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en suivant un algorithme de d´ enombrement

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Academic year: 2022

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(1)

Lyc´ee Pierre de Fermat 2020/2021

MPSI 1 TD

enombrement 1 enombrements usuels.

1.1 enombrer

` a la main

en suivant un algorithme de d´ enombrement

Exercice 1.1.

1. SoitA=



0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0



. De combien de fa¸cons peut-on extraire la matrice

1 1 1 1

deA?

2. SoitA=





0 1 1 1

1 0 1 0

0 1 0 1

1 1 0 0

0 0 0 1





. De combien de fa¸cons peut-on extraire la matrice

1 0 0 1

deA?

1.2 Arrangements et Combinaisons

Exercice 1.2.

1. SoitA=



1 2 3 4 5 6

0 0 0 1 0 0

0 7 8 0 0 0

1 1 1 1 1 1



∈ M4,6(R).

De combien de fa¸cons peut-on extraire la matrice

0 0 0

deA?

2. SoitA=





0 1 1 1 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

1 1 0 1 1





∈ M5(R).

De combien de fa¸cons peut-on extraire la matrice 1

1

deA?

Exercice 1.3. Nombre de matrices extraites de A∈ Mn,p(K) SoitA∈ Mn,p(C) dont lesnpcoefficients sont tous deux `a deux diff´erents.

1. Soient (n, p)∈[[1, n]]×[[1, p]]. Combien existe-t-il de matrices extraites deA de taille (n, p) ? 2. Combien existe-t-il de matrices extraites deA?

Exercice 1.4.

Les ´el`eves du lyc´ee ont d´ecid´e de prendre des paris sur l’ordre et les noms des trois ´el`eves prim´es du concours de tir `a l’arc pr´evu dans la soir´ee. M. Larcher, tr`es concern´e, les a centralis´es et il a observ´e au moins 500 paris diff´erents. Que peut-on dire du nombre de cibles `a trouver ?

Exercice 1.5.

1. `A partir des 46 ´el`eves de la MPSI-1 (14 filles), on souhaite choisir une arbitre puis r´epartir les autres

´el`eves en 3 ´equipes de rugby. Combien y-a-t-il de possibilit´es ?

2. On suppose les ´equipes et l’arbitre choisies. Les 3 ´equipes de rugby sont regroup´ees avec 6 autres ´equipes issues des deux autres MPSI puis r´eparties par tirage au sort en 3 poules A, B et C pour un mini championnat. Combien y-a-t-il de possibilit´es ? Quelle est la probabilit´e que deux ´equipes (au moins) d’une mˆeme classe soient dans la mˆeme poule ? Quelle est la probabilit´e que les trois ´equipes de la classe MPSI-1 soient dans la mˆeme poule ? Quelle est la probabilit´e que deux ´equipes (au moins) de la MPSI-1 soient dans la mˆeme poule ? Quelle est la probabilit´e que les trois ´equipes de la classe soient dans des poules diff´erentes ?

Trouver de deux m´ethodes le nombre de r´epartitions des 9 ´equipes en 3 poules de 3 pour lesquelles deux

´equipes de la MPSI-1 et pas trois sont la mˆeme poule.

Exercice1.6. Pour le plaisir du sport. C’est l’histoire de 3 tee-shirts parfaitement identiques qu’une utilisation intense a rendus sales et donc discernables.

(2)

1. Combien de fa¸cons existe-t-il de r´epartir les 3 tee-shirts sales dans 3 machines `a laver situ´ees les unes `a cˆot´e des autres au pressing.

2. Combien de fa¸cons existe-t-il de r´epartir les 3 tee-shirts propres dans les 3 tiroirs (discernables) d’une mˆeme commode.

3. Combien de fa¸cons existe-t-il de regrouper les 3 tee-shirts propres en 3 paquets pour les ranger dans un mˆeme tiroir ?

4. Au fait, combien de fa¸cons existait-t-il de r´epartir les 3 tee-shirts sales dans 3 sacs indiscernables pour les emporter au pressing ?

Reprendre l’exercice avec 4 tee-shirts au lieu de 3.

Exercice 1.7. D´enombrements dans Sn.

1. D´eterminer le nombrecn,2 de transpositions deSn, puis le nombrecn,p dep-cycles deSn (p>2).

2. D´eterminer le nombre de permutations d’ordre 2 deS6. 3. D´eterminer le nombre de permutations d’ordre 4 deS6. 4. D´eterminer le nombre de permutations d’ordre 6 deS7. 5. D´eterminer le nombre de permutations d’ordre 6 deS8.

6. D´eterminer le nombre de permutations d’ordre 12 de S13 (on exprimera le r´esultat comme somme de produits deci,j o`u (i, j)∈[[1,13]]2).

Exercice 1.8.

1. D´eterminer, en fonction den∈N, le nombre de solutions de l’´equation x+y+z=n , (x, y, z)∈N3

2. D´eterminer, en fonction den∈Net p∈N, le nombre de solutions de l’´equation a1+a2+. . .+ap=n d’inconnues (a1, . . . , ap, ap+1)∈Np+1

Exercice 1.9.

1. Donner la dimension du sous-espace vectoriel Kn[X1, X2] des polynˆomes homog`enes de degr´e n dans K[X1, X2]. Une base deK0[X1, X2] est 1 =X10X20, une base deK1[X1, X2] est (X1=X11X20, X2=X10X21), une base deK2[X1, X2] est (X12=X12X20, X1X2=X11X21, X22=X10X22),. . .

2. Donner dimension du sous-espace vectoriel des polynˆomes homog`enes de degr´endansK[X1, . . . , Xp].

Exercice 1.10. Applications croissantes et strictement croissantes.

Soientnetpdeux entiers naturels tels quen>p.

1. D´eterminer le nombre d’applications strictement croissantes de [[1, p]] dans [[1, n]], on note SC(p, n) leur ensemble.

2. (Plus subtile) D´eterminer le nombre d’applications croissantes de [[1, p]] dans [[1, n]], on note C(p, n) leur ensemble. On pourra s’int´eresser `a l’application Ψ

C(p, n) → SC(. . . , . . .) f 7→ [[1, p]] → . . .

k 7→ f(k) +k−1 3. Autre m´ethode pour retrouver le cardinal deC(p, n).

(a) Montrer que l’application Φ

C(p, n) → {(a1, . . . , ap, ap+1)∈Np+1 |a1+a2+. . .+ap+1=n−1}

f 7→ (f(1)−1, f(2)−f(1), . . . , f(p)−f(p−1), n−f(p)) est bien d´efinie et bijective.

(b) En d´eduire le cardinal deC(p, n).

Exercice 1.11.

SoitE un ensemble fini de cardinaln∈N. SoitA∈ P(E)\ {∅}tel que|A|=p6n.

1. Quel est le cardinal de l’ensembleX des parties deE contenant au moins un ´el´ement deA? 2. Quel est le cardinal de l’ensembleXb des parties deE contenant exactement un ´el´ement deA?

Exercice 1.12.

SoitE un ensemble fini de cardinaln∈N.

1. Calculer le cardinal deE2(E) ={(X, Y)∈ P(E)2|XY}.

2. G´en´eraliser le r´esultat pr´ec´edent en calculant pourp>2 le cardinal de Ep(E) ={(X1, . . . , Xp)∈ P(E)p |X1. . .Xp}.

(3)

Exercice 1.13.

SoitE un ensemble fini de cardinaln∈N. SoitA∈ P(E)\ {∅}tel que|A|=p6n.

1. Quel est le cardinal de l’ensembleE1des parties deE contenantA?

2. Quel est le cardinal de l’ensembleE2des parties deE de cardinalmcontenantA?

3. Quel est le cardinal de l’ensembleE3des couples de parties deE d’intersection exactementA?

2 Suites d´ efinies ` a partir d’une question de d´ enombrement

2.1 Exemples classiques

Exercice 2.1. Nombre de parenth´esages ou nombres de Catalan.

Soient a0, a2, · · ·, an (n∈N) des ´el´ements d’un ensembleE muni d’une loi de composition interne∗ que l’on ne suppose pas associative. On notecn le nombre de valeurs a priori diff´erentes que peut prendre, en fonction des positions des parenth`eses, l’expressiona0a1∗ · · · ∗an. On posec0= 1.

1. Calculerc1,c2,c3, c4. 2. Montrer que∀n∈N,cn+1=

Xn k=0

ckcn−k. 3. Montrer quecn = 1

n+ 1 2n

n

.

Exercice 2.2. Nombres de Bell.

Une partition d’un ensemble E est un ensemble de parties deE qui sont non vides, deux `a deux disjointes et qui recouvrentE.

Pour toutn∈N, on notepn le nombre de partitions de l’ensemble [[1, n]].

Par convention, on posep0= 1.

1. Calculerp1,p2,p3.

2. Montrer que,∀n∈N,pn+1= Xn k=0

n k

pk. 3. Calculerp6.

4. Notons, pour toutn∈N,rn le nombre de relations d’´equivalence sur un ensemble `an´el´ements. Trouver une relation de r´ecurrence entrern et lesrk,k < n. On pourra poser r0= 1 et relierrn `apn.

5. Consid´erons la fonction d´efinie parf(t) =eet−1.

(a) Calculer leDL3(0) en 0 def et en d´eduire que∀k∈[[0,3]],f(k)(0) =pk.

(b) Montrer que, pour tout n ∈N, f(n)(0) = pn. On pourra, en appliquant la formule de Leibniz `a f, montrer que la suite (f(n)(0))n∈Nsatisfait la mˆeme relation de r´ecurrence que la suite (pn)n∈N.

2.2 Deux outils classiques

Exercice 2.3. Formule d’inversion de Pascal.

Soient (ak)k∈Net (bk)k∈N deux suites complexes.

1. Calculer la matriceM de Φ :

Rn[X] → Rn[X]

P 7→ P(X+ 1) dans la base canonique deRn[X].

Expliciter Φ−1(apr`es avoir justifi´e son existence) et en d´eduireM−1. 2. Montrer la formule d’inversion de Pascal :

∀n∈N, an= Xn k=0

n k

bk ⇐⇒ ∀n∈N, bn= Xn k=0

(−1)n−k n

k

ak

Exercice 2.4. Formule du crible.

D´emontrer la formule du crible. On pourra proc´eder par r´ecurrence sur le nombres de parties de la famille consid´er´ee.

(4)

2.3 Exemples d’applications

Exercice 2.5. Nombre de D´erangements

Un d´erangement du groupe de pemutationsSn est une bijection de [[1, n]] dans[[1, n]] qui ne poss`ede aucun point fixe. On noteDn le nombre de d´erangements deSn. Par convention, on poseD0= 1.

1. Calculer directementD1,D2 etD3.

2. M´ethode 1 : formule du crible (voir exercice 2.4).

Montrer queDn= (−1)n Xn k=0

(−1)k n

k

k!.

On pourra introduire les ensemblesSi={σ∈ Sn|σ(i) =i}

3. M´ethode 2 : relation de r´ecurrence et formule d’inversion de Pascal.

(a) Montrer quen! = Xn k=0

n k

Dk.

(b) En d´eduire queDn= (−1)n Xn k=0

(−1)k n

k

k!.

On pourra utiliser la formule d’inversion de Pascal (voir exercice2.3)

(c) Montrer que, lorsque l’on tire au hasard une permutation dans le groupe sym´etrique, la probabilit´epn

d’obtenir un d´erangement tend vers 1

e lorsquen→+∞.

3 Utilisation d’arguments de d´ enombrement pour obtenir des iden- tit´ es num´ eriques

Exercice 3.1. Formule de Vandermonde

1. Soient (m, n, p)∈N3. Montrer, en utilisant un argument de d´enombrement la relation Xp

k=0

m k

n pk

=

m+n p

.

On pourra consid´erer un ensembleE de cardinalm+npartitionn´e en deux sous-ensemblesE1 etE2 de cardinaux respectifsnetm, puis calculer le nombre de parties de cardinal ndeE.

2. En d´eduire que

∀n∈N, Xn k=0

n k

2

= 2n

n

.

4 Utilisation du principe des tiroirs de Dirichlet, des propri´ et´ es d’in- jectivit´ e ou de surjectivit´ e d’une application

Exercice 4.1.

1. Montrer qu’une injection deNdansNn’est pas major´ee.

2. Le r´esultat est-il encore vrai pour les injections deZdansZ?

Exercice 4.2. Soient 12 entiers naturels deux `a deux distincts `a deux chiffres. Montrer qu’il en existe deux dont la diff´erence a une ´ecritue d´ecimale de la formeaaaveca∈[[1,9]].

Exercice 4.3. Montrer que, dans l’ensemble des nombres qui ne s’´ecrivent qu’avec des 7, il en existe une infinit´e qui sont divisibles par 61.

Exercice 4.4. X. Soit{AiGLn(K)|16i6N} une famille de matrices inversibles deMn(K) stable par multiplication. Montrer que cette famille constitue un sous-groupe deGLn(K).

Exercice 4.5. Mines.Soit (G,∗) un groupe fini. Soient (A, B)∈ P(G)2 telles que|A|+|B|>|G|. Montrer queG=AB={a∗b| (a, b)∈A×B}.

5 Techniques matricielles en d´ enombrement

Voir feuille de TD sur les matrices.

(5)

Correction des exercices

Corrig´e de l’exercice 1.1

1. Toute extraction deA∈ M4(R) est caract´eris´ee par les entiers (i1, i2, j1, j2) tels que 16i1< i264 et 16j1< j264.

Nous adoptons l’algorithme de d´enombrement suivant : on fixei1, on cherche les couples (j1, j2) possibles (condition Ai1,j1 = 1 et Ai1,j2 = 1) puis on cherche les valeurs possibles de i2 ∈ [[i1+ 1,4]] (condition Ai2,j1= 1 etAi2,j2= 1) :

i1 (j1, j2) i2

1 (2,3) 4 1 (2,4) 3 1 (3,4) 2 2 (1,3) 4 2 (1,4) 3 2 (3,4) ∅ 3 (1,2) 4 3 (1,4) ∅ 3 (2,4) ∅

Ainsi, il existe 6 extractions donnant la mˆeme matrice 1 1

1 1

.

2. Toute extraction deA∈ M5,4(R) est caract´eris´ee par les entiers (i1, i2, j1, j2) tels que 16i1< i265 et 16j1< j264.

Nous adoptons l’algorithme de d´enombrement suivant : on fixei1, on cherche les couples (j1, j2) possibles (condition Ai1,j1 = 1 et Ai1,j2 = 0) puis on cherche les valeurs possibles de i2 ∈ [[i1+ 1,5]] (condition Ai2,j1= 0 etAi2,j2= 1) :

i1 (j1, j2) i2

1 ∅

2 (1,2) 3 2 (1,4) 3 5 2 (3,4) 3 5 3 (2,3) ∅ 4 (1,3) ∅ 4 (1,4) 5 4 (2,3) ∅ 4 (2,4) 5

Ainsi, il existe 7 extractions donnant la mˆeme matrice 1 0

0 1

.

Corrig´e de l’exercice 1.2

1. Il y a autant de fa¸cons d’extraire la sous-matrice

0 0 0

deAque

de choix de 3 colonnes parmi 5 si on extrait selon la ligne d’indice 2,

de choix de 3 colonnes parmi 4 si on extrait selon la ligne d’indice 3, ce qui donne

5 3

+ 4

3

14 possibilit´es .

2. Il y a autant de fa¸cons d’extraire la sous-matrice

 1 1 1

deAque

de choix de 2 lignes parmi 4 si on extrait selon la colonne d’indice 1,

de choix de 2 lignes parmi 5 si on extrait selon la colonne d’indice 2,

de choix de 2 lignes parmi 3 si on extrait selon la colonne d’indice 3,

de choix de 2 lignes parmi 4 si on extrait selon la colonne d’indice 4,

de choix de 2 lignes parmi 5 si on extrait selon la colonne d’indice 5, ce qui donne 2

4 2

+ 3

2

+ 2 5

2

soit 35 possibilit´es .

(6)

Corrig´e de l’exercice 1.3 Remarquons que l’hypoth`ese sur les coefficients deAtous deux `a deux distincts permet de garantir qu’il n’existe pas de matrices extraites deAidentiques obtenues par des s´elections de lignes et de colonnes diff´erentes.

1. Il existe autant de matrices extraites de A de taille (n, p) que de fa¸cons de choisir simultan´ement n indices parminetp indices parmipsoir

n n

× p

p

.

Ainsi, il y a n

n

× p

p

matrices extraites deA∈ Mn,p(C) de taille (n, p)∈[[1, n]]×[[1, p]].

2. Le nombre total de matrices extraites deAest X

16n6n 16p6p

n n

× p

p

= Xn n=1

n n

× Xp p=1

p p

= Xn n=1

n n

×(2p−1)

= (2p−1) Xn n=1

n n

= (2p−1)(2n−1) Ainsi, il y a (2p−1)(2n−1) matrices extraites deA∈ Mn,p(C).

Corrig´e de l’exercice 1.4

Supposons qu’il y aitnparticipants (ce qui n´ecessiterancibles). Alors le nombres de triplets ordonn´es d’´el`eves prim´es estn(n−1)(n−2) (tous les arrangements de 3 ´el`eves parmi lesnparticipants).

Ainsi,n>min{p∈N |p(p−1)(p−2)>500}.

Or pourp= 9,p(p−1)(p−2) = 504 et pourp= 8,p(p−1)(p−2) = 336 donc n>9 .

Corrig´e de l’exercice 1.5

1. Il y a 14 choix pour l’arbitre. Il reste ensuite `a cr´eer 3 groupes non ordonn´eesde 15 ´el`eves parmi les 45 qui restent, il faut donc d´enombrer les partitions de 45 ´el`eves en 3 groupes de 15. Il y a autant de fa¸cons de cr´eer 3 groupesordonn´es qu’il y a de 3 partages de type (15,15,15) des 45 ´el`eves soit 45!

15!3. Or parmi tous ces 3-partages, 3! = 6 correspondent `a une permutation de la mˆeme partition des 45 ´el`eves en 3 groupes de 15.

Ainsi, il existe 14 6 × 45!

15!3 possibilit´es.

2. • Lors du tirage au sort des poules, les 9 ´equipes doivent ˆetres num´erot´ees (de 1 `a 9 par exemple). Toute r´epartition en 3 poules de 3 correspond `a un 3 partage de type (3,3,3) de ces 9 ´equipes, il y a donc

9!

3!3 = 1680 possibilit´es.

• Cherchons le nombre de situations o`u deux ´equipes d’une mˆeme classe ne sont jamais dans une mˆeme poule. Il existe pour chaque classe 3! fa¸cons diff´erentes de r´epartir les 3 ´equipes dans une poule chacune ce qui donne 3!3= 216 possibilit´es.

Il existe donc 1680−216 = 1464 situations dans lesquelles au moins 2 ´equipes d’une mˆeme classe sont dans une mˆeme poule soit une probabilit´e de 1464

1680= 61

70 ≃0,87.

• Le nombres de 3-partages dans les quelle les 3 ´equipes de la MPSI-1 sont dans la mˆeme poule correspond

`a

|{z}3 choix de la poule

× 6!

3!2

|{z}

r´epartitions des 6 autres ´equipes en 2 poules de 3 i.e. le nombre de 2 partages de type (3,3) ce qui donne 60 possibilit´es et une probabilit´e de 1

28 ≃0,036.

• Les r´epartitions pour lesquelles au moins deux ´equipes de la MPSI-1 sont dans la mˆeme poule sont les situations compl´ementaires du cas o`u les 3 ´equipes de la MPSI-1 sont dans la mˆeme poule donc cela donne 1680−60 = 1620 possibilit´es et donc une probabilit´e de 27

28 ≃0,96.

(7)

• Le nombres de 3-partages dans les quelle les 3 ´equipes de la MPSI-1 sont dans des poules diff´erentes correspond `a

|{z}3!

r´epartitions d’une ´equipe de la MPSI-1 par poule

× 6!

2!3

|{z}

r´epartitions des 6 autres ´equipes en 3 parties de 2 i.e. le nombre de 3 partages de type (2,2,2) soit 540 possibilit´es ce qui donne une probabilit´e de 9

28 ≃0,32.

• Nous avons trouv´e 540 fa¸cons que mettre les 3 ´equipes de la MPSI-1 dans 3 poules diff´erentes, nous avons trouv´e 60 r´epartitions dans lesquelles les 3 ´equipes sont dans la mˆeme poule. Il y a 1680 r´epartitions possibles donc il y en a exactement 1680−60−540 = 1080 pour lesquelles exactement 2

´equipes sont dans la mˆeme poule. Retrouvons cette valeur par un d´enombrement direct : 3

2

|{z}

choix des deux

´equipes dans la mˆeme poule

× |{z}3 choix de la poule ayant les ´equipes de la MPSI 1

× |{z}2 choix de la poule accueillant l’autre

´equipe de la MPSI 1

6!

1!×2!×3!

| {z }

r´epartitions des 6 autres ´equipes en 3 parties de card 1, 2 et 3

i.e. le nombre de 3-partages de type (1,2,3) ce qui fait bien 1080.

Corrig´e de l’exercice 1.6

1. Combien de fa¸cons existe-t-il de r´epartir les 3 tee-shirts sales dans 3 machines `a laver situ´ees les unes `a cˆot´e des autres au pressing.

Il y a 3 choix possibles pour chaque tee-shirt, du premier au troisi`eme puisque la salet´e les a rendu discernables soit 33= 27 possibilit´es.

2. Combien de fa¸cons existe-t-il de r´epartir les 3 tee-shirts propres dans les 3 tiroirs (discernables) d’une mˆeme commode.

En notant respectivementx1,x2etx3les nombres de tee-shirts dans le premier, le deuxi`eme et le troisi`eme tiroir, il y a autant de possiblit´es que de solutions `a l’´equation d’inconnues (x1, x2, x3)∈N3

x1+x2+x3= 3

`a savoir 5

2

= 10 (autant qu’il y a de choisir 2 batonnets s´eparateurs parmi 3 + 2 batonnets align´es, voir exercice 7).

3. Combien de fa¸cons existe-t-il de regrouper les 3 tee-shirts propres en 3 paquets pour les ranger dans un mˆeme tiroir ?

Pour les d´enombrer, rep´erons les partitions d’un ensemble de 3 ´el´ements indiscernables en 3 parties par la liste croissante des cardinaux des parties :

(0,0,3),(0,1,2),(1,1,1) cela donne 3 possibilit´es.

Pour voir le lien avec le d´enombrement de la question 2, listons toutes les possibilit´es de d´enombrement de la question 2 et identifions celles qui ne comptent que pour une seule sachant que les paquets sont indiscernables :

(8)

une partition n’ayant pas d’ordre, on la repr´esente par la liste croissante des cardinaux de ses parties machine 1 machine 2 machine 3 partition obtenue une fois les tee-shirts propres

T1T2T3 0,0,3

T1T2T3 0,0,3

T1T2T3 0,0,3

T1T2 T3 0,1,2

T2T3 T1 0,1,2

T1T3 T2 0,1,2

T1T2 T3 0,1,2

T2T3 T1 0,1,2

T1T3 T2 0,1,2

T1T2 T3 0,1,2

T2T3 T1 0,1,2

T1T3 T2 0,1,2

T3 T1T2 0,1,2

T1 T2T3 0,1,2

T2 T1T3 0,1,2

T3 T1T2 0,1,2

T1 T2T3 0,1,2

T2 T1T3 0,1,2

T3 T1T2 0,1,2

T1 T2T3 0,1,2

T2 T1T3 0,1,2

T1 T2 T3 1,1,1

T1 T3 T2 1,1,1

T2 T1 T3 1,1,1

T2 T3 T1 1,1,1

T3 T2 T1 1,1,1

T3 T1 T2 1,1,1

Au final on voit que

— les 3 rangements des trois tee-shirts dans la mˆeme machine donnent la mˆeme partition (0,0,3),

— les 18 rangements consistant `a laisser une machine vide et `a mettre deux tee-shirts dans une autre et un seul dans la derni`ere donnent la mˆeme mpartition (0,1,2),

— les 6 rangements consistant `a mettre un tee-shirt par machine donnent 6 fois la mˆeme partition (1,1,1).

4. Au fait, combien de fa¸cons existait-t-il de r´epartir les 3 tee-shirts sales dans 3 sacs indiscernables pour les emporter au pressing ?

Il y a autant de solutions que de partitions d’un ensemble `a 3 ´el´ements distincts en 3 parties. Pour les d´enombrer, prenons le nombre de partitions d’un ensemble `a 3 ´el´ements indiscernables et cr´eeons les paquets :

partition, tee-shirts indiscernables 3 paquets, tee-shirts discernables

(1,1,1) T1, T2, T3

(0,1,2) ∅, T1, T2T3

∅, T2, T1T3

∅, T3, T1T2

(0,0,3) ∅,∅, T1T2T3

Cela donne 5 possibilit´es de rangement.

R´esumons les r´esultats dans le tableau suivant :

3 objets discernables 3 objets indiscernables 3 emplacements discernables 33= 27

5 2

= 10

3 emplacements indiscernables 5 3

Traitons le cas de 4 tee-shirts :

1. Combien de fa¸cons existe-t-il de r´epartir les 4 tee-shirts sales dans 3 machines `a laver situ´ees les unes `a cˆot´e des autres au pressing.

Il y a 3 choix possibles pour chaque tee-shirt, du premier au quatri`eme puisque la salet´e les a rendu discernables soit 34= 81 possibilit´es.

(9)

2. Combien de fa¸cons existe-t-til de r´epartir les 4 tee-shirts propres dans les 3 tiroirs (discernables) d’une mˆeme commode.

En notant respectivementx1,x2etx3les nombres de tee-shirts dans le premier, le deuxi`eme et le troisi`eme tiroir, il y a autant de possiblit´es que de solutions `a l’´equation d’inconnues (x1, x2, x3)∈N3

x1+x2+x3= 4

`a savoir 6

2

= 15 (autant qu’il y a de choisir 2 batonnets s´eparateurs parmi 4 + 2 batonnets align´es, voir exercice 7).

3. Combien de fa¸cons existe-t-il de regrouper les 4 tee-shirts propres en 3 paquets pour les ranger dans un mˆeme tiroir ?

Pour les d´enombrer, rep´erons les partitions d’un ensemble de 4 ´el´ements indiscernables en 3 parties par la liste croissante des cardinaux des parties :

(0,0,4),(0,1,3),(0,2,2),(1,1,2)) cela donne 4 possibilit´es.

4. Au fait, combien de fa¸cons existait-t-il de r´epartir les 4 tee-shirts sales dans 3 sacs indiscernables pour les emporter au pressing ?

Il y a autant de solutions que de partitions d’un ensemble `a 4 ´el´ements distincts en 3 parties. Pour les d´enombrer, prenons le nombre de partitions d’un ensemble `a 3 ´el´ements indiscernables et cr´eeons les paquets :

partition, tee-shirts indiscernables 3 paquets, tee-shirts discernables

(1,1,2) T3, T4, T1T2

T4, T2, T1T3

T3, T2, T1T4

T1, T4, T2T3

T1, T3, T2T4

T1, T2, T3T4

(0,2,2) ∅, T1T2, T3T4

∅, T1T3, T2T4

∅, T1T4, T2T3

(0,1,3) ∅, T1, T2T3T4

∅, T2, T1T3T4

∅, T3, T1T2T4

∅, T4, T1T2T3

(0,0,4) ∅,∅, T1T2T3T4 Cela donne 14 possibilit´es de rangement.

R´esumons les r´esultats dans le tableau suivant :

4 objets discernables 4 objets indiscernables 3 emplacements discernables 43= 64

6 2

= 15

3 emplacements indiscernables 14 4

Corrig´e de l’exercice 1.7

1. D´eterminer le nombrecn,2 de transpositions deSn, puis le nombrecn,p dep-cycles deSn (p>2).

Le nombre de transpositions est n

2

:cn,2= n(n−1)

2 .

Pourp>2, le nombre dep-cycles estcn,p= n!

p(np)!. Pour obtenir ce r´esultat proposons deux m´ethodes :

M´ethode 1.Pour d´eterminer un p-cycle il faut choisir son support ce qui donne n

p

possibilit´es.

Ensuite, pour d´eterminer tous les p-cycles distincts ayant un support (a1, . . . , ap) donn´e, on pourrait penser qu’il s’agit dep! c’est `a dire le nombre d’arrangements de p´el´ements parmip, or parmi cesp!

arrangements figurent

(a1, . . . , ap), (a2, . . . , ap, a1), (a3, . . . , ap, a1, a2), . . . ,(ap, a1, . . . , ap−1)

qui sont p p-cycles identiques, donc c’est une erreur ! ! ! pour y rem´edier, choisissons d’imposer le premier ´el´ement du p-cycle, par exemplea1 et voyons toutes les fa¸cons d’arranger les (p−1) autres

´el´ementsa2, . . . , ap ce qui donne (p−1)!p-cycles diff´erents.

Ainsi, il y a n

p

×(p−1)! = n!(p−1)!

p!(np)! =1 p

n!

(n−p)! p-cycles.

(10)

M´ethode 2. Partons du nombres de fa¸cons d’arranger p´el´ements parmi n, `a savoir n!

(n−p)! puis parmi tous ces p-cycles, cherchons combien de fois apparaˆıt le mˆeme :le mˆeme apparaˆıt exactement p-fois, sesprepr´esentants ´etant

(a1, . . . , ap), (a2, . . . , ap, a1), (a3, . . . , ap, a1, a2), . . . ,(ap, a1, . . . , ap−1) si bien qu’il y a cn,p= 1

p× n!

(n−p)! p-cycles dansSn. 2. D´eterminer le nombre de permutations d’ordre 2 deS6.

Une permutation est d’ordre 2 si et seulement si le ppcm des longueurs des cycles apparaissant dans sa d´ecomposition en cycles `a supports disjoints est 2. Par cons´equent, sa d´ecomposition en produit de cycles

`

a supports disjoints est compos´ee d’au moins une transpositions et les aures cycles sont des transpositions ou des points fixes.

Un ´el´ement d’ordre 2 deS6 est compos´e

d’une seule transposition et de 4 points fixes ce qui donne c6,2= 15 possibilit´es

de deux transpositions `a supports disjoints et de 2 points fixes ce qui donne c6,2×c4,2

2! = 45

possibilit´es (la division par 2! correspond au fait que la d´ecomposition en produit de cycles `a supports disjoints est unique modulo l’ordre des cycles, et pour arranger 2 transpositions, il y a 2! fa¸cons)

de trois transpositions `a supports disjoints ce qui donne c6,4×c4,2×c2,2

3! = 15

possibilit´es (la division par 3! correspond au fait que la d´ecomposition en produit de cycles `a supports disjoints est unique modulo l’ordre des cycles, et pour arranger 3 transpositions, il y a 3! fa¸cons) Ainsi,S6 compte 75 permutations d’ordre 2.

3. D´eterminer le nombre de permutations d’ordre 4 deS6.

Une permutation est d’ordre 4 si et seulement si le ppcm des longueurs des cycles apparaissant dans sa d´ecomposition en cycles `a supports disjoints est 2. Par cons´equent, sa d´ecomposition en produit de cycles `a supports disjoints est compos´ee d’au moins un 4-cycles, les autres cycles ´etant des 4-cycles, des transpositions ou des points fixes.

Un ´el´ement d’ordre 2 deS6 est compos´e

d’un 4-cycle et de 2 points fixes ce qui donne

c6,4= 90 possibilit´es

d’un 4-cycle et d’une transposition ce qui donne

c6,4×c2,2= 90 Ainsi,S6 compte 180 permutations d’ordre 4.

4. D´eterminer le nombre de permutations d’ordre 6 deS7.

Une permutation est d’ordre 6 si et seulement si le ppcm des longueurs des cycles apparaissant dans sa d´ecomposition en cycles `a supports disjoints est 6. Par cons´equent, sa d´ecomposition en produit de cycles

`a supports disjoints est compos´ee est compos´ee de cycles dont les longuers sont des multiples de 2 et 3 et des diviseurs de 6 ce qui rend possible la pr´esence de cycles de longueurs `a valeurs dans l’ensembe {1,2,3,6}.

Enum´erons les diff´erentes possibilit´es en listant les cycles de la d´ecomposition en cycles `a supports disjoints´ par ordre de longueurs d´ecroissantes.

Un ´el´ement d’ordre 6 deS8 est compos´e

d’un 6-cycle et d’un point fixe, ce qui donne

c7,6= 840 possibilit´es,

(11)

d’un 3-cycle et d’une transposition et de deux points fixes, ce qui donne c7,3×c4,2= 420

possibilit´es,

d’un 3-cycle et de deux transpositions, ce qui donne c7,3×c4,2×c2,2

2! = 210

possibilit´es (attention subtilit´e : la division par 2! correspond au fait que la d´ecomposition en produit de cycles `a supports disjoints est unique modulo l’ordre des cycles, et pour arranger 2 transpositions, il y a 2! fa¸cons),

Ainsi,S7 compte 1470 permutations d’ordre 6.

5. D´eterminer le nombre de permutations d’ordre 6 deS8.

Une permutation est d’ordre 6 si et seulement si le ppcm des longueurs des cycles apparaissant dans sa d´ecomposition en cycles `a supports disjoints est 6. Par cons´equent, sa d´ecomposition en produit de cycles

`

a supports disjoints est compos´ee est compos´ee de cycles dont les longuers sont des multiples de 2 et 3 et des diviseurs de 6 ce qui rend possible la pr´esence de cycles de longueurs `a valeurs dans l’ensembe {1,2,3,6}.

Enum´erons les diff´erentes possibilit´es en listant les cycles de la d´ecomposition en cycles `a supports disjoints´ par ordre de longueurs d´ecroissantes.

Un ´el´ement d’ordre 6 deS8 est compos´e

— d’au moins un 6-cycle :

d’un 6-cycle et de 2 points fixes, ce qui donne c8,6= 8!

6×2! = 3360 possibilit´es,

d’un 6-cycle et d’une transposition, ce qui donne c8,6×c2,2= 8!

6×2!× 2!

2×0! = 3360 possibilit´es,

— d’au moins un 3-cycle et d’au moins une tansposition :

d’un 3-cycle et d’une transposition et 3 points fixes, ce qui donne c8,3×c5,2= 8!

3×5!× 5!

2×3! = 1120

(attentions les supports du 3-cycle et de la transposition doivent ˆetre disjoints ce qui explique que le support de la transposition est `a choisir parmi les 5 ´el´ements du compl´ementaire du support du 3-cycle choisi) possibilit´es,

d’un 3-cycle et de deux transpositions et d’un point fixe, ce qui donne c8,3×c5,2×c3,2

2! = 8!

3×5!×1 2× 5!

2×3!× 3!

2×1!= 1680

(attentions les supports du 3-cycle des deux transpositions doivent ˆetre disjoints ce qui explique que le support de la premi`ere transposition est `a choisir parmi les 5 ´el´ements du compl´ementaire du support du 3-cycle choisi et celui de la deuxi`eme transposition est `a choisir parmi les 3 ´el´ements restants !, ici il y a une autre subtilit´e : la d´ecomposition en cycles `a supports disjoints est unique modulo l’ordre des cycles, donc le produitc5,2×c3,2compte deux fois tous les produits de deux tans- positions, pour (a, b, c, d) deux `a deux distincts, il compte une fois (a, b)(c, d) et une fois (c, d)(a, b) d’o`u la n´ecessit´e de diviser par 2) possibilit´es,

de deux 3-cycles et d’une transposition, ce qui donne c8,3×c5,3

2 ×c2,2=1 2 × 8!

3×5!× 5!

3×2!× 2!

2×0!= 1120 (justifi´e avec les mˆemes arguments que le calcul pr´ec´edent) possibilit´es.

Ainsi, il y a exactement 10640 permutations d’ordre 6 dansS8.

(12)

6. D´eterminer le nombre de permutations d’ordre 12 deS13.

Une permutation est d’ordre 12 si et seulement si le ppcm des longueurs des cycles apparaissant dans sa d´ecomposition en cycles `a supports disjoints est 12 = 3×4. Par cons´equent, sa d´ecomposition en produit de cycles `a supports disjoints ne continent que des cycles dont les longueurs sont des multiples de 3 et 2 et des diviseurs de 12 `a savoir 1,2,3,4,6,12.

Listons toutes les possibilit´es en ´enum´erant les cycles de longueurs d´ecroissantes : une permutation d’ordre 12 est compos´ee

— d’au moins un 12-cycle donne :

d’un 12-cycle et d’un point fixe ce qui donne c13,12

possibilit´es,

— d’au moins un 6-cycle et d’au moins un 4-cycle, ce qui donne :

d’un 6-cycle et d’un 4-cycle et 3 points fixes, ce qui donne c13,6×c7,4

possibilit´es,

d’un 6-cycle et d’un 4-cycle et d’une transposition et d’un point fixes, ce qui donne c13,6×c7,4×c3,2

possibilit´es,

d’un 6-cycle et d’un 4-cycle et d’un 3-cycle, ce qui donne c13,6×c7,4×c3,3

possibilit´es,

— d’au moins un 3-cycle d’au moins un 4-cycle, ce qui donne :

de 3 3-cycles et d’un 4-cycle, ce qui donne :

c13,3×c10,3×c7,3

3! ×c4,4

possibilit´es,

de 2 3-cycles et d’un 4-cycle et de 3 points fixes, ce qui donne : c13,3×c10,3

2! ×c7,4

possibilit´es,

de 2 3-cycles et d’un 4-cycle et d’une transposition et d’un point fixe, ce qui donne : c13,3×c10,3

2! ×c7,4×c3,2

possibilit´es,

d’un 3-cycle et de deux 4-cycles et d’une transposition, ce qui donne : c13,3×c10,4×c6,4

2! ×c2,2

possibilit´es,

d’un 3-cycle et de deux 4-cycles et de deux points fixes, ce qui donne : c13,3×c10,4×c6,4

2!

possibilit´es,

d’un 3-cycle et d’un 4-cycle et de six points fixes, ce qui donne : c13,3×c10,4

possibilit´es,

d’un 3-cycle et d’un 4-cycle et d’une transposition et de 4 points fixes, ce qui donne : c13,3×c10,4×c6,2

possibilit´es,

(13)

d’un 3-cycle et d’un 4-cycle et de deux transpositions et de deux points fixes, ce qui donne : c13,3×c10,4×c6,2×c4,2

2!

possibilit´es,

d’un 3-cycle et d’un 4-cycle et de trois transpositions, ce qui donne : c13,3×c10,4×c6,2×c4,2×c2,2

3!

possibilit´es.

Corrig´e de l’exercice 1.8 1. (a) M´ethode 1.

NotonsS l’ensemble des solutions de

x+y+z=n , (x, y, z)∈N3 Notons, pour toutp∈[[0, n]],Sp l’ensemble des solutions de

x+y+p=n , (x, y)∈N3 Observons queS =

[n p=0

Sp.

Par ailleurs, les ensemblesSp sont disjoints (car d´efinis par des ´equations diff´erentes) si bien que

|S|= Xn p=0

|Sp|

De plus, pour toutp∈[[0, n]], les solutions de

x+y+p=n , (x, y)∈N3

sont (0, n−p), (1, np−1),. . . ,(n−p,0) ce qui donnenp+ 1 solutions Ainsi,

|S|= Xn p=0

(n−p+ 1) = Xn p=0

n− Xn p=0

p+ Xn p=0

1 =n(n+ 1)−n(n+ 1)

2 +n+ 1 = n(n−1) 2

Ainsi,x+y+p=n , (x, y)∈N3 poss`ede (n+ 2)(n+ 1)

2 solutions.

(b) M´ethode 2.

Il est possible de se repr´esenter les solutions de

x+y+p=n , (x, y)∈N3

en consid´erant (n+ 2) bˆatonnets align´es de gauche `a droite. Il y a une bijection entre les solutions de l’´equation et les fa¸con de choisir 2 bˆatonnets parmi lesn+ 2 qui vont partitionner lesnbˆatonnets restants en 3 dont les cardinaux respectifs serontx,y et z.

Ainsi, il y a

n+ 2 2

solutions `a l’´equationx+y+p=n , (x, y)∈N3.

2. Pour d´eterminer, en fonction den∈Netp∈N, le nombre de solutions de l’´equation a1+a2+. . .+ap=n d’inconnues (a1, . . . , ap)∈Np,

adaptons la m´ethode 2 de la question pr´ec´edente. Consid´eronsn+p−1 bˆatonnets align´es de gauche `a droite. Il y a une bijection entre les solutions de l’´equation et les fa¸cons de choisirp−1 bˆatonnets parmi lesn+p−1 qui vont partitionner lesnbˆatonnets restants enpparties dont les cardinaux respectifs seront a1, a2,. . ., ap. Or il existe exactement

n+p−1 p−1

fa¸cons de choisir les p−1 bˆatonnets s´eparateurs si

bien que |{(a1, . . . , ap)∈Np | a1+a2+. . .+ap=n}|=

n+p−1 p−1

.

(14)

Corrig´e de l’exercice 1.9

1. Une base deKn[X1, X2] est constitu´ee par les polynˆomes de l’ensemble {X1a1X2a2 |(a1, a2)∈N2 , a1+a2=n}|

qui est un ensemble de cardinaln+ 1 (l’ensemble{(a1, a2)|(a1, a2)∈N2 , a1+a2=n}est en bijection avec{(a1, na1)|a1∈[[0, n]]})

La dimension du sous-espace vectorielKn[X1, X2] des polynˆomes homog`enes de degr´endansK[X1, X2] vautn+ 1.

2. Une base du sous-espace vectoriel des polynˆomes homog`enes de degr´endansK[X1, . . . , Xp] est constitu´ee par les polynˆomes de l’ensemble

{X1a1X2a2. . . Xpap |(a1, a2, . . . , ap)∈Np , a1+a2+. . .+ap=n}

Or cet ensemble compte autant d’´el´ements que l’ensemble{(a1, . . . , ap)∈ Np | a1+a2+. . .+ap =n}

dont le cardinal est calcul´e dans l’exercice1.8et vaut

n+p−1 p−1

.

La dimension du sous-espace vectoriel des polynˆomes homog`enes de degr´e n dans K[X1, . . . , Xp] est n+p−1

p−1

.

Corrig´e de l’exercice 1.10

1. Pour d´enombrer les applications strictement croissantes de [[1, p]] dans [[1, n]], il faut choisir tous lesp-uplets possibles non ordonn´es (car le fait que l’application `a construire est strictement croissante d´eterminera qui est l’image de qui) dans [[1, n]] soit

n p

applications strictement croissantes.

2. Le d´enombrement des applications croissantes de [[1, p]] dans [[1, n]] est plus d´elicat.

• Consid´erons l’application Ψ

C(p, n) → SC(p, n+p−1) f 7→ [[1, p]] → [[1, n+p−1]]

k 7→ f(k) +k−1

Soitf ∈ C(p, n).

− Pour tout k ∈ [[1, p]], Ψ(f)(k+ 1)−Ψ(f)(k) = f(k+ 1) + (k+ 1)−1 −f(k)−k+ 1 = f(k+ 1)−f(k) + 1, orf est croissante donc

Ψ(f)(k+ 1)−Ψ(f)(k) =f(k+ 1)−f(k)

| {z }

>0 f croiss.

+1>0

si bien que Ψ(f) est strictement croissante.

− Ψ(f)(1) =f(1) + 1−1 =f(1)>1 car Imf ⊂[[1, n]].

− Ψ(f)(p) =f(p) +p−16n+p−1 car Imf ⊂[[1, n]].

Ainsi, Ψ(f)∈ SC(p, n+p−1) donc Ψ est bien d´efinie.

Soient (f, g)∈ C(p, n)2fix´ees quelconques telles que Ψ(f) = Ψ(g).

Alors, pour tout k ∈ [[1, p]], Ψ(f)(k) = Ψ(g)(k) donc f(k) +k−1 = g(k) +k−1 si bien que f(k) =g(k).

Par cons´equent,f =g d’o`u l’injectivit´e de Ψ.

Soith∈ SC(p, n+p−1) fix´e quelconque.

Posonsf : [[1, p]]→Zd´efinie par∀k∈[[1, p]],f(k) =h(k)k+ 1.

− Pour toutk∈[[1, p]],f(k+ 1)−f(k) =h(k+ 1)−(k+ 1) + 1−h(k) +k−1 =h(k+ 1)−h(k)−1, orhest strictement croissante donc

f(k+ 1)−f(k) =h(k+ 1)−h(k)

| {z }

>1 hstrict. croiss.

−1>0

si bien quef est croissante.

f(1) =h(1)−1 + 1 =h(1)>1 car Imh⊂[[1, n+p−1]].

f(p) =h(p)p+ 16n+p−1−p+ 1 =ncar Imh⊂[[1, n+p−1]].

Par cons´equent,f ∈ C(p, n).

Ainsi,f appartient `a l’ensemble de d´epart de Ψ donc Ψ(f) est bien d´efinie et

∀k∈[[1, p]], Ψ(f)(k) =f(k) +k−1 =h(k)k+ 1 +k−1 =h(k) donc Ψ(f) =h.

Par cons´equent, Ψ est surjective.

(15)

Ainsi, Ψ est une bijection.

• Ψ est bijective donc|C(p, n)|=|SC(p, n+p−1)|=

n+p−1 p

. 3. (a) Consid´erons l’application Φ

C(p, n) → {(a1, . . . , ap, ap+1)∈Np+1 |a1+a2+. . .+ap+1 =n−1}

f 7→ (f(1)−1, f(2)−f(1), . . . , f(p)−f(p−1), n−f(p))

Soitf ∈ C(p, n).

− Puisquef est `a valeurs dans [[1, n]],f(1)−1∈N(carf(1)>1) etn−f(n)∈N(carf(n)6n).

− De plus, par croissance def, pour toutk∈[[1, p−1]],f(k+ 1)−f(k)∈N.

− Enfin, apr`es t´elescopage,f(1)−1 +

p−1X

k=1

(f(k+ 1)−f(k)) + (n−f(n)) =n−1.

Par cons´equent, (f(1)−1, f(2)−f(1), . . . , f(p)−f(p−1), n−f(p))∈ {(a1, . . . , ap, ap+1)∈Np+1|a1+ a2+. . .+ap+1=n−1}donc Φ est bien d´efinie.

Soient (f, g)∈ C(p, n)2fix´es quelconques tels que Φ(f) = Φ(g).

On a donc

(f(1)−1, f(2)−f(1), . . . , f(p)−f(p−1), n−f(p)) = (g(1)−1, g(2)−f(1), . . . , g(p)−g(p−1), n−g(p)) (1) Consid´erons la propri´et´eP(·) d´efinie pourk∈[[1, p]] par

P(k) : f(k) =g(k)

− En ´egalant les premi`eres coordonn´ees des deuxp+ 1-uplets de l’´egalit´e (1),f(1)−1 =g(1)−1 doncf(1) =g(1). Par cons´equent,P(1) est vraie.

− Soitk∈[[1, p−1]] fix´e quelconque tel queP(k) est vraie.

En ´egalant les (k+ 1)-i`emes coordonn´ees des deuxp+ 1-uplets de l’´egalit´e (1),f(k+ 1)−f(k) = g(k+ 1)−g(k), or la v´eracit´e deP(k) donnef(k) =g(k) doncf(k+ 1) =g(k+ 1).

Par cons´equent,P(k+ 1) est vraie.

Ainsi,P(k) est vraie pour toutk∈[[1, p]],f =g.

Par cons´equent, Φ est injective.

Soit (a1, . . . , ap, ap+1)∈Np+1 fix´e quelconque tel quea1+a2+. . .+ap+1=n−1.

Posonsf : [[1, p]]→Zd´efinie par

∀k∈[[1, p]], f(k) = 1 + Xk i=1

ai

− Pour toutk∈[[1, p−1]],

f(k+ 1)−f(k) = 1 +

k+1X

i=1

ai−1− Xk i=1

ai=ak+1>0 doncf est croissante.

− Pour toutk∈[[1, p]], d’une part, par d´efinitionf(k)∈Net d’autre part f(k) = 1 +

Xk i=1

ai>1 et f(k) = 1 + Xk i=1

ai61 + Xp+1

i=1

ai= 1 +n−1 =n . doncf(k)∈[[1, n]]. Par cons´equent,f ∈ F([[1, p]],[[1, n]]).

Orf est croissante doncf ∈ C(p, n).

− Puisquef ∈ C(p, n), nous pouvons calculer Φ(f) :

f(1)−1 =a1+ 1−1 =a1, ∀k∈[[2, p]], f(k+ 1)−f(k) = 1 +

k+1X

i=1

ai−1− Xk i=1

ai=ak+1

nf(p) =n−1− Xp i=1

ai=

p+1X

i=1

ai

p−1X

i=1

ai=ap+1

donc Φ(f) = (a1, a2, . . . , ap+1).

Par cons´equent, Φ est surjective.

Ainsi Φ est une bijection.

(b) Puisque Φ est une bijection, le cardinal deC(p, n) est ´egal `a celui de{(a1, . . . , ap, ap+1)∈Np+1 |a1+ a2+. . .+ap+1=n−1} qui est le nombre de solutions dansNp+1 de l’´equation

a1+a2+. . .+ap+1=n−1 d’inconnues (a1, . . . , ap, ap+1)∈Np+1

(16)

or ce cardinal est

n−1 +p p

(voir l’exercice1.8) donc |C(p, n)|=

n+p−1 p

.

Corrig´e de l’exercice 1.11

1. Le cardinal de l’ensemble des parties deEcontenantau moins un´el´ement deAse calcul en d´eterminant le cardinal de son compl´ementaire dansP(E).

En effet son compl´ementaire est l’ensemble des parties deEne contenant aucun ´el´ement deA, cet ensemble estP(E\A) qui est de cardinal 2n−p.

Par cons´equent|X|=|P(E)| −2n−p= 2n−p(2p−1).

2. Le cardinal de l’ensemble ˆX des parties deE contenant exactement un ´el´ement deAse calcul directement

`

a partir de la bijection :

P(E\A)×A −→ Xˆ (B, a) 7−→ B∪ {a}

Ainsi,|Xˆ|=|P(E\A)| × |A|=p2n−p.

Corrig´e de l’exercice 1.12 1.

|E2(E)| = X

Y∈P(E)

X

A∈P(Y)

1

= X

Y∈P(E)

2|Y|

= Xn k=0

X

Y∈P(E)

|Y|=k

2k

= Xn k=0

2k n

k

= (2 + 1)n Ainsi,|E2(E)|= 3n.

2. Consid´erons la propri´et´eP(·) d´efinie pour toutp∈[[2,+∞[[ par

P(p) :≪ ∀n∈N, pour tout ensemble Ede cardinaln,|Ep(E)|= (p+ 1)n

• P(2) est vraie d’apr`es la question 1.

• Soitp∈[[2,+∞[[ fix´e quelconque tel queP(p) est vraie.

Soitn∈Nfix´e quelconque.

SoitE un ensemble de cardinalnfix´e quelconque.

Observons que

Ep+1(E) = a Xp+1∈ P(E)

{(X1, . . . , Xp)∈ P(E)p |X1. . .XpXp+1}

= a

06k6n

a Xp+1∈ P(E)

|Xp+1|=k

{(X1, . . . , Xp)∈ P(E)p |X1. . .XpXp+1}

| {z }

Ep(Xp+1) si bien que

|Ep+1| = Xn k=0

X Xp+1∈ P(E)

|Xp+1|=k

|Ep(Xp+1)|

(17)

or en appliquant la propri´et´e de r´ecurrenceP(p) pourEXp+1 et donc pourn← |Xp+1|=k,

|Ep(Xp+1)|= (p+ 1)k si bien que

|Ep+1| = Xn k=0

X Xp+1∈ P(E)

|Xp+1|=k

(p+ 1)k

= Xn k=0

(p+ 1)k X

Xp+1∈ P(E)

|Xp+1|=k

| {z }

= n

k

= Xn k=0

n k

(p+ 1)k×1n−k

= (p+ 2)n en utilisant la formule du binˆome de Newton.

Par cons´equent,P(p+ 1) est vraie.

Ainsi, pour toutn∈N, pour tout ensembleE de cardinalnpour toutp>2,|Ep(E)|= (p+ 1)n.

Corrig´e de l’exercice 1.13 1. E1={X∈ P(E)|AX }.

E1est en bijection avecP(E\A).

|E1|= 2n−p.

2. E2={X∈ P(E)|AX , |X|=m}.

E2est en bijection avecPm−p(E\A).

|E2|=

np mp

En particulier sim < poum > n,E2=∅.

3. E3={(X, Y)∈ P(E)2 |XY =A}.

E3est en bijection avec l’union des produits cart´esiens d’une partieBdeE\Aet des parties deE\(A∪B) donc

|E3| = X

B∈P(E\A)

|P(E\(A∪B))|

= X

B∈P(E\A)

2n−p−|B|

=

n−pX

k=0

X

B∈P(E\A)

|B|=k

2n−p−k

=

n−pX

k=0

2n−p−k np

k

= (1 + 2)n−p

= 3n

|E3|= 3n−p.

Corrig´e de l’exercice 2.1

1. Un d´enombrement direct donnec1= 1, c2= 2,c3= 5,c4= 21.

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