A103 - Les fractions égyptiennes Solution
La méthode la plus adaptée consiste à partir des partitions les plus connues de 1 , de 1/2 , de 1/3 etc… en fractions égyptiennes et qui sont fondées notamment sur les égalités suivantes :
On a donc les partitions ci-après réparties en deux catégories selon que l’on exprime une fraction donnée en fonction de deux fractions égyptiennes ou de trois fractions égyptiennes.
Partitions de la catégorie 1 avec un terme à gauche et deux termes à droite.
a b c a b c
2 3 6 16 20 80
3 4 12 16 24 48
4 5 20 18 22 99
4 6 12 18 24 72
5 6 30 18 27 54
6 7 42 18 30 45
6 8 24 20 28 70
6 9 18 20 30 60
6 10 15 20 36 45
7 8 56 21 28 84
8 9 72 21 30 70
8 10 40 22 33 66
8 12 24 24 32 96
9 10 90 24 33 88
9 12 36 24 36 72
10 12 60 24 40 60
10 14 35 24 42 56
10 15 30 26 39 78
12 14 84 28 42 84
12 15 60 28 44 77
12 16 48 30 45 90
12 18 36 30 48 80
12 20 30 30 50 75
12 21 28 30 55 66
14 18 63 32 48 96
14 21 42 35 60 84
15 18 90 36 60 90
15 20 60 36 63 84
15 24 40 40 72 90
15 24 40 42 78 91
1/ a = 1/ b + 1/ c
On constate lors de la confection de ces tableaux que tous les entiers inférieurs ou égaux à 99 y figurent à l’exception des nombres premiers 23, des multiples 51 et 68 du nombre premier 17, des carrés 49,64,81 et enfin de 98 multiple de 49. Globalement, il y a 66 entiers utilisés dans ces tableaux.
Afin d’éviter l’écriture des barres de fraction, on notera ci-après (a)=(b,c,d) en lieu et place de 1/a = 1/b + 1/c +1/d.
Partant de l’égalité (1) = (2,3,6), on crée une arborescence en remplaçant chaque fraction par l’une des partitions de la catégorie (1) puis de la catégorie (2).
C’est ainsi que (2 )= (4) + (4) = (7,14,28) + (10,12,15)=(7,14,28) + (10,15,20,30), puis (3) = (6,9,18) et (6) = (8,24) ce qui donne une première partition de 1en 12 fractions égyptiennes distinctes: (1) = (6,7,8,9,10,14,15,18,20,24,28,30)
On considère chacun des termes du second membre de l’égalité et l’on recherche les
décompositions en fractions égyptiennes avec les dénominateurs les plus élevés possibles de telle sorte qu’elles ne chevauchent pas entre elles:
(6) = (7,78,91) avec (7) = (9,56,72) et (9) = (12,60,90) et (12) = (26,39,52) (6) = (26,39,52,56,60,72,78,90,91)
(7) = (12,21,84) avec (12)=(20,55,66) et (20) = (38,76,95) et (21) = (48,70,80) (7) = (38,48,55,66,70,76,80,84,95)
(8) = (11,44,88) avec (11)=(21,33,77) et (11) = (21,33,77) (8) = (21,33,44,77,88) (9) = (18,22,99) avec (18)=(45,50,75) (9) = (22,45,50,75,99)
(10) = (17,34,85)
a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d
2 3 7 42 5 6 45 90 7 9 56 72 9 18 22 99 12 22 36 99 15 36 40 72 21 50 70 75
2 3 8 24 5 6 48 90 7 10 35 70 9 18 24 72 12 22 44 66 15 36 45 60 21 55 66 70
2 3 9 18 5 6 50 75 7 10 40 56 9 18 27 54 12 24 32 96 15 40 42 56 21 56 63 72
2 3 10 15 5 6 55 66 7 12 21 84 9 18 30 45 12 24 33 88 16 28 70 80 22 55 70 77
2 4 5 20 5 7 30 42 7 12 24 56 9 20 30 36 12 24 36 72 16 30 60 80 24 56 78 91
2 4 6 12 5 8 16 80 7 12 28 42 9 21 28 36 12 24 40 60 16 32 48 96 24 60 72 90
3 4 14 84 5 8 20 40 7 14 18 63 10 14 60 84 12 24 42 56 16 33 48 88 24 63 72 84
3 4 15 60 5 8 24 30 7 14 21 42 10 15 45 90 12 26 39 52 16 36 45 80 28 78 84 91
3 4 16 48 5 9 15 45 7 15 21 35 10 15 48 80 12 27 36 54 16 36 48 72
3 4 18 36 5 9 18 30 8 10 72 90 10 15 50 75 12 28 30 70 16 40 48 60
3 4 20 30 5 10 12 60 8 11 44 88 10 15 55 66 12 30 36 45 16 42 48 56
3 4 21 28 5 10 14 35 8 12 32 96 10 16 40 80 13 26 39 78 18 32 72 96
3 5 9 45 5 10 15 30 8 12 33 88 10 16 48 60 14 21 78 91 18 33 66 99
3 5 10 30 5 12 15 20 8 12 36 72 10 17 34 85 14 22 63 99 18 33 72 88
3 5 12 20 6 7 78 91 8 12 40 60 10 18 30 90 14 24 56 84 18 35 63 90
3 6 7 42 6 8 32 96 8 12 42 56 10 18 35 63 14 24 63 72 18 36 60 90
3 6 8 24 6 8 33 88 8 14 24 84 10 18 36 60 14 27 54 63 18 36 63 84
3 6 9 18 6 8 36 72 8 14 28 56 10 20 28 70 14 28 42 84 18 40 60 72
3 6 10 15 6 8 40 60 8 14 35 40 10 20 30 60 14 28 44 77 18 42 56 72
4 5 28 70 6 8 42 56 8 15 24 60 10 20 36 45 14 30 42 70 18 45 48 80
4 5 30 60 6 9 22 99 8 15 30 40 10 21 28 60 14 30 45 63 18 45 50 75
4 5 36 45 6 9 24 72 8 16 20 80 10 21 35 42 14 35 40 56 18 45 55 66
4 6 14 84 6 9 27 54 8 16 24 48 10 24 30 40 15 22 90 99 20 38 76 95
4 6 15 60 6 9 30 45 8 18 24 36 11 20 44 55 15 24 72 90 20 40 72 90
4 6 16 48 6 10 18 90 8 20 24 30 11 21 33 77 15 26 65 78 20 42 70 84
4 6 18 36 6 10 20 60 8 21 24 28 11 22 33 66 15 27 54 90 20 44 70 77
4 6 20 30 6 10 24 40 9 12 60 90 12 18 60 90 15 28 60 70 20 45 60 90
4 6 21 28 6 11 22 33 9 12 63 84 12 18 63 84 15 30 45 90 20 45 63 84
4 7 12 42 6 12 14 84 9 14 35 90 12 10 57 76 15 30 48 80 20 48 60 80
4 7 14 28 6 12 15 60 9 14 36 84 12 20 45 90 15 30 50 75 20 50 60 75
4 8 9 72 6 12 16 48 9 14 42 63 12 20 48 80 15 30 55 66 20 55 60 66
4 8 10 40 6 12 18 36 9 15 30 90 12 20 50 75 15 32 40 96 21 42 78 91
4 8 12 24 6 12 20 30 9 15 35 63 12 20 55 66 15 33 40 88 21 44 77 84
4 9 12 18 6 12 21 28 9 15 36 60 12 21 42 84 15 35 42 70 21 45 70 90
4 10 12 15 6 14 15 35 9 16 36 48 12 21 44 77 15 35 45 63 21 48 70 80
Partitions de la catégorie 2 avec un terme à gauche et trois termes à droite.
1/ a = 1/ b + 1/ c + 1/ d
(14) = (27,54,63) (15) = (32,40,96) (20) = (38,76,95) (30) = (55,66)
D’où le résultat (1) = (17, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 38, 39, 40, 44, 45, 48, 50, 52, 54, 55, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 75, 76, 77, 78, 80, 84, 85, 88, 90, 91, 95, 96, 99). Il semble que le nombre de 42 fractions égyptiennes distinctes soit un maximum.
Si l’on admet l’utilisation du nombre 100, il y a 43 fractions égyptiennes possibles . En effet partant de l’égalité (20) = (25,100), il suffit de remplacer 20 par 25 et 100 dans la
décomposition précédente. Le hasard fait bien les choses, le dénominateur 25 n’a pas encore été utilisé…D’où la séquence avec les dénominateurs inférieurs ou égaux à 100.
(1) = (17, 18, 21, 22, 24,25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 38, 39, 40, 44, 45, 48, 50, 52, 54, 55, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 75, 76, 77, 78, 80, 84, 85, 88, 90, 91, 95, 96, 99,100)
