Licence LM360. Topologie et Calcul Diff´erentiel
Examen du 7 janvier 2013. Dur´ee: 3 heures.
Question de cours 1
Enoncer et d´´ emontrer le th´eor`eme relatif `a la composition des applications diff´erentiables.
Question de cours 2
On consid`ere une fonction deux fois diff´erentiable d’un ouvert Ω d’un espace vectoriel norm´e E `a valeurs dans R. ´Enoncer et d´emontrer une condition n´ecessaire faisant intervenir la diff´erentielle premi`ere et la diff´erentielle sec- onde pour qu’un point de Ω soit un miminum local de la fonctionf. Exercice
Soit Ω un ouvert d’un espace vectoriel norm´eE. On consid`ere une fonctionφ de Ω dansR. D´emontrer que la fonction
Φ
Ω −→ E x 7−→ φ(x)x est diff´erentiable et que sa diff´erentielle estDΦ(x)−→
h = (Dφ(x)−→
h)x+φ(x)−→ h .
Probl`eme 1
On d´esigne ici par k · kla norme euclidienne sur RN et par (·|·) le produit scalaire associ´e. On consid`ere l’applicationF d´efinie par
F
( RN \ {0} −→ RN \ {0}
x 7−→ x
kxk2·
1) Calculer la diff´erentielle dex7→ kxk−2.
1
2) En utilisant l’exercice, d´emontrer que l’applicationF est diff´erentiable et calculer sa diff´erentielle.
3) D´emontrer qu’il existe une fonctionψ de RN \ {0} dans Rtelle que, pour toutxde RN\ {0}, et pour tout couple de vecteurs (−→
h ,−→
k) deRN, on ait
(DF(x)−→
h|DF(x)−→
k) =ψ(x)(−→ h|−→
k).
Soientγ1 etγ2 deux fonctions C1 d’un intervalle]−α, α[de R`a valeurs dansRN \ {0}telles que γ1(0) =γ2(0). Posons, pour j valant1 ou 2,
vj = dγj
dt (0) et wj = d(F◦γj) dt (0), .
4) Calculer wj en fonction de vj. 5) D´emontrer que v1
kv1k
v2 kv2k
= w1 kw1k
w2 kw2k
.
6) Interpr´eter g´eom´etriquement le r´esultat pr´ec´edent.
Probl`eme 2
On consid`ere une suite (αj)1≤j≤N de nombres r´eels diff´erents de 0 et deux
`
a deux distincts. On d´efinit pour x= (x1, x2,· · ·, xN) f(x) =
N
X
j=1
αjx2j.
On ´etudie la fonction f sur B la boule unit´e ferm´ee de RN pour la norme euclidienne, i.e. l’ensemble desx= (x1,· · ·, xN) deRN tels que
N
X
j=1
x2j ≤1.
1) D´emontrer que f admet au moins un point minimum et au moins un point maximum surB.
Dans les deux questions suivantes, on suppose queαj >0 pour toutj.
2) D´eterminer l’unique point mininum def|B.
3) D´emontrer que les points maximum de f|B appartiennent `a SN−1, l’ensemble des points (x1, x2,· · ·, xN) de RN tels que
N
X
j=1
x2j = 1.
2
4) ) D´eterminer ces points.
On suppose maintenant que lesαj ne sont pas tous de mˆeme signe 5) D´emontrer que les points minimum et les points maximum de f|B appartiennent `aSN−1.
6) D´eterminer ces points.
Probl`eme 3
On se place dans l’espace `1(N) des suites (x(n))n∈N `a valeurs r´eelles et sommables, c’est-`a-dire telles que
sup
N∈N N
X
n=0
|x(n)|= lim
N→∞
N
X
n=0
|x(n)|
est fini. On note
kxk1=
∞
X
n=0
|x(n)|= lim
N→∞
N
X
n=0
|x(n)|.
On rappelle que `1(N),k · k1) est un espace de Banach. Soit M un nom- bre r´eel strictement positif, on consid`ere une fonction γ de N×N dans un intervalle [−M, M] deR.
1) Soit x un ´el´ement de `1(N). D´emontrer que si h appartient `a `1(N) alors
Lx(h)(n) =h(n) + X
n0∈N
γ(n, n0) x(n)h(n0) +h(n)x(n0) d´efinit une application lin´eaire continue de `1(N) dans`1(N).
2) D´emontrer que si kxk1 est assez petit, alors Lx est un ´el´ement in- versible deL(`1(N)).
3) D´emontrer que
(F(x))(n) =x(n) +X
n0
γ(n, n0)x(n)x(n0) d´efinit une application diff´erentiable de `1(N) dans`1(N).
4) D´emontrer queF est un diff´eomorphisme local pr`es de 0.
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