Examen de Calcul diff´erentiel et Analyse num´erique - Session 2

L3 Math´ematiques 25 juin 2019

Examen de Calcul diff´erentiel et Analyse num´erique - Session 2

Dur´ee: 2h. Documents, calculatrices, t´el´ephones portables interdits.

Tout r´esultat non justifi´e sera consid´er´e comme faux.

Le barˆeme de chaque exercice est donn´e `a titre indicatif.

Exercice 1. [3pts] Soit f la fonction d´efinie par f(x) = cos(x). D´eterminer P, polynˆome d’interpolation de Lagrange de f aux points d’abscisses x = −π

2, x = 0 et x = π

2. Tracer le graphe deP.

Exercice 2. [4pts]On souhaite calculer une valeur approch´ee deln 3

2

. On consid`ere pour cela l’int´egraleI =

Z α

0

1

1 +xdxque l’on va approcher `a l’aide de la m´ethode du point milieu et o`u α est `a d´eterminer. On rappelle que sif ∈ C²([a, b])l’erreur commise par la m´ethode du point milieu avecnsous-intervalles est major´ee par M₂(b−a)³

24n² o`uM₂ = max

x∈[a,b]|f⁰⁰(x)|.

a)Quelle valeur deαfaut-il prendre pour queI = ln 3

2

?

b)Donner la valeur approch´eeI˜deI obtenue par la m´ethode du point milieu lorsquen = 2, ainsi qu’une majoration de l’erreur commise.

c) Quelle valeur minimum de n faut-il prendre pour que l’estimation de l’erreur commise soit inf´erieure `a10⁻⁴? Indication: 0,408≤ 1

√6 ≤0,409.

Exercice 3. [13pts]SoitE =C⁰([0,1]). On consid`ere l’applicationΦ :E →Rd´efinie par Φ(f) = 1

2 Z 1

0

f(x)²dx.

Partie I.On munitEde la normekfk∞= sup

x∈[0,1]

|f(x)|.

a)Montrer queΦest diff´erentiable surEde diff´erentielleDΦ(f) :h7→

Z 1

0

f(x)h(x) dx.

b)Montrer que pour toutf ∈E on a|||DΦ(f)||| ≤ kfk₁. On rappelle quekfk₁ = Z 1

0

|f(x)|dx.

c)On suppose dans cette question uniquement quef est de signe constant sur[0,1]. Montrer que

|||DΦ(f)|||=kfk₁.

TSVP

d)On ne suppose plus quef est de signe constant. Pour toutn≥1soith_n(x) = f(x) q1

n +f(x)² . i)Montrer quekh_nk∞ ≤1.

ii)Montrer que lim

n→∞DΦ(f)(h_n) = kfk₁. (On fera attention de bien justifier tout ´echange de limite et d’int´egrale).

iii)En d´eduire que|||DΦ(f)|||=kfk₁. e)Montrer queΦest de classeC¹.

Partie II.On munit maintenantEde la normek k₁.

a)Montrer que pour toutf ∈E l’applicationL_f : E →Rd´efinie parL_f(h) = Z 1

0

f(x)h(x) dx est continue.

b)Montrer que cependantΦn’est diff´erentiable en aucunf ∈ E. Indication: consid´ererh_n(x) =

√nxⁿ.

c)Montrer qu’en faitΦn’est continue en aucunf ∈E.