Math 202 PC. Exercices 2009/2010 PARTIE I : Calcul diff´erentiel.
Feuille I
–Fonctions de plusieurs variables : g´en´eralit´es, limites, continuit´e
1.1) G´en´eralit´es.Fonctions de plusieurs variables, domaine de d´efinition, image. Graphe, traces et courbes de ni- veau.
1.2) Limite d’une application en un point.Limite d’une application en un point, unicit´e. Propri´et´es (op´erations, gendarmes, composition). Limites suivant un chemin. Fonctions usuelles et exemples de calcul.
1.3) Continuit´e . D´efinition et exemples. Propri´et´es (op´erations, composition de fonctions continues, fonctions usuelles).
Exercice 1
D´eterminer et repr´esenter les domaines de d´efinition pour chacune des fonctions suivantes.
a.f(x, y) =√
x+y. b.f(x, y) =p
2x+y2. c.f(x, y) = 1 px2+y2. d.f(x, y) = 1
√x+y. e.f(x, y) = arcsin(x+y). f.f(x, y) =
√
x2−4 +p 4−y2 p9−x2−y2 . g.f(x, y) =p
xsiny+ ln(x+ 5y). h.f(x, y) = ln(1−xy). i.f(x, y) = ln(x+y2) j.f(x, y, z) =p
4−x2−y2−z2. k.f(x, y, z) = 1 x+y+|z|.
Exercice 2
Dessiner (`a l’aide des traces) les graphes des fonctions suivantes :
1.f(x, y) = cosx. D´ecrire pr´ecis´ement les intersections avec les plans d’´equation{y=k}.
2.f(x, y) = 4x2+y2.
3.f(x, y) =−xy. Indiquer les courbes de niveau correspondant respectivement `a{z= 1}et{z=−1}.
4.f(x, y) =x2−y2.
Exercice 3
D´eterminer l’ensemble image des fonctions suivantes :
a.f(x, y) = cosx b.f(x, y) = ln(2x−y+ 1). c.f(x, y) =y2exy. d.f(x, y) =x2−y2.
Exercice 4
D´eterminer si les fonctions suivantes ont une limite en(x, y) = (0,0)et donner leurs valeurs si elles existent.
a. x2−y2
x2+y2. b. x2−2xy+y2
x2+y2 . c. xy+y2
x2+ 4xy+y2. d. x2y
x2+y2. e.1 +x+y
x2−y2 . f. |x−y|
x2−2xy+y2. g.
e
−|x−y|
x2−2xy+y2
!
h. 1 +x2+y2
y siny i.|x|y. j.|x|1/y.
(x+y)2 xy xy6 x2+y2
s.1−cos(xy)
y2 . t.ch(xy)−cos(xy)
x2y2 . u. sinx−y
x−siny. v.sinx4+ siny4 px4+y4 .
w. x3+y3
x2+y2. x. x3−y3
x2+y2. y. [(x−1)2+y2] ln[(x−1)2+y2]
|x|+|y| . z. |y|α
x2+|y|, α∈R.
Exercice 5
Etudier la continuit´e des fonctions suivantes.
a.f(x, y) =
( (x+2y)3
x2+y2 si(x, y)6= (0,0),
0 si(x, y) = (0,0) e.f(x, y) =
( x3y5
(x2+y2)2 si(x, y)6= (0,0), 0 si(x, y) = (0,0) b.f(x, y) =
( sin(xy)
y siy6= 0,
x siy= 0 f.f(x, y) =
(x2+y2) sin xy1
sixy6= 0,
0 sixy= 0
c.f(x, y) = (
e−x
2
|y| siy6= 0, 0 siy= 0 d.f(x, y) =
exy−1
x2+y2 si(x, y)6= (0,0), 0 si(x, y) = (0,0)
Exercice 6
a.V´erifier que la fonction d´efinie pour(x, y) 6= (0,0)parf(x, y) = x2y2
x2y2+ (x−y)2 poss`ede la propri´et´e suivante :les limites it´er´ees lim
x→0lim
y→0f(x, y) et lim
y→0lim
x→0f(x, y) existent et sont ´egales maisf n’a pas de limite en(0,0).
b.V´erifier que la fonction d´efinie pourxy6= 0parf(x, y) = (x+y) sin1 xsin1
y poss`ede la propri´et´e suivante :aucune des limites it´er´ees lim
x→0lim
y→0f(x, y) et lim
y→0lim
x→0f(x, y) n’existe maisf a bien la limite nulle en(0,0).
Feuille II
:Calcul differentiel I Math 202 PC
•D´eriv´ees partielles du premier ordre pour les fonctions num´eriques. D´eriv´ee directionnelle.
•La diff´erentiabilit´e, d´efinition, conditions n´ecessaires (la continuit´e, la d´erivabilit´e ”partielle”) , condition suffisante (C1).
Proprietes sur la somme, le produit de fonctions diff´erentiables.
•La diff´erentielle :df =fxdx+fydy. La diff´erentielle d’une application lin´eaire ou affine. Le plan tangentZ−f(x0, y0) = fx(x0, y0)(X−x0) +fy(x0, y0)(Y −y0).
•Th´eor`eme des Accroisements Finis pour le cas de 2 variables et `a valeurs numeriques. In´egalit´es des Accroisements Finis, applications au calcul d’incertitudes.
Exercice 1
Calculer, en chaque point de leur domaine de d´efinition, les d´eriv´ees partielles de premier ordre pour les fonctions suivantes.
a.3x/y. b.cos(x2+y). c.arctan y
x2.
d. 1
p1 +x+y2+z2. e.ysin(xz). f.tan(arctanx+ arctany).
Exercice 2
Etudier la continuit´e, l’existence et la continuit´e des d´eriv´ees partielles des fonctions d´efinies par : a.f(x, y) = x|y|
px2+y2, si(x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0.
b.f(x, y) =x2y2ln(x2+y2), si(x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0.
c.f(x, y) = (x+y)psin( 1
px2+y2), si(x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0. Discuter suivant les valeurs de l’entierp∈N. d.f(x, y) =y2sinx
y, siy6= 0,f(x,0) = 0.
e.f(x, y) =sin(x3+y3)
x2+y2 , si(x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0.
f.f(x, y) =xsiny−ysinx
x2+y2 , si(x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0.
Exercice 3
1.Calculer pour chacune des fonctions suivantes la d´eriv´ee directionnelle dans la direction donn´ee : a.sinx+ cosyen(0,0)dans la direction du vecteur(cosθ,sinθ)avecθ= 0,π/6ouπ/3.
b.z2−x2−y2en(1,0,1)dans la direction du vecteur(4,3,0).
c.xyz−xy−yz−zx+x+y+zen(2,2,1)dans la direction du vecteur(2,2,0).
d.xz2+y2+z3en(1,0,−1)dans la direction du vecteur(2,1,0).
2.Soitf :R2→Rd´efinie par : f(x, y) = y3
px2+y4, si(x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0.
a.Montrer quef est continue en(0,0).
b.Montrer que pour tout vecteur−→v non nul deR2, la d´eriv´ee directionnelle defen(0,0)suivant−→v existe et la calculer.
Exercice 4
V´erifier que la fonctionf(x, y) = (xy)1/3est continue, que ses d´eriv´ees partielles∂xf,∂yf existent `a l’origine mais que la d´eriv´ee directionnelle n’existe dans aucune autre direction.
Exercice 6
Trouver l’´equation du plan tangent `a la surface d´efinie parz=f(x, y)au pointA= (x0, y0)dans chacun des cas suivants.
a.f(x, y) = 3x2+ 4y2,A= (0,1).
b.f(x, y) = 2 cos(x−y) + 3 sinx,A= (π, π/2).
c.f(x, y) =p
x2+y2,A= (1,2).
Exercice 7
Soit(S)la surface d’´equation :z=x2+y2+x+y−xy=f(x, y).
a.D´eterminer l’´equation du plan tangent `a(S)enM0= (x0, y0, z0).
B.D´eterminer le point o`u le plan tangent `a(S)est parall`ele au planz= 0. Etudier en ce point, la position de(S)par rapport
`a son plan tangent.
Exercice 8
Consid´erons la fonctionfd´efinie surR2parf(x, y) = x2y2
(x2+y2)α si(x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0, o`uαest un nombre r´eel.
Pour quelles valeurs deα, la fonctionf est-elle continue surR2diff´erentiable surR2? de classeC1surR2? Exercice 9
Etudier la diff´erentiabilit´e en(0,0)de la fonction d´efinie parf(x, y) = x3y
x4+y2 si(x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0.
Exercice 10
Consid´erons la fonctionf d´efinie surR2parf(x, y) = x3−y3
x2+y2, si(x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0.
a.Etudier la continuit´e def surR2.
b.D´eterminer les d´eriv´ees partielles premi`eres def surR2. La fonctionf est-elle diff´erentiable surR2?
c.La fonctionφ:R→R2est d´efinie parφ(t) = (u(t), v(t)), o`uu(t) =tetv(t) =−t. PosonsF =f◦φ. CalculerF0(0) etA= ∂f∂x(0,0)u0(0) +∂f∂y(0,0)v0(0).
Exercice 11
Calculs d’incertitude
a.Donner une valeur approximative `a la variation de(x+y)/(x−y)lorsquexvarie dex= 2`ax= 2,5etyde4`a4,5.
b.Donner une valeur approch´ee deln((1,02)1/4+ (0,96)1/6−1)et dee0,2/0,9.
c.Les longueursxetydes deux cˆot´es de l’angle droit d’un triangle rectangle sont connues avec une pr´ecision inf´erieure ou
´egale respectivement `ahetk. Encadrer l’erreur avec laquelle sera calcul´ee l’aire du triangle.
Exercice 12
La p´eriodeTd’un pendule, exprim´ee en secondes, est donn´ee par la formuleT = 2πp
`/go`u`est sa longueur exprim´ee en m`etres etgl’acc´el´eration de la pesanteur en m`etres pas seconde au carr´e.
a.CalculerT pour`= 2m,g= 9,81m/s2etπ= 3,14.
b.Estimer l’incertitude surT sachant que∆π= 10−2,∆`= 10−3met∆g= 10−2m/s2. Exercice 13
Deux r´esistancesR1etR2, respectivement de30Ωet40Ωsont connues `a0,5%.
a.Le montage en s´eries des r´esistancesR1etR2fournit une r´esistance ´equivalenteR=R1+R2. CalculerRet estimer la pr´ecision du r´esultat.
b.Reprendre la question pr´ec´edente, lorsque les r´esistances sont mont´ees en parall`ele, sachant qu’alors1/R= 1/R1+ 1/R2.
Math 202 PC. Exercices 2009/2010 Feuille III
–Calcul differentiel II
•D´eriv´es partielles d’ordre sup´erieur, Th´eor`eme de Schwarz.
•Formule de Taylor. Extrema locaux.
•Matrice Jacobienne. Composition
•Changement de coordonn´ees,C1-diff´eomorphismes
D´eriv´ees partielles secondes.
Exercice 1
Calculer, en chaque point de leur domaine de d´efinition, les d´eriv´ees partielles de second ordre des fonctions suivantes.
a. x−y
x+y. b.ylnx.
c.e−x2 +y
2
4z . d. 1
px2+y2+z2. Exercice 2
Soitf :R2→Rd´efinie par : f(x, y) = y4
x2+y2, si(x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0.
a.Montrer quef est de claseC1surR2.
b.Montrer que ∂x∂y∂2f (0,0)et∂y∂x∂2f (0,0)existent et sont ´egales.
c.Montrer que ∂x∂y∂2f et∂y∂x∂2f ne sont pas continues en(0,0) Exercice 3
Soitf :R2→Rd´efinie par : f(x, y) =xy(x2−y2)
x2+y2 , si(x, y)6= (0,0), f(0,0) = 0.
a.Montrer quef est de claseC1surR2.
b.Montrer quef admet des d´eriv´ees partielles secondes crois´ees
∂2f
∂x∂yet ∂y∂x∂2f surR2et montrer que ∂x∂y∂2f (0,0)6=∂y∂x∂2f (0,0); conclure.
Exercice 4
Soitf :R2→Rd´efinie par : f(x, y) = xny
x2+y2, si(x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0.
Discuter suivant les valeurs de l’entier positifn, l’appartenance def aux classesC0(R2),C1(R2)etC2(R2).
Exercice 5
On noteU := {(x, y) ∈ R2 : x+y 6= 0}. Trouver toutes les applicationsφ : R∗ → Rde classeC2 telles que pour l’applicationf :U →Rd´efinie parf(x, y) =φ(x+y)et pour tout(x, y)dansU, on a :
∂2f
∂x∂y(x, y) = 2f(x, y) (x+y)2
Formule de Taylor-Extrema locaux des fonctions de 2 variables
Exercice 6
Soitf(x, y) =x4+y4−4xy+ 1
a. Ecrire la formule de Taylor au point(0,0)`a l’ordre2def. b. D´eterminer les points critiques defet leurs natures.
Exercice 7
On veut fabriquer une boite rectangulaire sans couvercle avec 12m2de carton. Quel est le volume maximal r´ealisable pour une telle boite.
Matrice jacobienne. C
1-diff´eomorphismes
Exercice 8
Consid´erons la fonctionf d´efinie surE ={(x, y)∈R2:x >0, y >0}parf(x, y) = (x2 2y,y2
2x).
a.Montrer quef est diff´erentiable surE.
b.Ecrire la matrice jacobienne defsurE.
c.Montrer quef est une bijection deEsurE.
d.On poseg=f−1. D´eterminerget v´erifier quegest diff´erentiable surE.
e.Ecrire la matrice jacobienne degsurE.
Exercice 9
Soitφ:R2→R2l’application d´efinie parφ(x, y) = (x+y, x+my), o`um∈Rest un param`etre.
a.A quelle condition la matrice jacobienne deφest-elle injective ?
b.A quelle conditionφest-il un changement de variables ouC1-diff´eomorphisme ? Exercice 10
Montrer queφ:R2→R2d´efinie parφ(x, y) = (ex−ey, x+y)est unC1-diff´eomorphisme.
Exercice 11
Soitf :R3→R2l’application d´efinie parf(x, y, z) = (x+y2, xy2z).
a.Ecrire la matrice jacobienne def au point(x, y, z).
b.Soitg:R2→R3l’application d´efinie parg(u, v) = (u2+v, uv, ev). Ecrire la matrice jacobienne degau point(u, v).
c.Ecrire la matrice jacobienne deg◦f au point(x, y, z).
Exercice 12
Trouver un ouvertUdeR2tel que l’applicationφ:U →R2d´efinie parφ(x, y) = (x−y, xy)soit unC1-diff´eomorphisme deU surφ(U).
Feuille IV
–Calcul differentiel III : Equations aux D´eriv´ees Partielles (EDP) d’ordre 1 et 2.
Equations aux D´eriv´ees Partielles du premier ordre
Exercice 1.R´esoudre les EDP d’inconnuef :U →Rde classeC1sur l’ouvert indiqu´eUet `a l’aide du changement de variable fourni(u, v):
a.2∂f
∂x −∂f
∂y =x2y; U =R2 (u=x, v=x+ 2y)
b. ∂f
∂x −∂f
∂y = 1; U =R2 (u=x−y, v=x+y)
c.x∂f
∂x−y∂f
∂y =xy2; U =R+∗×R (u=x, v=xy)
d.x∂f
∂x +y∂f
∂y =p
x4+y4 ; U =R+∗×R (u= yx, v=x2+y2)
Exercice 2.On consid`ere l’EDP(E): x∂f
∂x +y∂f
∂y = 0 surU =R+∗×R. a.R´esoudre(E)`a l’aide du changement de variable(u=x, v=xy).
b.R´esoudre(E)en passant en coordonn´ees polaires.
Exercice 3.Soitaun r´eel fix´e. R´esoudre l’EDP(E): y∂f
∂x −x∂f
∂y = a.f surU = R+∗×R en passant en coordonn´ees polaires.
Exercice 4.SoitU =R+∗×R+∗etφ:U →R2d´efinie par :φ(x, y) = (xy,xy).
a.Montrer queφest unC1-diff´eomorphisme deU surU.
b.Af ∈C1(U,R)on associeg ∈C1(U,R)d´efinie parf(x, y) =g(xy,yx)pour tout(x, y)∈U. Donner une CNS surg pour quef soit une solution de l’´equation x∂f
∂x +y∂f
∂y = 2xy (E).
c.D´eduire de b. les solutions de(E)surU.
Exercice 5.SoitU1={(x, y)∈R2:y > x}etφ:U1→R2d´efinie par :φ(x, y) = (xy, x+y).
1. a.Montrer queφest unC1-diff´eomorphisme deU1surφ(U1)que l’on d´eterminera.
b.Af ∈C1(U1,R)on associeg∈C1(U1,R)d´efinie parf(x, y) =g(xy, x+y)pour tout(x, y)∈U1. Donner une CNS surgpour quef soit une solution de l’´equation ∂f
∂x −∂f
∂y = 3(y−x)f (E).
c.D´eduire de b. les solutions de(E)surU.
2.Sans refaire les calculs, donner les solutions de(E)surU2={(x, y)∈R2:y < x}.
3.En ´etudiant les ” raccords” sur la droite d’´equationx=yd’une solution de(E)surU1et d’une solution de(E)surU2, trouver les solutions de(E)surR2.
Equations aux D´eriv´ees Partielles du second ordre
Exercice 6.R´esoudre les EDP d’inconnuef :U →Rde classeC2sur l’ouvert indiqu´eUet `a l’aide du changement de variable fourni(u, v):
a.2∂2f
∂x2 −1 x
∂f
∂x−4x2∂2f
∂y2 = 0; U =R+∗×R (u=x2−y, v=x2+y)
b.x2∂2f
∂x2 −y2∂2f
∂y2 = 0; U =R+∗×R+∗ (u= xy, v=xy)
c.x2∂2f
∂x2 + 2xy ∂2f
∂x∂y +y2∂2f
∂y2 = 0; U =R+∗×R (u=x, v=xy)
Partie II : Calcul int´egral.
Feuille V : Int´egrales multiples.
a) Rappels sur l’int´egrale d´efinie des fonctions d’une variable r´eelle : somme de Riemann, aire d’un domaine dans le plan, th´eor`eme fondamental :Rb
aFx0(x)dx=F(b)−F(a); propri´et´es et m´ethodes de calculs (IPP, changement de variable :Rb a f◦ φ φ0dt=Rφ(b)
φ(a)f dx).
b) Construction g´en´erale avec sommes de Riemann en2D. Propri´et´es, int´egrale double def ≥0surDinterpr´et´ee comme volume du solide s’´elevant verticalement au dessus de D et couvert par la portion de graphe def. Int´egration des fonctions continues, lien avec les int´egrales it´er´ees. Th´eor`emes de Fubini. Changement de variables. Passage en coordonn´ees polaires.
Exercice 1 1. a. Calculer
ZZ
D
xcos(xy)dxdy,D={(x, y)|1≤x≤2,0≤y≤ π2}.
b. Calculer ZZ
R
r2cosθdrdθ,R={(r, θ)|0≤r≤2,0≤θ≤ π2}.
2. a. Calculer le volume d´elimit´e par le parabol¨ıde d’´equation2x2+y2+z = 9, les trois plans coordonn´ees et les plans d’´equationsx= 1ety= 1.
b. Calculer le volume qui se trouve sous le plan d’´equation3x+ 2y+z= 12et au dessus du rectangleR= [0,1]×[−2,3].
3. Calculer ZZ
R
p9−y2dxdy,R= [0,4]×[0,2], puis dessiner le solide dont le volume est repr´esent´e par cette int´egrale.
Exercice 2
Calculer les int´egrales it´er´ees suivantes : a.
Z 1
0
Z x
x2
dxdy.
b.
Z π
0
Z cosθ
0
rsinθdrdθ.
Exercice 3 Calculer
ZZ
D
(x2+y2)dx dy, o`uDest le triangle de sommetsA(0,0),B(1,0)etC(1,1).
Exercice 4 Calculer
ZZ
D
xy2dx dy, o`uDest le losange de sommetsA(0,0),B(1,1),C(0,2)etD(−1,1).
Exercice 5
On poseD={(x, y)|0≤x≤1,1≤x+y≤4} et f(x, y) = 1
(x+y)(x2+ 1). a. Dessiner le domaineD.
b. Donner les deux ´ecritures du th´eor`eme de Fubini pourI= ZZ
D
f(x, y)dx dy.
c. CalculerI.
Exercice 6
Dessiner puis calculer l’aire de la partie deR2d´elimit´ee par les courbes d´efinies par les ´equations suivantes : 1. y=x2ety= 2x+ 3.
2. y2=x3ety=x.
Exercice 7
Calculer l’ int´egrale double ZZ
D
f(x, y)dx dy.
1. f(x, y) =(x2+1)(y1 2+1),D={(x, y)|0≤x≤1,0≤y≤x}.
2. f(x, y) =ey2,D={(x, y)|0≤x≤y≤1}.
3. f(x, y) = x2,D est la r´egion du premier quadrant d´elimit´ee par l’hyperbolexy = 16et les droitesy = x,y = 0et x= 8.
4. f(x, y) =x,Dest la r´egion d´elimit´ee pary=x2et les droitesy=x.
5. f(x, y) =y,Dest la r´egion d´elimit´ee pary= 0,y2= 4xety2= 5−x.
6. f(x, y) =x(x+y)2+y2+12 ,D={(x, y)|x2+y2≤1}.
7. f(x, y) =xx−y2+y2,D={(x, y)|y≥0, x2+y2−x≥0, x2+y2−2x≤0}.
Exercice 8
1. Calculer le volume du solide contenu dans la boule de centre(0,0)et de rayon4et `a l’ext´erieur du cylindrex2+y2= 4.
(Indication : figure et polaires).
2. Calculer ZZ
D
ex+yx−ydx dy, o`uDest le trap`eze de sommets(1,0),(2,0),(0,−2)et(0,−1), en utilisant le changement de variables : (u=x+y, v=x−y).
3. Calculer ZZ
D
xydx dy, o`uDest la r´egion du premier quadrant d´elimit´ee par les hyperbolesxy= 1etxy= 3et les droites y=xety= 3x, en utilisant le changement de variables : (x=uv, y=v).
