Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

Limites et dérivées des fonctions trigonométriques inverses

Dérivées

Question 1

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

a) f (x) = arccos _x

2

b) f (x) = arccosec x ² c) y = arcsin

x ³ − 3x d) y =

x −arctan(2x) 5

e) y = arccosec x ² f) y = arcsin √

x

g) y = 2 arcctg(x)

Question 2

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

a) y = xarctan(x) b) y = xarccos(2x) c) y = arccos 2x 1 − x ²

!

d) y = arcctg e ^{3 sec(x)} e) y = asec

x ² + 1 f) y = arcsin(x ² )

ln(x) Question 3

Trouver dy

dx pour chacune des relations suivantes.

a) arctan y

x

= y ² b) arccos(y) = arcsin(x) c) e ^arctan(y) = sin (ln(x))

Question 4

Trouver les valeurs de x pour lesquelles la fonction f (x) = arcsin(3x) admet une droite tangente perpendiculaire à la droite y = 3 − x/5.

Exercices récapitulatifs

Question 5

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

a) y = log ₃ √ x

b) y = q ln √

x

c) y = 4 · r 1

3 ^x d) y = e ^x + 2 ^x 5

e) y = e ^x e ^x − x f) y = tan ²

e ^x

³

g) y = log

cos(3x) − cos ³ (2x)

h) y = sin 2 ^x + cos(x) i) y = ln

csc

3 x ⁴ −2e ^x j) y = cot √

x + p sec x ² k) y = x ²

tan √

₃

x

l) y = q

sec sin( x ² ) m) y = ln arctan e ^x

n) y = arcctg 1 x

!

o) y = arcsin ln(x) x

!

1

Solutions

Question 1 a) f

⁰

(x) = −

¹

2 q

1−^x₄²

b) f

⁰

(x) = −

²

x

√ x⁴−1

c) dy

dx = 3x

²

−3 q

1− x

³

− 3x

2

d) dy

dx = 5 (x − arctan(2x))

⁴

4x

²

− 1 4x

²

+ 1 e) dy

dx = − 2 x

√ x

⁴

− 1 f) dy

dx = 1 2

√ x − x

²

g) dy

dx = −2

x

²

+ 1 arcctg

²

(x)

Question 2 a) dy

dx = arctan(x) + 1 1 + x

²

b) dy

dx = arccos(2x)− 2x

√ 1− 4x

²

c) dy

dx = 2x

²

+ 2

√

x

⁴

− 6x

²

+1 d) dy

dx = − 3e

^{3 sec(x)}

sec(x) tan(x) 1 + e

^{6 sec(x)}

e) dy

dx = 2

x

²

+1 √ x

²

+2 f) dy

dx = 2x

ln(x)

√ 1− x

⁴

− arcsin(x) x ln

²

(x)

Question 3 a) dy

dx = −y

2x

²

+2y

³

− x b) dy

dx = − s

1−y

²

1 − x

²

c) dy dx =

1 + y

²

cos(ln(x)) xe

^arctan(y)

Question 4

x = −4/15 et x = 4/15

Question 5 a) dy

dx = 1 2xln(3) b) dy

dx = 1

4x q

ln √ x

c) dy dx = −2

s 1 3

!

x

ln(3)

d) dy

dx = 5 e

^x

+ 2

^x

4

e

^x

+ 2

^x

ln(2) e) dy

dx = e

^x

(1− x) (e

^x

− x)

²

f) dy

dx = 6x

²

e

^x3

tan

e

^x3

sec

²

e

^x3

g) dy

dx = −3 sin(3x) + 6 cos

²

(2x) sin(2x) ln(10) cos(3x − cos

³

(2x) h) dy

dx = 2

^x

ln(2) −sin(x) cos 2

^x

+ cos(x) i) dy

dx =

12x

³

− 2e

^x

cot

3x

⁴

2e

^x

− 3x

⁴

j) dy dx = x tan

q sec x

²

− csc

²

√ x 2 √

x

k) dy

dx = 2x cot √

₃

x

−

√

3

x

⁴

3 csc √

₃

x

l) dy dx = cos

x

²

tan

sinx

²

q

sec sin x

²

m) dy

dx = e

^x

1 + e

^2x

arctan(e

^x

) n) dy

dx = 1 1 + x

²

o) dy

dx = 1− ln x x

²

+ ln

²

x

2