Q1 : Démontrer que la somme des entiers naturels consécutifs de 1 à 2011 divise la somme des puissances d’ordre 2011 de ces mêmes entiers.
Q2 : Démontrer que pour k entier impair positif et pour tout n entier naturel positif, la somme des entiers consécutifs de 1 à n divise la somme des puissances d’ordre k de ces mêmes entiers.
Rappelons que 1+...+n=n(n+1)/2.
Dans la somme des puissances d’ordre k, nous pouvons grouper les termes de deux façons suivantes :
- si n est pair, S=1k +...+nk =(n/2)k +∑(ik +(n-i)k )= ∑ (jk +(n+1-j)k ) où i varie de 0 à n/2-1 et j de 1 à n/2 ; or ik +(n-i)k est divisible par n, donc par n/2, et n/2 divise S ; par ailleurs jk +(n+1-j)k est divisible par n+1, donc n+1 divise S, et comme n/2 et n+1 sont premiers entre eux, n(n+1)/2 divise S.
- si n est impair, on pose 1k +...+nk =∑(ik +(n-i)k )= ((n+1)/2)k +∑ (jk +(n+1-j)k ) et le raisonnement est le même.
Pour n=k=2011, on trouve le résultat demandé en Q1.