A563. Les entiers narcissiques
Un entier naturel n est dit « narcissique » si la somme des puissances n-ièmes des n premiers nombres entiers naturels est divisible par n. Quels sont les entiers narcissiques ? Justifiez votre réponse.
Solution proposée par Gaston Parrour
On doit examiner la divisibilité par n de la somme Sn suivante :
Sn = 1n+2n+ … + nn 1 – n impair n = 2k+1
Alors an + bn = (a+b)(an-1 + an-2b + … + bn-1) = (a+b) [N] où N est un entier Puisque n est impair, n-1 pair permet le regroupement suivant :
1n + (n-1)n = n [ N1 ] 2n + (n-2)n = n [ N2]
…...
nn = n [nn-1] D'où
S2k+1 = n [ N1+N2+ … + nn-1 ] est toujours divisible par n ==> Les entier impairs sont narcissiques
2 – n pair n = 2k
→ le regroupement précédent ne peut plus être utilisé
La question qui se pose alors est : existe-t-il néanmoins un regroupement des termes qui permet dans certains cas de définir un nombre pair narcissique ?
Tout d'abord :
n pair ==> Sn paire : le nombre pair n ne pourrait diviser un impair
Sn paire ==> n = 4k : par considération de parité S2, S6, S10, etc … sont impaires.
Divisibilité de S4k par 4k
S4k = (14)k + (24)k + … + [(4k)4]k En notant (4) modulo 4, on a :
14 = 1 (4) d'où (14)k = 1 (4) 24 = 0 (4) (24)k = 0 (4) 34 = 1 (4) (34)k = 1 (4) …...
[(4k)4]k = 0 (4)
→ L'alternance de 0 et de 1 permet d'écrire
S4k = 2k (4) (1) Deux possibilités se présentent :
(a) k impair :
(1) ==> S4k = 2 (4)
Ceci montre que 4 ne divise pas S4k , donc a fortiori 4k ne divise pas S4k
(b) k pair = 2k' deux possibilités :
k' est lui-même pair, alors on vérifie que le terme général de S4k est en fait 0 ou 1 et modulo 4k (m4)k = a modulo 4k où a = 0 ou 1 pour m pair ou impair ==> S4k = 2k (4k) et le quotient de S4k par 4k est demi entier
k' est impair, alors le terme général de S4k ne peut même pas s'exprimer modulo 4k ==> S4k = 2k (4) S4k n'est pas divisible par 4k
==> pas d'entier n pair narcissique
