S´eance 1 : Exercices CALCUL DIFF´ ERENTIEL

ECP Math´ematiques 2 2^e Ann´ee 2005-2006

S´eance 1 : Exercices CALCUL DIFF´ ERENTIEL

Objectifs

Les notions de diff´erentielle, gradient, ... d’une fonction en dimension finie et infinie.

Exercices d’illustration et calcul des diff´erentielles. Quelques applications.

Notations

On note V un espace vectoriel norm´e, x un point de V, F une fonction de V dans R. hx, yi=P

ixiyi est le produit scalaire canonique deRⁿ. Question 1

Fonction quadratique

Soit V =Rⁿ,A une matrice sym´etrique de dimensionn,b∈Rⁿ.

• SoitF(x) = ¹₂hAx, xi − hb, xi, montrer que

DF(x).h=hAx−b, hi

et que, pour le produit scalaire canonique,

∇F(x) =Ax−b

• Les points pour lesquels DF(x) = 0 sont donc solutions du syst`eme lin´eaire Ax = b.

Montrer que, si la matrice A est sym´etrique d´efinie positive¹, l’extr´emum est unique et que c’est un minimum.

Quel est l’int´erˆet de de cette propri´et´e pour la r´esolution des syst`emes lin´eaires `a matrice sysm´etrique d´efinie positive ?

1i.e. ∀x6= 0∈RⁿhAx, xii0

2 Math´ematiques 2 Question 2

Une fonction non quadratique en dimension finie Soit

F(x) = 1

2hAx, xi+ 1

4kxk⁴4− hb, xi

• CalculerDF(x) et ∇F(x). Quels sont les points pour lesquels DF(x) = 0 ?

• CalculerHF(x). Quelle est la nature des extr´emums ?

Nous montrerons dans la s´eance suivante, en utilisant la convexit´e de la fonction, qu’il y a un seul extr´emum et que c’est un minimum.

Question 3

Une fonction quadratique en dimension infinie Soit V =C¹([0,1]),v∈V etf ∈C([0,1]).

J(v) = Z 1

0

(1

2v⁰(x)²+1

2v(x)²−f(x)v(x))dx

• Calculer la diff´erentielle au sens de Gateaux deJ(v).

•On munit V du produit scalaire et de la norme deL²([0,1]),J(v) est-elle diff´erentiable au sens de Fr´echet ?

• Soit V0 le sous-espace deC²([0,1])∩V form´e des fonctions nulles en 0 et 1. Montrer que, pour le produit scalaire deL²([0,1]),∇J(v) =−v”+v−f. Peut-on d´efinir de fa¸con analogue le gradient ∇J(v) sur V pour le produit scalaire deL²([0,1]) ? Quels sont les extr´emums de J(v) sur V0 (nous verrons ult´erieurement qu’il n’y a qu’un extr´emum qui est un minimum)

?

Question 4

G´en´eralisation : le “calcul des variations”

SoitV0 ={v∈C¹([0,1])/v(0) =v(1) = 0 etg(t, x, y)∈C¹(R³). On d´efinit surV0la fonction

J(v) = Z L

0

g(x, v, v⁰)dx (1)

• CalculerDJ(v).

• En ajoutant des hypoth`eses de r´egularit´e, calculer ∇J(v) pour le produit scalaire de L²([0,1]). En d´eduire qu’un extr´emumu de la fonctionJ(v) v´erifie une ´equation diff´erentiel du second ordre, l’´equation d’Euler

− d dx(∂g

∂u⁰) +∂g

∂u = 0 (2)

• Applications :

J(v) = Z 1

0

1

2v⁰(x)²+1

4v(x)⁴−f(x)v(x)dx