Calculer les limites suivantes :

Mathématiques TES3 – 2011-2012 Limites et TVI Lundi 10 octobre 2011

Exercice N°1

Calculer les limites suivantes :

2

lim 2

5 1 1

x

x

→+∞

+ +

( )

2 1 2

5 3

lim

x

1 x

→

x

+

− ^{puis :} ( )

2 3

1 2

5 3

lim 7

1

x

x

→

x

⎛ + + ⎞

⎜ ⎟

⎜ − ⎟

⎝ ⎠

Exercice N°2

On considère la fonction f définie sur \ par : ^{f x} ( ) ^{= − 2 x}

^{+ 6 x + 1 .}

1. Déterminer les variations de f.

2. Justifier que l’équation − 2 x

+ 6 x + = 1 0 admet une solution unique (notée α ) sur l’intervalle [ ^{− 1; 0} ] et une solution unique (notée β ) sur l’intervalle [ ] ^{1 ; 2 .}

3. Donner un encadrement de α d’amplitude 10

. 4. Donner un encadrement de β d’amplitude 10

.

5. Donner le signe de la fonction f sur l’intervalle [ ^{− + ∞ 1 ;} [ ^.

Exercice N°3

On considère la fonction f définie par :

( ) ( )

3 2

2

2 13 28 23

2

x x x

f x

x

− + −

= −

On note C sa courbe représentative dans un repère.

1. Quel est le domaine de définition D

de la fonction f ? 2. Vérifier que pour tout x du domaine de définition de f on a :

( ) ( )

2 5 3

2

f x x

x

= − + −

− 3. Déduire de la question précédente :

• ( )

2

lim

x

f x

→

et interpréter graphiquement le résultat obtenu ;

• L’existence d’une asymptote oblique D dont on donnera une équation ;

• La position de C par rapport à l’asymptote D ^.

4. Bonus (un peu long et, surtout, facultatif !) : donner le signe de f sur D

^.