Problème proposé par Michel Lafond
Je définis une roue magique d’ordre ≥ 3 comme un ensemble de 2n points, composé des n sommets et des n milieux des côtés d’un polygone régulier convexe à n sommets.
À chaque point de cet ensemble est associé un entier compris entre 1 et 2n (appelé sa marque) de telle sorte que chaque marque ne soit utilisée qu’une fois, et que la somme des trois marques situées sur un même côté soit constante.
Exemples :
Démontrer qu'il existe des roues magiques de tout ordre n ≥ 3.
Solution proposée par Maurice Bauval :
Soit S la somme des nombres placés aux sommets, M la somme des nombres placés aux milieux et σ la somme des trois marques situées sur un même côté.
On dispose de deux relations S+M = n(2n+1) et nσ = 2S+M, d'où σ = (2S+M)/n = 2n+1+ S/n.= 4n+2 – M/n ( S et M sont impérativement multiples de n )
Roues d'ordre impair : n= 2k+1 , Si on place aux points milieux les n entiers consécutifs de 1 à 2k+1, on a
M = n(n+1)/2 = (2k+1)(k+1) et S = n[(n+1) + (2n)]/2 = n(3n+1)/2 = (2k+1)(3k+2)
d'où σ = 2(3k+2)+(k+1) = 7k+5 . En respectant cette somme σ = 7k+5, si le premier segment porte les nombres (3k+2, 1, 4k+2), alors toute la suite est déterminée :le deuxième porte (4k+2, 2, 3k+1), le troisième (3k+1, 3, 4k+1) etc. et le n-ième segment porte les nombres ( 2k+2, 2k+1, 3k+2).
Par exemple avec n=9 , k=4, σ = 33, voici la disposition des 18 nombres :
Sommet 14 18 13 17 12 16 11 15 10
Milieu 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Sommet 18 13 17 12 16 11 15 10 14
On peut remarquer qu'à partir du sommet 14 jusqu'au sommet 10, on obtient les nombres à affecter aux sommets suivants alternativement en en ajoutant 4 et en soustrayant 5 .
Roues d'ordre n = 4k : M+S = 4k(8k+1)
Si les points milieux sont occupés par tous les nombres de l'intervalle [4k,8k] sauf le nombre 6k, on trouve :
M = n.(6k) = 24k² , S = 4k(8k+1) – 24k² = 8k² + 4k, et σ = 2(2k+1) +6k = 10k+2.
La décroissance des nombres qu'on place aux points milieux souffre quelques exceptions : On place d'abord 4k, puis les nombres en décroissant de (8k – 2) à (6k + 1) , le nombre (8k – 1), puis les nombres en décroissant de (6k – 1) à (4k+2), puis 8k , enfin (4k+1).
En respectant la somme σ = 10k+2, si le premier segment porte les nombres (6k, 4k, 2), alors toute la suite est déterminée :le deuxième porte (2, 8k – 2, 2k+2), le troisième (2k+2, 8k – 3, 3 ) etc. et le n-ième segment porte les nombres ( 1, 4k+1, 6k).
Par exemple : avec k=5, n=20, σ = 10K+2 = 52, voici la disposition des 40 nombres :
S 30 2 12 3 13 4 14 5 15 6 7 16 8 17 9 18 10 19 11 1
M 20 38 37 36 35 34 33 32 31 39 29 28 27 26 25 24 23 22 40 21
S 2 12 3 13 4 14 5 15 6 7 16 8 17 9 18 10 19 11 1 30
Roues d'ordre n = 4k+2 .
J'ai seulement deux exemples : n = 6 et n = 10 : n=6 , σ = 20
Sommet 12 1 8 10 6 5
Milieu 7 11 2 4 9 3
Sommet 1 8 10 6 5 12
Et n = 10, σ = 36
Sommet 20 15 18 16 13 19 8 17 14 10
Milieu 1 3 2 7 4 9 11 5 12 6
Sommet 15 18 16 13 19 8 17 14 10 20
<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>--- On peut voir que, pour n fixé, plusieurs roues magiques existent :
Exemple avec n = 8 :
6+14+3 3+15+5 5+10+8 8+11+4 4+7+12 12+2+9 9+13+1 1+16+6 somme σ = 23 7+5+12 12+10+2 2+13+9 9+11+4 4+14+6 6+3+15 15+8+1 1+16+7 somme σ = 24 8+11+6 6+14+5 5+7+13 13+2+10 10+3+12 12+4+9 9+15+1 1+16+8 somme σ = 25 8+3+14 14+6+5 5+7+13 13+2+10 10+11+4 4+12+9 9+15+1 1+16+8 somme σ = 25 9+4+12 12+11+2 2+10+13 13+7+5 5+14+6 6+3+16 16+8+1 1+15+9 somme σ = 25 11+3+12 12+10+4 4+7+15 15+6+5 5+13+8 8+2+16 16+9+1 1+14+11 somme σ = 26
