I. Déterminer les limites suivantes, en justifiant : 1. lim

DEVOIR A LA MAISON N°11. TS1.

Pour le mercredi 29 janvier 2020.

I. Déterminer les limites suivantes, en justifiant : 1. lim

x

x² e

^x

3 x 2 2. lim

x

2 e

^x

3 x ² x 3. lim

x 2

e

^{3x 6}

1 6 x 12

II. Résoudre les équations et inéquations suivantes : 1. e

^x

1 0

2. e

^4x

e

^2x

e

^{x 3}

e

^{x 2}

3. e

^2x

3e

^x

2 0.

III. Soit un nombre réel fixé non nul.

Le but de cet exercice est d’étudier la suite ( ) ^u

ⁿ

définie par u

0

a et, pour tout entier naturel n, u

n 1

e

^2un

e

^un

. Soit g la fonction définie pour tout réel par : g (x ) e

^2x

e

^x

x.

1.

a. Prouver que, pour tout réel : g ( x) ( ^e

^x

¹ ) ( ^2e

^x

^{1 .} )

b. Déterminer les variations de la fonction g et donner la valeur de son minimum.

c. Montrer que la suite est croissante.

2. Dans cette question, on suppose que a 0.

a. Que dire de la suite ( ) ^u

n

lorsque a vaut ?

b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u

n

0.

c. Déduire des questions précédentes que la suite ( ) ^u

ⁿ

est convergente.

3. Dans cette question, on suppose que a 0.

a. Démontrer que, pour tout entier naturel , on a u

n 1

u

n

g (a ).

b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , on a : u

n

a n g (a ) . c. Déterminer la limite de la suite ( ) ^u

n

.

4. Dans cette question, on prend a 0,02.

L’algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier tel que u

n

M, où M désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet.

u  0,02 n  0

Tant que ……

………

………

Fin tant que

a. Compléter l algorithme.

b. À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si M 60.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N° 11. TS1.

I.

1. lim

x

x² e

^x

et lim

x

3 x 2 donc on a une F.I.

Pour tout reel x, x² e

^x

3 x 2 ex

 



  x ² 3x 

ex 2

ex e

^x









x² ³ e

^x

x

2 e

^x

D après le cours, lim

x

e

^x

x donc lim

x

3 e

^x

x

0

D après le cours lim

x

e

^x

donc lim

x

2 e

^x

0 De plus, lim

x

x² , Alors lim

x









x² ³ e

^x

x

2

e

^x

et lim

x

e

^x

donc lim

x

x² e

^x

3x 2

2. lim

x

2 e

^x

3 et lim

x

(x² x) lim x

x² donc on a une F.I.

Pour tout x 1, ^{2 e}

^x

³ x² x

e

^x

 

 

2

³

e^x

x²  

 

1

¹

x

e

^x

x ²

2

³

e^x

1

¹

x

D après le cours lim

x

e

^x

donc lim

x

2 3

e

^x

2 D autre part lim

x

1 ¹

x 1 Alors lim

x

2

³

e^x

1

¹

x 2 1 2

De plus, d après le cours, lim

x

e

^x

x² Alors lim

x

2 e

^x

3

x² x .

3. lim

x 2

e

^{3x 6}

1 0 (on le rédige en posant X 3x 6) et lim

x 2

( 6x 12) 0 donc on a une F.I.

Pour tout x différent de 2, ^e

^{3x 6}

¹ 6x 12

1 2

e

^{3x 6}

1 3x 6 On pose X 3x 6.

lim

x 2

X 0 et lim

X 0

e

^X

1

X 1 d après le cours.

Alors lim

x 2

e

^{3x 6}

1

3 x 6 1 et donc lim

x 2

e

^{3x 6}

1 6 x 12

1

2 1 1

2 II.

1. e

^x

1 0  e

^x

1  x 0 : S ]0 [.

2. e

^4x

e

^2x

e

^{x 3}

e

^{x 2}

 e

^{5x 3}

e

^{x 2}

 5x 3 x 2  x 1

4 La solution est 1 4 3. e

^2x

3e

^x

2 0 





X e

^x

X ² 3X 2 0 Les racines de X² 3X 2 sont 1 et 2.

Donc e

^2x

3 e

^x

2 0 





X e

^x

X 1 ou X 2  e

^x

1 ou e

^x

2. Pour tout x de , e

^x

0 donc

l équation n a pas de solution.

III.

1.

a. g est dérivable sur .

Pour tout x de , g ( x) 2 e

^2x

e

^x

1.

D autre part, pour tout x de , ( e

^x

1 ) ( 2e

^x

1 ) 2e

^2x

e

^x

2 e

^x

1 2 e

^2x

e

^x

1.

Ainsi, pour tout réel : g (x ) ( ^e

^x

¹ ) ( ^{2 e}

^x

^{1 .} )

b. Pour tout x de , e

^x

0 donc 2 e

^x

1 0 e

^x

1 0  e

^x

1  x 0

On peut donc construire le tableau suivant : x 0 + e

^x

1

2e

^x

1 g (x) g( x)

0

Le mini mu m de g sur est g (0) e

⁰

e

⁰

0 0 c. Soit n un entier naturel.

u

n 1

u

n

e

^2un

e

^un

u

n

g ( ) ^u

ⁿ

0 car le minimum de g est 0 La suite ( ) ^u

ⁿ

est donc croissante.

2. Dans cette question, on suppose que a 0.

a. Si a 0 : u

0

0 ; u

1

e

⁰

e

⁰

0 … : la suite ( ) ^u

ⁿ

est constante. (se démontre de façon rigoureuse par récurrence.)

b. Initialisation : pour n 0 : u

0

a 0 donc la propriété est vraie pour n 0.

Hérédité : soit p un entier naturel tel que u

p

0. Montrons que u

p 1

0.

u

p 1

e

^2up

e

^up

e

^up

( ^e

^up

¹ )

u

p

0 donc e

^up

1 donc e

^up

1 0

D autre part, e

^up

0 Ainsi, u

p 1

e

^up

( ^e

^up

¹ )

Conclusion : pour tout entier naturel n, u

n

0.

c. La suite ( ) ^u

ⁿ

est croissante et majorée par 0 donc elle converge vers un réel L.

3. Dans cette question, on suppose que a 0.

a. Soit n un entier naturel.

u

n 1

u

n

g ( ) ^u

n

La suite ( ) ^u

ⁿ

étant croissante, u

n

u

0

, c'est-à-dire u

n

a 0 et donc g ( ) ^u

ⁿ

^g (a) car la fonction g est croissante sur +.

Ainsi, u

n 1

u

n

g (a ).

b. Initialisation : pour n 0 : u

₀

a et a 0g (a) a donc u

₀

a 0g (a ).

Hérédité : soit p un entier naturel tel que u

_p

a p g( a). Montrons que u

p 1

a (p 1)g (a ).

D après la question précédente, u

p 1

u

p

g( a). Or u

p

a pg ( a) Alors u

p 1

a pg (a ) g (a ), c'est-à-dire u

p 1

a ( p 1)g (a).

Conclusion : pour tout entier naturel , on a : u

n

a n g (a) . c. a 0 donc, d après le tableau de variation de g, g (a ) 0 et donc lim

n

ng ( a) . On a donc lim

n

a ng (a )

Or, d après la question précédente, pour tout n de , u

n

a n g (a ) . Par comparaison, on a alors lim

n

u

n

. 4. Dans cette question, on prend a 0,02.

a.

u  0,02 n  0

Tant que u M u e

^2u

e

^u

n n 1 Fin tant que

b. On obtient n 36.