Feuille d’exercices n˚21 Calcul diff´ erentiel

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚21 Calcul diff´ erentiel

Exercice 206 (D´erivabilit´e et d´eriv´ee d’une fonction mettant en jeu la valeur absolue) Soit la fonction

f:R→R; x7→ x 1 +|x|. Montrer que la fonctionf est d´erivable surRet calculer sa d´eriv´ee.

Exercice 207 (Prolongement par continuit´e, d´erivabilit´e et caract`ere C¹ du prolongement) Soit la fonction

f:R^∗→R; x7→x²sin 1

x

. 1. Montrer que la fonction f est prolongeable par continuit´e en 0.

2. On note fele prolongement par continuit´e de f en 0. Donner la fonctionfe. 3. Montrer quefeest d´erivable surR.

4. Calculer la d´eriv´ee defe.

5. Montrer quefen’est pas de classeC¹ surR.

Exercice 208 (RaccordementC¹)

Soit (a, b)∈R². On d´efinit la fonctionfa,b par :

fa,b:R^+∗→R; x7→





√xsi 0< x≤1

a(x²−1) +b six >1

1. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur (a, b) pour que la fonctionfa,bsoit d´erivable surR^+∗. 2. On suppose que la condition obtenue `a la question 1. est v´erifi´ee.

(a) La fonctionfa,b est-elle de classeC¹ surR^+∗? (b) La fonctionfa,b est-elle deux fois d´erivable surR^+∗?

Exercice 209 (Calcul des d´eriv´ees successives) 1. Montrer que pour toutk∈N, pour toutx∈R:

sin^(k)(x) = sin x+kπ

2

. 2. Justifier que la fonction :

f:R→R; x7→x²sin(x) est de classeC^∞ surR.

3. Calculer la d´eriv´een-i`eme def, pour toutn∈N.

Exercice 210 (Une formule mettant en jeu les coefficients binomiaux) 1. Soitα∈Ret soitm∈N. Calculer toutes les d´eriv´ees de la fonction polynomiale

f:R→R; x7→(x−α)^m. On utilisera des factorielles d’entiers pour exprimer le r´esultat.

1

2. Soitn∈N.

(a) Soit (a, b)∈R². Calculer la d´eriv´ee d’ordrende la fonction g:R→R; x7→(x−a)ⁿ(x−b)ⁿ. (b) En d´eduire que :

Xn k=0

n k

2

= 2n

n

.

Exercice 211 (Nombre de racines r´eelles d’un polynˆome `a coefficients r´eels et th´eor`eme de Rolle) 1. SoitP un polynˆome `a coefficients r´eels et soitp∈N<sup>≥2</sup>. Montrer que siP poss`edepracines r´eelles deux `a

deux distinctes, alorsP^′ poss`edep−1 racines r´eelles deux `a deux distinctes.

2. Soitn∈N^≥2et soit (a, b)∈R². Montrer que le polynˆome P =Xⁿ+aX+b poss`ede au plus trois racines r´eelles deux `a deux distinctes.

Exercice 212 (Un crit`ere pour qu’une fonction garde un signe constant)

Soitf: [0,1]→Rune fonction d´erivable sur [0,1] telle quef(0) = 0 et pour toutx∈[0,1],f^′(x)6= 0.Montrer quef garde un signe constant sur [0,1].

Exercice 213 (R`egle de l’Hospital)

Soita∈Ret soitIun intervalle non vide deRcontenanta. Soientf:I→Retg:I→Rdeux fonction d´efinies et d´erivables surI. On suppose que :

∀t∈I\ {a} g^′(t)6= 0.

1. Soitx∈I\ {a} fix´e. Montrer qu’il existe un r´eelcxstrictement compris entreaet xtel que : g^′(cx)(f(x)−f(a)) =f^′(cx)(g(x)−g(a)).

2. En d´eduire que pour toutl∈R: f^′(x)

g^′(x) _x→a→ l ⇒ f(x)−f(a) g(x)−g(a) _x→a→ l.

3. D´emontrer que :

cos(x)−1

x² _x→0→ −1 2.

Exercice 214 (Valeur approch´ee et majoration de l’erreur)

A l’aide du th´eor`eme des accroissements finis, majorer l’erreur commise dans chacune des approximations` suivantes.

a) √

10001≃100 b) 1

0,999² ≃1 c) cos(1)≃ 1 2

Exercice 215 (´Equivalent des sommes partielles de s´eries de Riemann) Soitα∈]0,1[.

1. `A l’aide du th´eor`eme des accroissements finis, montrer que pour toutk∈N^∗: 1−α

(k+ 1)^α ≤(k+ 1)^1−α−k^1−α≤ 1−α k^α . 2. En d´eduire que :

Xn k=1

1

k^α _n→+∞∼ n^1−α 1−α.

2

Exercice 216 (Une in´egalit´e de concavit´e)

1. D´eduire du th´eor`eme des accroissements finis que :

∀x∈]−1,+∞[ ln(1 +x)≤x.

Indication : On pourra distinguer les cas x >0 etx <0et appliquer le th´eor`eme des accroissements finis

`

a une fonction entre les points 1 et x.

2. Proposer une autre d´emonstration du r´esultat de la question 1.

Exercice 217 (´Equation diff´erentielle et fonctions polynomiales) R´esoudre l’´equation diff´erentielle :

y⁽⁴⁾= 0 d’inconnue une fonctiony:R→R, quatre frois d´erivable surR.

Exercice 218 (´Etude d’une fonction) Soit la fonction

f: ]1,+∞[→R; x7→ x³ ln(x)².

1. ´Etudier les limites ´eventuelles de f aux bornes de son intervalle de d´efinition.

2. ´Etudier les variations de f.

3. Repr´esenter graphiquement la fonctionf.

Exercice 219 (´Etude d’une suite r´ecurrente) Soitf la fonction d´efinie par :

f:R→R; x 7→ e^x e^x+ 1.

1. ´Etudier les limites ´eventuelles de f aux bornes de son ensemble de d´efinition.

2. ´Etudier les variations de f surR. 3. (a) Montrer que :

∀x∈R |f^′(x)| ≤ 1 4. (b) En d´eduire que :

∀x, y∈R |f(x)−f(y)| ≤ 1

4 |x−y|. 4. Montrer qu’il existe un uniqueαappartenant `a ]0 ; 1[ tel que e^α

e^α+ 1 =α.

5. Soit (un)n∈Nla suite d´efinie paru0∈Ret la relation de r´ecurrence

un+1= e^un e^un+ 1 valable pour toutn∈N.

(a) Montrer que pour toutn∈N^∗ :

un∈[0,1].

(b) Montrer que pour toutn∈N:

|un+1−α| ≤ 1

4 |un−α|. (c) En d´eduire que pour toutn∈N:

|un−α| ≤ 1

4 n

|u0−α| puis que la suite (un)n∈Nconverge versα.

3

Exercice 220 (Prolongement de classe C¹) Montrer que la fonction

f: ]0,+∞[→R; x7→x²ln(x) se prolonge en une fonction de classeC¹ surR⁺.

Exercice 221 (Une autre ´etude de suite r´ecurrente)

On veut d´eterminer une valeur approch´ee de l’unique solution n´egative de l’´equation (E) e^x= 3 + 2x.

1. (a) Montrer que (E) admet une unique solutionαsurR⁻. (b) Justifier queα∈[−2,−1], puis queα= e^α−3

2 .

2. Soit (un)n∈N la suite d´efinie paru0=−1 et la relation de r´ecurrenceun+1 = e^un−3

2 valable pour tout n∈Net soitf la fonction d´efinie surRassoci´ee.

(a) Justifier quef( ]− ∞,0[ )⊂]− ∞,0[ et que pour toutx∈]− ∞,0[,|f^′(x)| ≤ 1 2. (b) Montrer que pour toutn∈N,un≤0.

(c) V´erifier que pour toutn∈N,|un+1−α| ≤ 1

2|un−α| et|un−α| ≤ 1 2ⁿ. (d) En d´eduire que la suite (un)n∈Nconverge versα.

(e) Comment choisirnpour que|un−α| ≤10⁻⁹? En d´eduire une valeur approch´ee deα`a 10<sup>−9</sup>pr`es.

(f) ´Ecrire une programme Maple sui renvoie une valeur approch´ee de α`a 10<sup>−9</sup> pr`es.

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