A535. Petite somme divise grande somme
Le résultat étant trivial pourk= 1, supposonsk>3 impair. Rappelons que :
• 1 +· · ·+n=n(n+1)2
• a+b diviseak+bk (*)
• xety premiers entre eux divisentz⇒xydivisez (**) D’après (*),n+ 1 diviseik+ (n+ 1−i)k pour tout 16i6n
2
. D’après (*),ndiviseik+ (n−i)k pour tout 16i6n−1
2
.
Casn= 2m+ 1
De plus, n+12 =m+ 1 divise (m+ 1)k et n+ 1.
Enfin, 2 (m+ 1)−(2m+ 1) = 1⇒m+ 1 et 2m+ 1 sont premiers entre eux.
Casn= 2m
De plus, n2 =mdivisemk etn.
Enfin, 2m+ 1−2m= 1⇒met 2m+ 1 sont premiers entre eux.
Dans les 2 cas, il découle de (**) que n(n+1)2 divise 1k+· · ·+nk, cqfd.
La question 1 est alors une application du résultat avecn=k= 2011.
Remarques :
• à l’aide deak+1+bk+1 = (a+b) ak+bk
−ab ak−1+bk−1
, (*) se dé- montre aisément par récurrence.
• (**) est une conséquence classique d’un lemme de Gauss.
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