Question de cours.

UNIVERSITE D’AIX-MARSEILLE Licence 3, Math ´ematiques Calcul diff ´erentiel et optimisation 2017-18

Partiel du 24 novembre 2017

Les calculatrices, les notes de cours et de TD ne sont pas autoris ´ees.

La clart ´e et la qualit ´e de la r ´edaction seront prises en compte dans l’ ´evaluation.

Question de cours.

1. ´ Enoncer le th ´eor `eme de Schwarz.

2. Soient E un espace vectoriel norm ´e de dimension finie et f, g : E → R deux fonctions diff ´erentiables. ´ Enoncer et d ´emontrer la formule qui donne la diff ´erentielle en x ∈ E du produit de ces deux fonctions.

Exercice 1 Trouver et ´etudier les points critiques de la fonction f : R → R

d ´efinie par f (x, y, z) = x

+ y

+ 2z

− 2yz − 6x.

Exercice 2 Soit f : R

→ R d ´efinie par

f(x, y) =





 xy

x

+ y

si (x, y) 6= (0, 0), 0 si (x, y) = (0, 0).

1) Montrer que f est diff ´erentiable en tout point de R

\ {(0, 0)}.

2) Montrer que les d ´eriv ´ees directionnelles f

(0, 0) existent pour tout v ∈ R

.

3) f est elle continue en (0, 0) ? 4) f est elle diff ´erentiable en (0, 0) ?

Exercice 3

On appelle affine une application entre espace vectoriels qui est la somme d’une application lin ´eaire et d’une fonction constante.

Soit U ⊂ R

un ouvert convexe et f : U → R

une application diff ´erentiable.

1. Montrer que f est la restriction d’une application affine si et seule- ment si sa diff ´erentielle Df est constante sur U .

2. Montrer par un exemple que l’un des sens de l’ ´equivalence est faux si U n’est pas convexe.

3. ´ Ecrire avec des coefficients la formule d’une application affine f : R

→ R .

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