Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚24 Calcul diff´ erentiel
Exercice 226 : Soitf la fonction d´efinie par :
f : R → R
x 7→
xsin(x) sin 1
x
six∈R∗
0 six= 0
.
1. D´emontrer quef est continue en 0.
2. ´Etudier la d´erivabilit´e def en 0.
Exercice 227 : Soit (K1, K2)∈R2. Soitf la fonction d´efinie par :
f : R → R
x 7→
1 + K1
x six <0 1 six= 0 1 +K2x six >0
.
D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante sur (K1, K2) pour quef soit d´erivable surR.
Exercice 228 : Soit P un polynˆome `a coefficients r´eels poss´edant n racines r´eelles x1 < x2 < . . . < xn o`u n∈N≥2. D´emontrer queP′ poss`eden−1 racines r´eelles deux `a deux distinctes.
Exercice 229 : Soitf: [0,1]→R une fonction d´erivable sur [0,1] telle quef(0) = 0 et pour tout x∈[0,1], f′(x)6= 0.Montrer quef garde un signe constant sur [0,1].
Exercice 230 : Soient aetb des r´eels tels quea < b. Soientf etg des fonctions `a valeurs r´eelles d´efinies sur [a, b], continues sur [a, b] et d´erivables sur ]a, b[. D´emontrer qu’il existec∈]a, b[ tel que :
g′(c) (f(b)−f(a)) =f′(c) (g(b)−g(a)).
Exercice 231 : Etablir les in´egalit´es suivantes en appliquant l’in´egalit´e des accroissements finis.´ 1. ∀x∈R>0 sin(x)≤x
2. ∀x∈R<0 x≤sin(x) 3. ∀x∈R x+ 1≤ex
Indication : Pour la propri´et´e 3, on pourra distinguer les cas x <0,x= 0etx >0.
Exercice 232 : Au moyen de l’in´egalit´e des accroissements finis, majorer l’erreur commise dans l’approxima-
tion : √
10001≃100.
1
Exercice 233 : Soitα∈]0,1[.
1. `A l’aide du th´eor`eme des accroissements finis, montrer que pour toutk∈N∗ : 1−α
(k+ 1)α ≤(k+ 1)1−α−k1−α≤ 1−α kα . 2. En d´eduire que :
Xn k=1
1
kα n→+∞∼ n1−α 1−α.
Exercice 234 : Soitf la fonction d´efinie par :
f : R → R
x 7→
0 six≤0 e−x1 six >0
.
1. Justifier quef est de classeC∞ surR>0.
2. D´emontrer que pour toutn∈N, il existePn ∈R[X] tel que :
∀x∈R>0 f(n)(x) =e−1x Pfn
1 x
.
3. D´emontrer quef est de classeC∞ surR.
Exercice 235 : On veut d´eterminer une valeur approch´ee de l’unique solution n´egative de l’´equation (E) ex= 3 + 2x.
1. (a) Montrer que (E) admet une unique solutionαsurR−. (b) Justifier queα∈[−2,−1], puis queα= eα−3
2 .
2. Soit (un)n∈N la suite d´efinie paru0=−1 et la relation de r´ecurrence un+1= eun−3
2 valable pour toutn∈N. Soitf la fonction d´efinie par :
f : R → R
x 7→ ex−3 2
.
(a) Justifier quef( ]− ∞,0[ )⊂]− ∞,0[ et que :
∀x∈]− ∞,0[ |f′(x)| ≤ 1 2. (b) Montrer que pour toutn∈N,un≤0.
(c) D´emontrer que pour toutn∈N:
|un+1−α| ≤1
2|un−α|. (d) En d´eduire que pour toutn∈N:
|un−α| ≤ 1 2n puis que la suite (un)n∈Nconverge versα.
(e) Comment choisirnpour que|un−α| ≤10−9? En d´eduire une valeur approch´ee deα`a 10−9pr`es.
(f) ´Ecrire une programme Python qui renvoie une valeur approch´ee deα`a 10−9pr`es.
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