A235. Un trou de mémoire
Zig vient de passer son oral de mathématiques au concours d’entrée à l’I.R.M.( Institut des Récréations Mathématiques) et Puce lui demande l’énoncé de l’exercice sur lequel il a planché.
Zig : « Il s’agissait de déterminer la somme S3 des cubes de trois variables x,y et z (x≤y≤z) dont on donnait la somme S1, la somme des carrés S2 et la somme des puissances quatrièmes S4.Je me rappelle la valeur de S1=2 mais j’ai un trou de mémoire sur les valeurs des deux autres sommes. Mon seul souvenir est que les trois sommes prises dans l’ordre S1,S2 et S4 formaient une progression géométrique.
Puce : « Il m’est impossible de résoudre le problème avec cet énoncé tronqué ».
Zig : « Tu as raison. Après le calcul de S3,l’examinateur m’a demandé de calculer de la même manière la somme S5 des puissances cinquièmes. Faute de temps,je ne n’y suis pas parvenu. Il fallait trouver 2102. »
Avec ces précisions, montrer que Puce est capable de calculer S3 et par la même occasion de retrouver S2 et S4?
Solution proposée par Gaston Parrour
On a affaire à trois nombres x, y, z .
A partir de ces trois nombres on peut former les trois quantités indépendantes suivantes leur somme S
1 = x+y+z leur produit P = xyz
la somme des produits deux à deux A = xy+yz+zx
1- Avec ces trois quantités on peut alors exprimer les diverses sommes de puissances : S2 = x2+y2+z2 = S
1
2 -2A (1)
S3 = x3+y3+z3 =S
1
3 - 3(x2y+y2z+z2x+x2z+y2x+z2y) – 6P
La parenthèse s'écrit xy(x+y) + yz(y+z) + zx(z+x) = (x+y+z)A – 3P S3 = S
1 3 - 3(S
1A-3P) – 6P soit donc S3 = S
1 3 – 3S
1A + 3P (2) S4 = x4+y4+z4 = S
1
4 – 4 L – 6 M où L = x3y+x3z+y3x+y3z+z3x+z3y
M = x2y2+y2z2+z2x2+2(x2yz+xy2z+xyz2) On reconnaît ici M = A2
et L = xy(x2+y2) + yz(y2+z2) + zx(x2+y2) = S
2(xy+yz+zx) – xyz(x+y+z) = S
2A – S
1P S
4 = S
1 4 - 4S
2A + 4S
1P – 6A2
(3) A ce stade on voit que la donnée de S
1, S
2, S
4 permet de calculer S
3
Mais Zig a oublié S
2 et S
4 et la donnée supplémentaire de l'énoncé : S
2 = kS
1 et S
4 = k2S
1 est insuffisante pour compenser le manque de ces deux sommes : il faut une autre « entrée » ; ce sera S
5. En procédant de la même façon que précédemment :
S
5 = S
1
5 – 5N – 10Q - 20R – 30S où
N = xy(x3+y3) + yz(y3+z3) + zx(z3+x3) = S
3(xy+yz+zx) – xyz(x2+y2+z2) = S
3A – PS
2
Q = x2y2(x+y) + y2z2(y+z) + z2x2(z+x) = S
1(x2y2+y2z2+z2x2) – xyz(xy+yz+zx) Q = S
1(A2-2PS
1) - PA = S
1A2 – 2PS
1 2 - PA
R = xyz(x2+y2+z2) = PS
2
S = xyz(xy+yz+zx) = PA
S5 s'exprime donc bien en fonction de S
1 , P et A définis au début : S
5 = S
1 5 – 5(S
3A - PS
2) – 10(S
1A2- 2PS
1
2 - PA) – 20PS
2 – 30PA (4) 2 – Explicitons les 4 relations précédentes avec les données de l'énoncé :
S
1 = 2 S
5 = 2102 et S
2 = k S
1 , S
4 = k2 S
1
(1) ==> S
2 = 2k = 4 – 2A donc A+k = 2 (1') (2) ==> S
3 = 8 – 6A + 3P (2') (3) ==> S
4 = 2k2 = 16 – 8kA + 8P – 6A2 donc k2-8+3A2+4kA=4P (3') (4) ==> S
5 = 2102 = 32 – 5(S
3A+3PS
2+4A2-16P+4PA) donc -414 = S
3A+6kP+4A2-16P+4PA (4')
3 - Les trois équations (1') (3') et (4') permettent d'éliminer par exemple A et P et d'établir l'équation définissant k .
A partir de (3') et sachant que A+k =2 :
(k2-A2)-8+4A(A+k)=4P soit (k-A) – 4 +4A = 2P et donc P = 1 – k (5) Avec (2') on explicite S
3A S
3A = A(8-6A+3P)
Ceci, introduit dans (4') exprimant S5 et après avoir ordonné par exemple en P, conduit à -414 = P(3A+6k+4A-16) + 8A – 6A2 +4A2 = P[7(A+k) – k -16] + 2A(4-A)
Et avec les relations (1') et (5) :
-414 = (1-k)(-2-k) + 2(2-k)(2+k) soit 414 = (k+2)(k-3) (6) Cette équation du second degré détermine la racine entière positive
k = 21
A partir de cela A = -19 et P = -20 Donc S
3 = 8-6A+3P = 8 + 6x19 – 3x20 S
3 = 62 et aussi S
2 = kS
1 = 42 et S
4 = kS
2 = 882 Remarque dans la mesure où S
1= 2 et P = -20 et où il y a un seul nombre négatif (car S3 et S5 >0) , on vérifie que x = -4, y = 1 et z = 5 est le triplet considéré avec x<y<z
