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A563 - Les entiers narcissiques

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Academic year: 2022

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Un entier naturel n est dit « narcissique » si la somme des puissances n-ièmes des n premiers nombres entiers naturels est divisible par n. Quels sont les entiers narcissiques ? Justifiez votre réponse.

Si n est impair, in+(n-i)n est divisible par n=i+n-i pour tout i (0≤i≤(n-1)/2) : en sommant sur i, on en déduit 1n+...+nn est divisible par n : tout entier impair est narcissique.

Si n est pair, soit 2k la plus grande puissance de 2 qui divise n : n=m*2k avec m impair.

Si m=1, (n est puissance de 2), les puissances n-ièmes des nombres pairs et impairs sont égales respectivement à 0 et 1 modulo n : donc 1n+...+nn=2k-1 (mod 2k).

Plus généralement, 1n+...+nn=m*2k-1 (mod 2k). La somme n’est pas divisible par 2k, a fortiori par n.

Les seuls entiers narcissiques sont les nombres impairs.

A563 - Les entiers narcissiques

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