A 563 – Les entiers narcissiques

A 563 – Les entiers narcissiques

Un entier naturel n est dit narcissique si la somme des puissances n-ièmes des n premiers nombres entiers naturels est divisible par n.

Quels sont les entiers narcissiques ? Justifiez votre réponse.

Proposition

Définition : n entier narcissique si n divise Sn(n)= 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+…+nⁿ A/ Etude de Sn(N)= 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+…+Nⁿ pour n impair

L’identité aⁿ+bⁿ=(a+b)(a^n-1-a^n-2b+a^n-3b²-…+a²b^n-3-ab^n-2+b^n-1) valable pour n impair

 aⁿ+bⁿ divisible par (a+b) pour n impair 1/ N=2k (pair)

Sn(2k)= 1ⁿ+2ⁿ+…+(2k-1)ⁿ+(2k)ⁿ

Sn(2k)= [1ⁿ+(2k)ⁿ]+[2ⁿ+(2k-1)ⁿ]+…+[kⁿ+(k+1)ⁿ] Chaque terme entre crochets est divisible par (2k+1)

 Sn(2k) divisible par (2k+1) 2/ N=2k+1 (impair)

Sn(2k+1)= 1ⁿ+2ⁿ+…+(2k)ⁿ+(2k+1)ⁿ= Sn(2k)+(2k+1)ⁿ

 Sn(2k+1) divisible par (2k+1)

Autre regroupement des 2k+1 termes :

Sn(2k+1)=[1ⁿ+(2k+1)ⁿ]+[2ⁿ+(2k)ⁿ]+…+[kⁿ+(k+2)ⁿ]+(k+1)ⁿ

Chaque terme entre crochets est divisible par 2k+2=2(k+1) et seul (k+1)ⁿ est divisible par (k+1)

 Sn(2k+1) est divisible par k+1 On déduit ainsi que :

Sn(2k)= 1ⁿ+2ⁿ+…+(2k-1)ⁿ+(2k)ⁿ= Sn(2k-1)+(2k)ⁿ avec Sn(2k-1) divisible par k

 Sn(2k) divisible par k Ainsi :

Sn(2k-1) divisible par k et (2k-1) ; Sn(2k) divisible par k et (2k+1)

Sn(2k+1) divisible par (k+1) et (2k+1) ; Sn(2k+2) divisible par (k+1) et (2k+3) Résumé : Pour tout n impair

N pair : N/2 et N+1 divisent Sn(N)= 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+…+Nⁿ N impair : (N+1)/2 et N divisent Sn(N)= 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+…+Nⁿ Conclusion A

Si N=n impair  (n+1)/2 et n divisent Sn(n)= 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+…+nⁿ

B/ Etude de Sn(N)= 1ⁿ+2ⁿ+…+(2k-1)ⁿ+(2k)ⁿ+…+Nⁿ pour n pair n = 2^s(2m+1) nombre pair avec s ≥ 1

posons : a=2^s  n = a(2m+1)

On a toujours : a=2^s > s  2^a > a=2^s  a=2^s divise 2^a 1/ termes pairs : (2k)ⁿ

(2k)ⁿ=2ⁿkⁿ= 2^a(2m+1)kⁿ=(2^a)^2m+1kⁿ et 2^s divise 2^a  2^s divise (2k)ⁿ

 (2k)ⁿ ≡ 0 [2^s]

2/ termes impairs : (2k-1)ⁿ (2k-1)ⁿ=[(2k-1)^2m+1]^a

Le terme entre crochets est un nombre impair (2j+1) et on a : (2j+1)^2^s=1 Definition de φ(p), l’indicatrice d’Euler

L'indicatrice d'Euler est la fonction φ, de l'ensemble ℕ^* des entiers strictement positifs dans lui-même, qui à p associe le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à p et premiers à p.

Calculer φ(2^s), revient à compter le nombre d’entiers compris entre 1 et 2^s (inclus) qui sont premiers avec 2^s. C’est la quantité de nombres impairs précédant 2^s soit 2^s-1

 φ(2^s) = 2^s-1 Théorème d’Euler :

Soit un entier p > 0 et q un entier premier avec p (q^p=1)  q^φ(p) ≡ 1 [p]

Application :

(2j+1)^2^s=1 et φ(2^s) = 2^s-1 ; a=2^s  (2j+1)^a=1 et φ(a)=a/2  (2j+1)^φ(a) ≡ 1 [a]

 (2j+1)^a/2 ≡ 1 [a]

 (2j+1)^a ≡ 1² [a]  =[(2k-1)^2m+1]^a ≡ 1² [a]

 (2k-1)ⁿ ≡ 1 [2^s]

Résumé: (2k)ⁿ ≡ 0 [2^s] et (2k-1)ⁿ ≡ 1 [2^s] avec n=2^s(2m+1)

Sn(2k)= 1ⁿ+2ⁿ+…+(2k-1)ⁿ+(2k)ⁿ = [1ⁿ+3ⁿ…+(2k-1)ⁿ]+[2ⁿ+…+(2k)ⁿ] (2k termes) [2ⁿ+…+(2k)ⁿ] ≡ 0 [2^s] (k nombres pairs)

[1ⁿ+3ⁿ…+(2k-1)ⁿ] ≡ k [2^s] (k nombres impairs)

 Sn(2k) ≡ k [2^s] et Sn(2k-1) ≡ k [2^s]

Sn(2k+1) ≡ k+1 [2^s] et Sn(2k+2) ≡ k+1 [2^s] Résumé :

Si N pair : Sn(N) ≡ N/2 [2^s]

Si N impair : Sn(N) ≡ (N+1)/2 [2^s] En particulier :

Si N=n=2^s(2m+1) pair  Sn(n) ≡ n/2 [2^s]  Sn(n) ≡ 2^s-1(2m+1) [2^s]

 n contenant le facteur 2^s ne divise pas Sn(n) car le reste contenant 2^s-1 < 2^s n’est pas divisible entièrement par 2^s.

Observation: toutefois (2m+1) divise Sn(n) Conclusion B

Si N=n pair  n ne divise pas Sn(n)= 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+…+nⁿ Résultat :

Seul n impair divise Sn(n)= 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+…+nⁿ Les nombres entiers impairs sont narcissiques