur propre de^tA(transpos´ee deA).

Ω,A, P)

suivant la loi normale d’espérancem et de variance égale à 1. Soitbun réel strictement positif fixé.

1. Montrer que ∀a∈R, l’application a7→P(a < X < a+b) admet un maximum atteint en un point a0 que l’on d´eterminera.

2. Exprimer la valeur de ce maximum à l’aide de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

3. Interpréter géométriquement le résultat obtenu.

(10)

Pour n entier supérieur ou égal à 2, on munit Rⁿ du produit scalaire canonique noté ⟨,⟩ et de la norme euclidienne associée notée∥.∥.

SoitF l’espace vectoriel des fonctions définies surRⁿ et à valeurs réelles. On pose :

P ={f :Rⁿ −→R;∀x∈Rⁿ, f(−x) =f(x)}etI ={f :Rⁿ −→R; ∀x∈Rⁿ, f(−x) =−f(x)}. Enfin, on note Hl’ensemble des fonctionsf :Rⁿ−→Rcontinues surRⁿ et telles que, pour tous vecteurs uet v deRⁿ vérifiant ⟨u , v⟩= 0, on a :f(u+v) =f(u) +f(v).

1. Question de cours : Th´eor`eme de Pythagore.

2. ´Etablir les relations :F=P ⊕ I et H= (H ∩ P)⊕(H ∩ I).

3. Soitλ∈R. D´eterminer lim

n→+∞

⌊nλ⌋

n , où⌊nλ⌋désigne la partie entière du réelnλ.

4. Soitg∈ H ∩ I.

a) En exploitant l’hypoth`esen>2, montrer que pour tout vecteurx∈Rⁿ, on a :g(2x) = 2g(x).

b) Montrer que pour tout vecteurx∈Rⁿ et pour toutr∈Q, on a : g(rx) =rg(x).

En d´eduire que pour toutλ∈R, on a :g(λx) =λg(x).

c) Montrer que la fonctiongest lin´eaire.

5. Soith∈ H ∩ P.

a) Soitxety deux vecteurs deRⁿ tels que∥x∥=∥y∥. Calculer ⟨x−y , x+y⟩et en d´eduire queh(x) =h(y).

b) Justiﬁer l’existence d’une fonctionφ:R+−→Rtelle que pour tout vecteurx∈Rⁿ, on a : h(x) =φ(∥x∥²).

c) On admet queφest continue. Montrer que pour tous r´eels positifsset t, on a : φ(s+t) =φ(s) +φ(t).

d) Établir alors l’existence d’une constantec telle que pour toutx∈Rⁿ, on a : h(x) =c∥x∥². 6. En déduire la forme générale de toute fonction f ∈ H.

SoitX1, X2, . . . , Xp (p>2) des variables aléatoires indépendantes définies sur un espace probabilisé(

Ω,A, P) telles que pour touti∈[[1, p]],Xi suit la loi de Poisson de param`etreλi >0.

On pose pour toutp>2 :Sp=

∑p i=1

Xi.

1. Soitn∈N. D´eterminer la loi conditionnelle du vecteur (X₁, X₂, . . . , X_p₋₁) sachant (S_p=n).

2. Soitn∈N. Exprimer l’esp´erance conditionnelleE(X1|X1+X2=n) en fonction de n,λ1 etλ2.

(11)

1. Question de cours : Condition n´ecessaire et suﬃsante pour qu’une matrice soit diagonalisable.

SoitE unC-espace vectoriel de dimensionn(n>2) etφun endomorphisme deE.

On note idE l’endomorphisme identit´e deE, 0E l’endomorphisme nul deE et on pose :φ⁰= idE et pour tout k∈N^∗,φ^k =φ◦φ^k⁻¹.

On dit queφest cyclique s’il existe un vecteurx0∈Etel que la famille(

x0, φ(x0), . . . , φⁿ⁻¹(x0))

soit une base deE.

2. On suppose queφⁿ = 0E etφⁿ⁻¹̸= 0E. a) Montrer queφest cyclique.

b) D´eterminer les valeurs propres deφ. L’endomorphismeφest-il diagonalisable ? 3. On suppose queφest cyclique. Soitψun endomorphisme deE tel queφ◦ψ=ψ◦φ.

En utilisant une base du type (

x0, φ(x0), . . . , φⁿ⁻¹(x0))

, ´etablir l’existence d’un polynˆome P ∈ C[X] tel que ψ=P(φ).

4. On suppose queφest cyclique. On notex0un vecteur deE v´eriﬁant les deux conditions suivantes : (x0, φ(x0), . . . , φⁿ⁻¹(x0))

est une base deEet φⁿ(x0) =x0. a) Montrer queφⁿ= idE. En d´eduire queφest bijectif.

b) Quelles sont les valeurs propres possibles deφ? c) Montrer queφest diagonalisable.

SoitX une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètreλ >0. On pose :Y =⌊X⌋etZ=X−Y. 1. Montrer queY est une variable aléatoire et déterminer sa loi. Que peut-on dire deY + 1 ?

2. Montrer queZ est une variable al´eatoire et d´eterminer sa loi.

3. Les variables al´eatoiresY etZ sont-elles ind´ependantes ?

(12)

1. Question de cours : Donner deux conditions suffisantes et non nécessaires de diagonalisabilité d’une matrice.

Soit n un entier deN^∗ et A = (ai,j)16i,j6n, la matrice deMn(R) telle que pour tout (i, j) ∈ [[1, n]]², on a : ai,j= min(i, j).

2.a) SoitL= (li,j)16i,j6n une matrice triangulaire inf´erieure etU = (ui,j)16i,j6n une matrice triangulaire sup´erieure. On pose :M =L U= (mi,j)16i,j6n.

Montrer que pour tout (i, j)∈[[1, n]]², on a :mi,j =

min(i,j)∑

k=1

li,kuk,j.

b) En d´eduire l’existence d’une matrice triangulaire sup´erieureT telle queA=^tT T.

c) Montrer que les matricesAet T sont de mˆeme rang.

d) Justifier que A est diagonalisable et déduire des questions précédentes que ses valeurs propres sont toutes strictement positives.

e) Justifier l’inversibilité deAet déterminer son inverse.

3. Soit p ∈]0,1[ et X1, X2, . . . , Xn, n variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (

Ω,A, P) , indépendantes et de même loi de Bernoulli de paramètrep.

On pose pour toutk∈[[1, n]],S_k=

∑k i=1

X_i.

On note ΣS la matrice de variance-covariance du vecteur al´eatoire (S1, S2, . . . , Sn).

a) Montrer que les valeurs propres de ΣS sont toutes positives.

b) Pour tout (i, j)∈[[1, n]]², d´eterminer Cov(S_i, S_j).

c) Exprimer ΣS en fonction deA.

1. Soit (u_n)_n_∈N∗ la suite d´eﬁnie par : pour tout n∈N^∗,u_n =

∑n k=1

1

n+k. D´eterminer lim

n→+∞u_n. 2. Soit (vn)n∈N^∗ la suite d´eﬁnie par : pour toutn∈N^∗,vn=

∑n k=1

ln (

1 + 1 n+k

)

. D´eterminer lim

n→+∞vn.

(13)

1. Question de cours : Définition de la convergence d’une série réelle.

Pour toutn∈N^∗, on pose :u_n(x) = xⁿ n.

2.a) D´eterminer l’ensemble des r´eels xpour lesquels la suite( un(x))

n>1converge vers 0.

b) Déterminer l’ensemble des réels xpour lesquels la série∑

n>1

u_n(x) est absolument convergente.

3.a) Soitx∈[−1,1[. Calculer pour tout k∈N^∗,

∫ x 0

t^k⁻¹dtet en d´eduire que sin∈N^∗, on a :

∑n k=1

u_k(x) =−ln(1−x)−

∫ x 0

tⁿ 1−tdt . b) Montrer que six∈[−1,1[, on a : lim

n→+∞

∫ x 0

tⁿ

1−tdt= 0.

c) En d´eduire que∀x∈[−1,1[, la s´erie∑

n>1

un(x) est convergente et donner la valeur de

+∞

∑

n=1

un(x).

4.a) ´Etablir la convergence de la s´erie ∑

n>2

1

n²−1 et calculer

+∞

∑

n=2

1 n²−1. b) Montrer que pour toutx∈[−1,1[, la s´erie ∑

n>2

xⁿ

n²−1 est convergente et calculer sa somme

+∞

∑

n=2

xⁿ n²−1. c) L’applicationf de [−1,1] dansRqui `axassocief(x) =

+∞

∑

n=2

xⁿ

n²−1 est-elle continue ?

On lance une pièce de monnaie équilibréenfois de suite de manière indépendante et on s’intéresse à l’événement En = ”au cours des n lancers, deux Pile successifs n’apparaissent pas”. On note pour tout n ∈ N^∗, Pn la probabilité deE_n.

Trouver une relation entreP_n,P_n₋₁ etP_n₋₂et montrer que lim

n→+∞P_n= 0.

(14)

1. Question de cours : Définition et propriétés d’une fonction convexe sur un intervalle.

Soit f une fonction définie sur R⁺ à valeurs dans R⁺, dérivable et décroissante. On suppose que les deux intégrales

∫ +∞ 0

f(t)dtet

∫ +∞ 0

t²f(t)dtsont convergentes. On veut montrer que pour tout r´eel µ>0, on a : µ²

∫ +∞ µ

f(t)dt61 2

∫ +∞ 0

t²f(t)dt On noteF etGles fonctions d´eﬁnies surR⁺ par :F(x) =

∫ +∞ x

f(t)dtetG(x) =F(√ x).

2. Montrer queF et Gsont d´ecroissantes et convexes surR⁺_∗. 3. En majorantu²G(u²) pour toutu>0, montrer que lim

x→+∞xG(x) = 0.

4.a) ´Etablir pour tout r´eel X>0, la relation :

∫ X 0

G(x)dx=XG(X) +

∫ ^√X 0

t²f(t)dt.

b) En d´eduire la convergence de l’int´egrale

∫ +∞ 0

G(x)dx et l’´egalit´e :

∫ +∞ 0

G(x)dx=

∫ +∞ 0

t²f(t)dt.

5.a) SoitOABun triangle rectangle enOetM un point de son hypoth´enuseAB. On noteP etQles projections orthogonales deM surOAet OB respectivement.

Montrer que l’aire du rectangleOP M Qest toujours inférieure ou égale à la moitié de l’aire du triangleOAB.

b) À partir de considérations géométriques sur la courbe représentative de la fonction convexe G, d´emontrer l’inégalité annoncée en préambule.

1. SoitY une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé(

Ω,A, P)

qui prend les valeurs 0, 1 et 2 avec les probabilit´esp0, p1et p2 respectivement. On suppose queE(Y) = 1 etE(Y²) = 5/3.

Calculerp0, p1 etp2.

2. Soitx0, x1, . . . , xn, (n+ 1) réels distincts et soitφl’application deRn[X] dansRⁿ⁺¹ qui, à tout polynômeQ deRn[X], associe le (n+ 1)-uplet (

Q(x0), Q(x1), . . . , Q(xn)) . a) Montrer queφest une application lin´eaire bijective.

b) D´eterminer la matrice Φ deφdans les bases canoniques respectives deRn[X] etRⁿ⁺¹.

(15)

Exercice principal E20

1. Question de cours : Le sch´ema binomial.

Soit (Xn)n∈N^∗ une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé(

Ω,A, P)

, indépendantes et de même loi de Bernoulli de paramètre 1

2. On pose pour toutn∈N^∗ :Wn =

∑n k=1

kXk etsn= n(n+ 1)

2 .

2.a) Calculer l’espéranceE(Wn) et la varianceV(Wn) de la variable aléatoireWn. b) Calculer les probabilitésP(W_n= 0) et P(W_n=s_n).

c) Calculer selon les valeurs den, la probabilit´eP(Wn= 3).

3. Montrer que pour toutk∈[[0, sn]], on a :P(Wn=k) =P(Wn =sn−k).

4.a) D´eterminer pour toutj ∈[[0, sn]], la loi de probabilit´e conditionnelle deWn+1 sachant (Wn =j).

b) En d´eduire les relations :

P(W_n+1=k) =









 1

2P(W_n=k) sik6n

1

2P(W_n=k) +1

2P(W_n =k−n−1) sin+ 16k6s_n 1

2P(W_n=k−n−1) sis_n+ 16k6s_n+1 .

Exercice sans pr´eparation E20

On pose pour toutn∈N^∗ :S_n =

∑n k=1

k²ln (k

n )

. 1. D´eterminer lim

n→+∞

Sn

n³.

2. En d´eduire la limite quandntend vers +∞de 1 n³

∑n k=1

k²ln (k+ 1

n )

.

(16)

Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans l’exercice sont définies sur un espace probabilisé(

Ω,A, P) . 1. Question de cours : Définition de l’indépendance de deux variables aléatoires discrètes.

2. Soitnun entier supérieur ou égal à 1. On jettenfois de suite un dé pipé dont les 6 faces ne comportent que les nombres 1, 2 et 3, et on suppose que les résultats des lancers sont indépendants.

A chaque lancer, la probabilit´` e d’obtenir 1 est p, celle d’obtenir 2 estq et celle d’obtenir 3 est 1−p−q, oùp etq sont deux paramètres réels strictement positifs vérifiant p+q <1.

SoitX (resp.Y) la variable aléatoire égale au nombre de 1 (resp. 2) obtenus ennlancers consécutifs.

a) Quelles sont les lois respectives deX etY ? b) D´eterminer la loi du couple (X, Y).

c) Les variables al´eatoiresX et Y sont-elles ind´ependantes ?

d) D´eterminer le biais et le risque quadratique de l’estimateurTn= X

n+ 1 du param`etrep.

3. On suppose dans cette question que le nombre de lancers effectués avec ce dé est une variable aléatoire N suivant la loi de Poisson de paramètreλ >0.

SoitX (resp.Y) la variable aléatoire égale au nombre de 1 (resp. 2) obtenus enN lancers consécutifs.

a) D´eterminer les lois deX etY respectivement.

b) Vérifier que X et Y sont indépendantes.

c)T = X

N+ 1 est-il un estimateur sans biais du param`etrep?

SoitAune matrice carr´ee deM3(R).

1. Montrer que siAest diagonalisable,A³ l’est aussi.

2. On suppose maintenant queA=



0 0 1 1 0 0 0 1 0



.

a) CalculerA³.

b) La matriceAest-elle diagonalisable ?

(17)

Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans l’exercice sont définies sur un espace probabilisé(

Ω,A, P) . Sous réserve d’existence, on note E(X) et V(X) respectivement, l’espérance et la variance d’une variable aléatoire X.

1. Question de cours : Écrire sous forme d’intégrale, la probabilité qu’une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite appartienne à un segment [a, b]. Dans quel théorème cette probabilité apparaˆıt-elle comme une limite ?

Ω,A, P)

suivant la loi normale centr´ee r´eduite.

On note Φ la fonction de r´epartition deX. On pose :Y =|X|(valeur absolue deX).

2.a) Montrer queY admet une esp´erance et une variance et les calculer.

b) CalculerE(XY).

3. On pose :Z =X+Y. a) CalculerP(Z= 0).

b) Exprimer la fonction de répartition deZ à l’aide de Φ et indiquer l’allure de sa représentation graphique.

c) La variable aléatoireZ admet-elle une densité ? Est-elle discrète ? 4. Soity∈R.

a) Exprimer `a l’aide de Φ, selon les valeurs dey, la probabilit´eP(

[X 61]∩[Y 6y]) . b) Pour quelles valeurs dey les événements (X 61) et (Y 6y) sont-ils indépendants ?

SoitAune matrice carr´ee deM2(R) telle queA³= 0.

1. Montrer queA²= 0.

2. Montrer que l’ensemble des matricesM ∈ M2(R) telles queAM=M Aest un espace vectoriel.

Quelle est sa dimension ?

(18)

Sous réserve d’existence, on note E(X) et V(X) respectivement, l’espérance et la variance d’une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé(

Ω,A, P) .

1. Question de cours : Définition de la convergence en loi d’une suite de variables aléatoires.

Soit (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires indépendantes définies sur l’espace probabilisé(

Ω,A, P)

, suivant toutes la loi de Bernoulli de param`etre 1

2.

On définit la suite de variables aléatoires (Z_n)_n_∈Npar les relations : Z₀=X0

2 et ∀n∈N^∗, Z_n= Zn−1+Xn

2 .

2.a) Pour toutn∈N^∗, exprimerZ_n en fonction des variables aléatoiresX₀, X₁, . . . , X_n. b) Les variables aléatoiresZn−1 et Xn sont-elles indépendantes ?

c) Pour toutn∈N, calculerE(Zn) etV(Zn).

3. Montrer que pour toutn∈N, la variable al´eatoire 2ⁿ⁺¹Z_n suit la loi uniforme discr`ete sur [[0,2ⁿ⁺¹−1]].

4. Montrer que la suite de variables aléatoires (Z_n)_n_∈Nconverge en loi vers une variable aléatoire à densité dont on précisera la loi.

1. Justiﬁer, pour toutn∈N^∗, l’existence de l’int´egrale

∫ 1 0

xⁿlnx xⁿ−1dx.

2. On pose pour toutn∈N^∗ :u_n =

∫ 1 0

xⁿlnx xⁿ−1dx.

Etudier la nature (convergence ou divergence) de la suite (u´ _n)_n_∈N∗.

(19)

1. Question de cours : Énoncer une formule de Taylor à l’ordrepavec reste intégral, applicable à une fonction définie sur [0,1], de classeC^p+1 sur cet intervalle (p∈N).

2. Soitxun r´eel de l’intervalle [0,1[.

a) Justiﬁer pour tout r´eel t∈[0, x], l’encadrement : 06 x−t 1−t 6x.

b) Démontrer l’égalité : ln(1−x) =−

+∞

∑

n=1

xⁿ n.

3. SoitX une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé(

Ω,A, P)

telle que pour tout n∈N^∗, on a :P(X =n) = 1

n(n+ 1). a) Montrer queP(X∈N^∗) = 1.

b) ´Etudier l’existence des moments de X.

c) Montrer que pour tout réels∈[0,1], la variable aléatoires^X admet une espérance, que l’on noteE(s^X), et vérifier que sis∈]0,1[, on a :

E(s^X) = s+ (1−s) ln(1−s)

s .

d) Pour tout s ∈[0,1], on pose : ϕ(s) = E(s^X). Montrer que la fonction ϕest continue sur le segment [0,1].

Est-elle d´erivable sur cet intervalle ?

e) Calculer, lorsqu’elles existent, l’esp´erance et la variance deXs^X.

1. Montrer que l’applicationf :x7→x³+x²+xdeRdansRest bijective.

2. Quelles sont les fonctions polynˆomes surjectives ? 3. Quelles sont les fonctions polynˆomes injectives ?

(20)

1. Question de cours : Formule des probabilit´es totales.

Soitpet qdeux réels vérifiant : 0< p <1 etp+ 2q= 1. On note ∆ la matrice de M3(R) définie par :

∆ =



p q q q p q q q p



. 2. Justiﬁer que ∆ est une matrice diagonalisable.

3. Soit D la matrice diagonale de M3(R) semblable à ∆ dont les éléments diagonaux sont écrits dans l’ordre croissant. Que peut-on dire de la limite des coefficients deDⁿ lorsque l’entier naturelntend vers +∞.

Un village possède trois restaurantsR1, R2 etR3. Un couple se rend dans l’un de ces trois restaurants chaque dimanche. À l’instantn= 1 (c’est-à-dire le premier dimanche), il choisit le restaurantR1, puis tous les dimanches suivants (instantsn= 2, n= 3, etc.), il choisit le même restaurant que le dimanche précédent avec la probabilité pou change de restaurant avec la probabilité 2q, chacun des deux autres restaurants étant choisis avec la même probabilité.

On suppose que l’expérience est modélisée par un espace probabilisé(

Ω,A, P) .

4. Calculer la probabilité que le couple déjeune dans le restaurant R1, respectivementR2, respectivement R3, len-ième dimanche (n>2).

5. SoitT la variable aléatoire égale au rang du premier dimanche où le couple retourne au restaurantR1, s’il y retourne, et 0 sinon.

a) D´eterminer la loi deT.

b) ´Etablir l’existence de l’esp´erance et de la variance deT et les calculer.

6. ´Ecrire un programme en Pascal permettant de calculer la fr´equence de visites du restaurantR₁ par le couple en 52 dimanches.

Soitn∈N^∗. On définit la fonction réelle f_n par :∀x∈R, f_n(x) =x+ 1− e^x n.

1. Montrer que pour toutn∈N^∗, il existe un unique nombre r´eel n´egatifxn tel quefn(xn) = 0.

2.a) Montrer que la suite (xn)n∈N^∗ est d´ecroissante et convergente.

b) Calculer la limiteℓde la suite (xn)n∈N^∗.

3. On pose :yn=xn−ℓ. D´eterminer un ´equivalent deyn lorsquentend vers +∞.

(21)

1. Question de cours : Condition suﬃsante de diagonalisabilit´e d’une matrice.

SoitAla matrice deM3(R) d´eﬁnie par :A=



 0 1 0

0 0 1

−2 1 2



.

2.a) Soitλ∈R. Montrer que le systèmeAX=λX d’inconnue X ∈ M3,1(R) possède des solutions non nulles si et seulement si (λ²−1)(λ−2) = 0. Donner alors les solutions de ce système.

b) En déduire une matrice inversibleP et une matrice diagonaleD telles queA=P DP⁻¹. 3. Soit (xn)n∈Nune suite réelle définie par : pour toutn∈N,xn+3= 2xn+2+xn+1−2xn. On pose pour toutn∈N:X_n=



 x_n x_n+1 x_n+2



etY_n=P⁻¹X_n. a) Quelle relation a-t-on entreXn+1,Xn etA?

b) En d´eduire l’expression deYn en fonction den,D et Y0.

c) Donner une condition nécessaire et suffisante sur x₀, x₁ et x₂ pour que la suite (x_n)_n_∈N soit convergente (respectivement, pour que la série ∑

n>0

x_n soit convergente).

4. On poseB=



5 0 −2 4 3 −4 8 0 −5



et pour tout (a, b)∈R²,M(a, b) =



 5b a −2b 4b 3b a−4b

−2a+ 8b a 2a−5b



.

a) Montrer que tout vecteur propre deA est vecteur propre deB. La réciproque est-elle vraie ? b) En déduire queM(a, b) est diagonalisable et préciser ses valeurs propres.

c) D´eterminer les couples (a, b)∈R² pour lesquels la suite(

M(a, b)ⁿ)

n∈Nconverge vers la matrice nulle, c’est-à-dire que chacun de ses neuf coefficients est le terme général d’une suite convergeant vers 0.

Soit p ∈]0,1[. Soit (Xn)n∈N^∗ une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (

Ω,A, P) indépendantes et de même loi donnée par :

∀n∈N^∗, P(X_n=−1) =p, etP(X_n= 1) = 1−p On pose pour toutn∈N^∗,Zn=

∏n i=1

Xi. 1. Calculer l’esp´eranceE(Zn) deZn et lim

n→+∞E(Zn).

2. Quelle est la loi deZn?

3. Pour quelles valeurs dep, les variables al´eatoiresZ etZ sont-elles ind´ependantes ?

(22)

1. Question de cours : Soitf une fonction de classeC² définie sur une partie deR² à valeurs réelles.

Rappeler la définition d’un point critique et la condition suffisante d’extremum local en un point.

SoitX une variable aléatoire discrète finie définie sur un espace probabilisé(

Ω,A, P) .

On pose pour toutn∈N^∗ :X(Ω) ={x1, x2, . . . , xn} ⊂R, et on suppose que∀i∈[[1, n]], P(X =xi)̸= 0.

On d´eﬁnit l’entropie deX par :H(X) =− 1 ln 2

∑n i=1

P(X =xi) ln(

P(X=xi)) .

2. Soitx1, x2, x3etx4quatre r´eels distincts. On consid`ere un jeu de 32 cartes dont on tire une carte au hasard.

SoitX la variable al´eatoire prenant les valeurs suivantes :

• x1 si la carte tir´ee est rouge (coeur ou carreau) ;

• x₂ si la carte tir´ee est un pique ;

• x3 si la carte tirée est le valet, la dame, le roi ou l’as de trèfle ;

• x4 dans les autres cas.

On tire une carte notéeCet un enfant décide de déterminer la valeurX(C) en posant dans l’ordre les questions suivantes auxquelles il lui est répondu par ”oui” ou par ”non”. La carteC est-elle rouge ? La carte C est-elle un pique ? La carteC est-elle le valet, la dame, le roi ou l’as de trèfle ?

SoitN la variable aléatoire égale au nombre de questions posées (l’enfant cesse de poser des questions dès qu’il a obtenu une réponse ”oui”).

a) Calculer l’entropieH(X) deX.

b) D´eterminer la loi et l’esp´eranceE(N) deN. ComparerE(N) et H(X).

3. Soitf la fonction définie surR²à valeurs réelles telle que :f(x, y) =xlnx+ylny+ (1−x−y) ln(1−x−y).

a) Préciser le domaine de définition def. Dessiner ce domaine dans le plan rapporté à un repère orthonormé.

b) Montrer quef ne poss`ede qu’un seul point critique et qu’en ce point,f admet un extremum local.

c) Soit X une variable aléatoire réelle prenant les valeurs x₁, x₂ et x₃ avec les probabilités non nullesp₁, p₂ et p₃respectivement.

CalculerH(X) et montrer queH(X) est maximale lorsquep₁=p₂=p₃= 1 3.

On rappelle l’identit´e remarquable :a³+b³= (a+b)(a²−ab+b²).

Soitn∈N^∗ etAet B deux matrices deMn(R) v´eriﬁantA³= 0, AB=BAet B inversible.

Montrer queA+B est inversible.

(23)

1. Question de cours : Crit`eres de convergence d’une int´egrale sur un intervalle de type [a,+∞[ (a∈R).

2. Soitx∈R^∗+.

a) ´Etablir la convergence de l’int´egrale

∫ +∞ 0

e⁻^t

x+tdt. On pose alors :f(x) =

∫ +∞ 0

e⁻^t x+tdt.

b) Montrer quef est monotone surR^∗+.

3. Soitg ethles fonctions définies surR^∗+ à valeurs réelles telles que : g(x) =

∫ 1 0

e⁻^t−1

x+t dt et h(x) =

∫ +∞ 1

e⁻^t x+tdt . a) Soitφla fonction d´eﬁnie sur [0,1] par :φ(t) =





e⁻^t−1

t sit∈]0,1]

−1 sit= 0 . Montrer queφest continue sur le segment [0,1].

b) En déduire que la fonctiongest bornée surR^∗+. c) Montrer de même que la fonctionhest bornée surR^∗+.

d) Montrer que pour toutx >0, on a :f(x) = ln(x+ 1)−lnx+g(x) +h(x). En d´eduire un ´equivalent def(x) lorsquextend vers 0.

4. `A l’aide de l’encadrement 0 6 1 x− 1

x+t 6 t

x² valable pour tout x >0 et pour toutt >0, montrer que f(x) est ´equivalent `a 1

x lorsque xtend vers +∞.

Les variables aléatoires sont définies sur un espace probabilisé(

Ω,A, P) .

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre λ > 0 et soit Y une variable aléatoire indépendante deX telle que :Y(Ω) ={1,2}, P(Y = 1) =P(Y = 2) =1

2. On pose :Z=XY. 1. D´eterminer la loi deZ.

2. On admet que :

+∞

∑

k=0

λ^2k

(2k)! =e^λ+ e⁻^λ

2 . Quelle est la probabilit´e queZ prenne des valeurs paires ?