E139 – Les indices s’indicent [** à la main]
Des entiers positifs a₁ = 12,a₂,a₃,….sont en progression arithmétique de raison > 0. Il existe un entier k tel que
ak
a a = 2000. En déduire
ak
aa
a
Solution proposée par Daniel Collignon
(a_n) étant une suite arithmétique de premier terme a_1 = 12, son terme général s'écrit a_n = 12 + (n-1)*r où r est la raison (entier > 0).
Ainsi a_a_k = 12 + (11 + (k-1)*r)*r et donc a_a_a_k = 12 + (11 + (11 + (k-1)*r)*r)*r
r divise donc 2000-12 = 1988 = 2² * 7 * 71 et nous en déduisons k = 1 + (((1988 / r - 11) / r) - 11) / r Pour obtenir k entier, nous vérifions alors que (r,k) = (1,1967) ou (7,5)
Dans le premier cas, nous avons a_n = 11+n a_1967 = 1978
a_a_1967 = a_1978 = 1989 a_a_a_1976 = a_1989 = 2000
D'où a_a_a_a_1976 = a_2000 = 2011 Dans le second cas, nous avons a_n = 5+7n a_5 = 40
a_a_5 = a_40 = 285 a_a_a_5 = a_285 = 2000
D'où a_a_a_a_5 = a_2000 = 14005
