Examen de Calcul diff´erentiel et Analyse num´erique

L3 Math´ematiques 7 Mai 2019

Examen de Calcul diff´erentiel et Analyse num´erique

Dur´ee: 3h. Documents, calculatrices, t´el´ephones portables interdits.

Total des points sur 30 (le barˆeme de chaque exercice est donn´e `a titre indicatif).

Note finale: les 10 premiers points comptent en totalit´e, les suivants pour moiti´e.

Par exemple, pour un total de 16 sur 30, la note sera10 + 6/2 = 13sur 20.

Exercice 1. [12pts]Les parties I et II sont totalement ind´ependantes.

Partie I.Soitf : [0,1]→Rde classeC⁴.

a)Montrer qu’il existe un unique polynˆomePf de degr´e inf´erieur ou ´egal `a3tel que P_f(0) =f(0), P_f⁰(0) =f⁰(0), P_f(1) =f(1) et P_f⁰(1) =f⁰(1).

b)Soitx∈]0,1[fix´e. On d´efinit les fonctionsR,ΠetF sur[0,1]par

R(t) =f(t)−P_f(t), Π(t) = t²(t−1)² et F(t) = R(t)Π(x)−R(x)Π(t).

i)Que valentF⁰(0)etF⁰(1)?

ii)Montrer queF s’annule en3points distincts que l’on pr´ecisera.

iii)En d´eduire queF⁰s’annule en4points distincts puis qu’il existeξ ∈]0,1[tel queF⁽⁴⁾(ξ) = 0.

iv)Montrer queR(x) = _4!¹f⁽⁴⁾(ξ)Π(x).

c)Calculer Z 1

0

|Π(x)|dx. En d´eduire la majoration

Z 1

0

f(x) dx− Z 1

0

P_f(x) dx

≤ M₄

720 o`uM₄ =

t∈[0,1]max|f⁽⁴⁾(t)|.

Partie II.On souhaite calculer une valeur approch´ee deln(2). On consid`ere pour cela l’int´egrale I =

Z 1

0

1

1 +xdxque l’on va approcher `a l’aide de la m´ethode des trap`ezes. On rappelle que si f ∈ C²([a, b]) l’erreur commise par la m´ethode des trap`ezes avecn sous-intervalles est major´ee par M₂(b−a)³

12n² o`uM₂ = max

x∈[a,b]|f⁰⁰(x)|.

a) Donner la valeur approch´ee de I obtenue par la m´ethode des trap`ezes lorsque n = 3, ainsi qu’une majoration de l’erreur commise.

b)V´erifier que la fonctionf(x) = 1

1 +x est convexe sur[0,1]. En d´eduire que pour tout entiern la valeur approch´ee obtenue par la m´ethode des trap`ezes est sup´erieure ou ´egale `aln(2)(on pourra commencer par faire un dessin), puis que0,68≤ln(2)≤0,7.

c) Quelle valeur minimum de n faut-il prendre pour que l’estimation de l’erreur commise soit inf´erieure `a10⁻⁴. Indication:0,408≤ 1

√6 ≤0,409.

TSVP

Partie III. On souhaite maintenant calculer une valeur approch´ee deln(2) en utilisant le r´esultat de la partie I.

a)D´eterminer le polynˆomePf associ´e `a la fonctionf(x) = 1 1 +x. b)CalculerJ =R1

0 P_f(x) dx. En d´eduire un nouvel encadrement deln(2).

Exercice 2. [4pts]On consid`ereE =R[X]l’espace des polynˆomes `a coefficients r´eels. SiP ∈E, P(X) =

n

X

k=0

a_kX^k, on pose kPk = max

k=0,...,n|a_k| et ϕ(P) =

n

X

k=0

a_k

3^k, i.e. ϕ(P) = P ¹₃ . On admettra quek · kd´efinit une norme surE.

Montrer queϕ:E →Rest une application lin´eaire continue et calculer|||ϕ|||.

Exercice 3. [7pts] On munit Mn(R) d’une norme matricielle, i.e. telle que pour tous A, B ∈ Mn(R)on akABk ≤ kAk × kBk. On fixeA ∈Mn(R)une matrice inversible et on consid`ere la fonctionf :M_n(R)→M_n(R)d´efinie parf(M) = 2M −M AM.

a)Montrer quef est diff´erentiable et calculer sa diff´erentielle.

b)Montrer quef est de classeC¹.

c)Calculer Df(A⁻¹). En d´eduire qu’il existe δ > 0 tel que pour toutM ∈ B(A⁻¹, δ), la boule ferm´ee de centreA⁻¹ et de rayonδ, on a|||Df(M)||| ≤ ¹₂.

d)Calculerf(A⁻¹). Montrer que pour toutM ∈B(A⁻¹, δ)on af(M)∈ B(A⁻¹, δ). Indication:

accroissements finis.

e)La question pr´ec´edente assure quef :B(A⁻¹, δ)→B(A⁻¹, δ). Montrer quef est contractante surB(A⁻¹, δ).

f) En d´eduire que si M0 ∈ B(A⁻¹, δ) et (Mk)k est la suite d´efinie par r´ecurrence par Mk+1 = f(Mk)alors la suite(Mk)kconverge versA⁻¹.

Exercice 4. [7pts]Soitf :R³ →Rla fonction d´efinie par f(x, y, z) = (x+ 2y+ 2z) exp

−x²+y²+z² 2

. Le but de l’exercice est d’´etudier les extrema def.

a)Justifier rapidement quef est de classeC² surR³. b)Montrer quef admet exactement deux points critiques:

1 3,2

3,2 3

et

−1 3,−2

3,−2 3

. Indi- cation: on pourra commencer par remarquer, en le justifiant correctement, que si(x, y, z)est point critique alorsz =y= 2x.

c)Etudier la nature de chacun des deux points critiques.

On munitR³de la normek(x, y, z)k= max(|x|,|y|,|z|).

d)Montrer que pour tout(x, y, z)∈R³ on a|f(x, y, z)| ≤5k(x, y, z)ke^−k(x,y,z)k

2

2 .

e) En d´eduire qu’il existe R > 0 tel que pour tout (x, y, z) v´erifiant k(x, y, z)k > R on a

|f(x, y, z)|<e⁻¹².

f)Montrer quef admet un minimum global et un maximum global et les d´eterminer.