L3 Math´ematiques 20 Juin 2017
Examen de Calcul diff´erentiel et Analyse num´erique. Seconde session.
Dur´ee: 3h. Documents, calculatrices, t´el´ephones portables interdits.
Tout r´esultat non justifi´e sera consid´er´e comme faux.
Exercice 1(6pts). SoitE =C0([−1,1])l’ensemble des fonctions continues sur[−1,1]etf(x) = 1−x4.
a)D´eterminerLle polynˆome d’interpolation de Lagrange aux points d’abscissesx =−1, x = 0 etx= 1de la fonctionf. Tracer le graphe deL.
On munit maintenantEdu produit scalaire hf, gi=
Z 1
−1
f(x)g(x) dx,
et k k2 la norme associ´ee `a ce produit scalaire. On note (Pn)n la suite de polynˆomes unitaires orthogonalis´es `a l’aide de la m´ethode de Gram-Schmidt, en partant de la base canonique deR[X].
b)Calculer les polynˆomesP0,P1 etP2.
c)D´eterminerQle polynˆome de meilleure approximation de degr´e au plus de 2de la fonctionf pour la normek k2. Comparerkf−Qk2 etkf −Lk2.
Exercice 2 (5pts). SoitE = C0([0,1]) muni de la norme kfk∞ = sup
x∈[0,1]
|f(x)|. On consid`ere
l’applicationΦ :E →Esuivante. Sif ∈E,Φ(f) : [0,1]→Rest la fonction d´efinie par Φ(f) :x7→
Z x
0
tf(t) dt+x Z 1
x
f(t) dt.
a)D´eterminerΦ(g)o`ugest la fonction constante ´egale `a1. Calculerkgk∞etkΦ(g)k∞. b)Justifier que sif ∈E on a bienΦ(f)∈Eet queΦest une application lin´eaire.
c)Montrer queΦest continue.
d)Montrer quekΦkL(E) = 1 2.
Exercice 3(5pts). Soitf :R2 →Rla fonction d´efinie parf(x, y) =x3−3x(1 +y2).
a)Calculer les points critiques def et d´eterminer leur nature (minimum local, maximum local ou point selle).
SoientD={(x, y)∈R2|x2+y2 ≤1}etC ={(x, y)∈R2|x2+y2 = 1}.
b)Montrer quef admet un minimummet un maximumM surD.
c)En utilisant le r´esultat de la question a), justifier que ces extrema sont atteints sur l’ensembleC.
d)Enoncer le th´eor`eme des extremas li´es.
e)D´eterminermetM.
TSVP
Exercice 4 (4pts). Dans tout l’exercice on se place dans Mn(R) muni de la norme: si M = (mij)1≤i,j≤nalorskMk=
v u u t
n
X
i,j=1
m2ij. Soitf :Mn(R)→Rd´efinie parf(M) = Tr(tM M+M), o`u tM d´esigne la matrice transpos´ee deM etTrd´esigne la trace.
a)Justifier quef est diff´erentiable et d´eterminer sa diff´erentielle.
b)SoitA∈Mn(R)telle que pour toutM ∈Mn(R)on aitTr(AM) = 0. Montrer queA= 0.
c)D´eterminer le(s) point(s) critique(s) def.
