D346. Le ballon dans son filet
Douze lacets de même longueur sont noués entre eux à leurs extrémités de manière à constituer un filet comportant huit nœuds qui peuvent être placés sur les sommets d’un cube d’arête a. On place un ballon sphérique à l’intérieur du filet et on le gonfle de sorte que le filet est parfaitement tendu sur sa surface. Le volume du ballon est alors de 9200 cm3.En déduire a.
Solution proposée par Ali SOUA
Lorsque le filet est parfaitement tendu, le ballon obtenu a le même centre que le cube initial (C), soit O ce point et R le rayon du ballon. La transformation ainsi décrite fait évoluer les arêtes en arcs sphériques dont les sommets forment un cube (C’) : la sphère est circonscrite à (C’). Soit a’ l’arête de (C’).
La diagonale principale de (C’) = 3½ *a’=2*R
L’angle ϴ sous lequel du point O on voit a’ et l’arc sphérique, vérifie:
Sin(ϴ/2) = (a’/2)/(a’*31/2/2) = 1/31/2 => ϴ=70,5°
Or un arc sphérique a la même longueur qu’un lacet, et donc qu’une arête de (C) : a=R* ϴ
Le volume du ballon vaut V=4/3*π*R3 => a= ϴ*(3*V/(4* π))1/3 Pour un volume ballon de 9200 cm3, on en déduit a=16cm.
