A40541. Trois égyptiennes
Pouvez-vous trouver trois fractions égyptiennes (numérateur 1, dénomina- teur entier) dont la somme 1/a+ 1/b+ 1/c= 4/2017 ?
Il y a plusieurs solutions aveca < b < c, sauriez-vous trouver leur nombre, ainsi que la plus petite et la plus grande valeur de c?
Solution
A la main, l’identité de Bachet pour les entiers 4 et 2017 donne 1 = 4×1513−2017×3, d’où 4
2017 − 1
1513×2017 = 3
1513, et comme 1513 = 17×89, 3
1513 = 89 + 1
510×89, d’où le triplet (510, 45390, 3051721).
Il y a deux familles de solutions, selon la nombre de multiples de 2017 (qui est un nombre premier) parmi a, b, c. Ce nombre n’est pas 0, ni 3 (la somme ne dépasserait pas 3/2017).
Si ce nombre est 1, le rationnel 4/2017−1/(2017m) n’a plus 2017 dans son dénominateur ; 4m−1 est multiple de 2017, ce qui se réalise quand m= 1513 + 2017q. Il reste à décomposer la fraction (q+ 3)/(1513 + 2017q) en somme de deux fractions égyptiennes.
Si ce nombre est 2, ce sont b et c; 2017/b et 2017/c sont des fractions égyptiennes de somme 4−2017/a≤2. On teste les valeurs deade 505 à 1008.
Un petit programme sur ordinateur m’a donné 27 triplets solutions, 19 à un multiple de 2017 (début du tableau), 8 à deux multiples de 2017 (fin du tableau).
Les valeurs extrêmes de c viennent des triplets (510, 60510, 171445) et (505, 339530, 69168033010).
a b c
505 339530 69168033010 505 339562 3424482770 505 340370 137305258 505 356530 7120010 507 92976 812641232 508 68326 275627084 510 44725 9201453150 510 44727 902143590 510 45390 3051721 513 29564 1610025876 516 22145 535997580 516 22188 11188299 534 9078 3051721 535 8774 88485790 600 3160 47802900 625 2610 658046250 663 2106 72212634 706 1765 7120010 722 1672 64076056 505 3402890 34631890 505 407434 2037170 508 68578 17418812 510 60510 171445 515 24204 12465060 516 22187 11448492 516 24204 260193 538 8068 2170292
