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Topologie et calcul diff´ erentiel

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Pierre-Louis CAYREL 2008-2009

U.F.R. M.I.T.S.I.C. Seconde session

Universit´e de Paris 8 Examen - jeudi 18 juin 2009

Topologie et calcul diff´ erentiel

- Carte d’´etudiant obligatoire -

hormis une feuille A4 manuscrite, AUCUN document n’est autoris´e

Interdits : walkman, calculatrice, t´el´ephone, organizer, communication, sacs sur la table.

N’oubliez pas nom, pr´enom et num´ero sur chaque copie - Dur´ee : 2 heures.

Topologie

Exercice 1 (8 points)

1. Si (x, y)∈R2, on pose||(x, y)||= max(|x+y|,|x−2y|). Montrer qu’il s’agit d’une norme surR2 et dessiner sa boule unit´e ferm´ee.

2. Soit p, q deux normes surRn,Bp etBq leurs boules unit´es ferm´ees. Montrer que

Bq ⊂Bp ⇐⇒p6q.

Que signifie 12Bp ⊂Bq ⊂2Bp? Exemples.

Equations diff´ ´ erentielles

Exercice 2 (5 points)

R´esoudre l’´equation suivante :

y00−3y0+ 2y=ex.

Exercice 3 (7 points) R´esoudre l’´equation suivante :

y00−y=−6 cosx+ 2xsinx.

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