Calculer les intégrales suivantes :

(1)

Prof :Khammour.Khalil Année Scolaire :2013/2014

Série d’exercices : Intégrales

4

^ème

Sc-Exp Tél :27509639 Exercice n°1 :

Calculer les intégrales suivantes :

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13) 14) . Exercice n°2 :

Soit la fonction définie sur IR \ {-1} par :

1) Déterminer les réels a et b tels que :

pour tout x IR\{-1}.

2) Calculer l’intégrale

Exercice n°3 :

Soit la fonction définie sur IR \ {1} par :

.

(2)

1) Etudier et tracer (C).

2) Montrer qu’il existe deux réels a et b tels que

.

3) Soit , on pose A ( ) l’aire de la partie du plan limité par la courbe (C) ,l’axe des abscisses et les droites d’équations et

a) Déterminer A ( ).

b) Calculer A ( ).

Exercice n°4 :

Calculer les intégrales suivantes :

1) 2) 3)

4) 5) 6) . Exercice n°5 :

Soit f la fonction définie sur l’intervalle par :

et la primitive de f sur qui s’annule en 1.

1) Pour tout , on considère la fonction définie par : . a) Montrer que dérivable sur et que pour tout x de on a

,

.

b) En déduire l’expression de en fonction de x.

2) a) Déduire de tout ce qui précède une expression de en fonction de x.

b)En déduire

et la valeur de c)Dresser le tableau de variation de .

3) Soit la suite définie pour tout entier ,

.

a) Montrer que la suite est décroissante ,en déduire qu’elle est convergente.

b) Montrer que pour tout ,

.En déduire la limite de . Exercice n°6 :

Soit la suite définie par

.

(3)

1) Etablir que

pour tout 2) Montrer que

pour tout

3) En déduire que la suite converge et déterminer sa limite.

Exercice n°7 :

Soit f la fonction définie sur par 1) a) Calculer , .

b)Justifier que f réalise une bijection de sur [0,1].

2) Soit la fonction réciproque de f . a) Justifier que dérivable sur [0,1[.

b) Montrer que pour tout réel x de [0,1[ ;

3) a) Calculer et

.

b) Montrer que

Exercice n°8 :

Soient et les fonctions définies sur [0,1] par et 1) On désigne C

0

et C

1

les courbes représentatives de et dans un repère orthonormé

.

a) Dresser le tableau de variation de chacune des fonctions et . b) Etudier la position relative de C

₀

et C

₁

.

c) Construire C

0

et C

1

.

2) On pose pour tout

. a) Montrer que F dérivable sur et calculer . b) En déduire pour tout .

c) Vérifier .

d) On désigne par A l’aire du domaine limité par les courbes C

0

et C

1

et les droites d’équation x=0 et x=1 .Calculer A .

3) On pose pour tout n de IN

^*

Soit et

(4)

a) Montrer que est décroissante .En déduire que la suite est convergente.

b) Démontrer que

. En déduire

. Exercice 9 :

1) Dans le graphique (Voir Annexe), (C) et (C’) sont les courbes représentatives dans un repère orthonormé d’une fonction dérivable sur IR et d’une primitive F de f sur IR.

Par lecture graphique :

a) Vérifier que (C) est la courbe représentative de F.

b) Calculer l’aire de la partie limitée par (C’) ,l’axe des abscisses et les droites x=0 et x=2.

2) Ecrire une équation de la tangente (T) à (C’) au point O.

a) Montrer que f est une bijection de IR sur un intervalle J que l’on précisera.