Casse-tˆete de septembre 2008 (Diophante) Le casse-tˆete de l’enn´eagone
D´eterminer le plus petit nombre possible de nombres entiers naturels dis- tincts entre eux qui sont inscrits `a l’int´erieur d’un enn´eagone r´egulier de telle sorte que :
– un entier et un seul apparaˆıt `a l’int´erieur de tout triangle dont les sommets sont choisis parmi les sommets de l’enn´eagone,
– la somme des entiers ´ecrits `a l’int´erieur de tout octogone convexe dont les sommets sont choisis parmi les sommets de l’enn´eagone est un carr´e parfait, – la somme des entiers contenus dans l’enn´eagone est la plus petite possible.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1) L’enn´eagone ´etant convexe, les 9−3 = 6 diagonales issues d’un des sommets le partitionnent en 9−2 = 7 triangles disjoints (sauf peut-ˆetre sur leur fronti`ere). Le nombre d’entiers est donc au moins 7 si le probl`eme est possible. Je n’ai pas cherch´e `a placer plus de 7 entiers en en mettant sur des diagonales.
Je note les sommets de l’enn´eagone, en suivant son contour, A0, A2, A4, A6, A8, A7, A5, A3, A1. Ainsi, les indices se rangent dans l’ordre des projections des sommets surA0A8.
Je place les 7 entiers en des pointsBi (i= 1 `a 7) d´efinis par : –AiBi est orthogonal `a A0A8,
–Bi est int´erieur au triangle Ai−2AiAi+2 sii= 1 `a 6, –B1 est int´erieur `a A0A1A3,B7 est int´erieur `a A5A7A8.
Ainsi, quel que soit le triangle AiAjAk avec i < j < k, il contient Bj et aucun des autres points Bm.1
2) Selon le sommetAi laiss´e de cˆot´e par l’octogone, la partie de l’enn´eagone non couverte par l’octogone est le triangle indiqu´e par le tableau suivant, et la somme des entiers inclus dans l’octogone est la diff´erence entre la somme S des 7 entiers et l’entier inclus dans ce triangle au point Bm.
Ai triangle Bm
A0 A0A1A2 B1
A1 A0A1A3 B1
2≤i≤6 Ai−2AiAi+2 Bi A7 A5A7A8 B7
A8 A6A7A8 B7
Pour que le total des entiers de l’octogone soit un carr´e parfait, il faut et il suffit que l’entier enBi ait pour valeur S−a2i, les ai ´etant des entiers posi- tifs distincts pour que les entiers inscrits dans l’enn´eagone soient distincts.
Comme ce doivent ˆetre des entiers naturels, il faut S >maxia2i.
1Je me suis largement inspir´e pour cette construction d’un probl`eme du Concours g´en´eral 1998 publi´e sous le noE.98 dans les num´eros 32 et 33 de la revueQuadrature.
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MaisS est la somme des 7 entiers inscrits, soit S=Pi(S−a2i) = 7S−Pia2i, doncPia2i = 6S et la moyenne desa2i est 6S/7.
Pour que cette moyenne soit compatible avec la condition que le plus grand des a2i soit inf´erieur `a S, les ai doivent ˆetre assez voisins du plus grand d’entre eux. Je vais donc les prendre autant que possible cons´ecutifs.
Cependant, la suite des restesn2 mod 6 est p´eriodique : 1, 4, 3, 4, 1, 0, 1, 4, 3, 4, 1, 0, . . .
et la somme de 7 termes cons´ecutifs donne aussi une suite des restes p´eriodique 2, 5, 4, 5, 2, 1, 2, 5, 4, . . ., sans terme multiple de 6.
Avec 8 termes cons´ecutifs, on a la suite des restes des sommes 0, 2, 2, 0, 2, 2, 0, . . .
qui montre qu’il suffit d’omettre le terme multiple de 6 dans la suite de restes 1, 4, 3, 4, 1, (0 omis), 1, 4
ou 4, 1, (0 omis), 1, 4, 3, 4, 1.
Je peux donc satisfaire la conditionPia2i = 6S avec pour ensemble desai 6k−5 `a 6k+ 2 except´e 6k, ou 6k−2 `a 6k+ 5 except´e 6k.
Le premier ensemble donne P
ia2i = 6(42k2 −24k+ 10) et maxia2i = (6k+ 2)2, d’o`u k ≥ 8 : avec le minimumk= 8, lesai vont de 43 `a 50, 48 except´e.
Le second ensemble donne P
ia2i = 6(42k2+ 24k+ 10) et maxia2i = (6k+ 5)2, d’o`uk≥7 : sik= 7, les ai vont de 40 `a 47, 42 except´e.
C’est ´evidemment ce dernier qui minimisePia2i, doncSqui vaut alors 2236.
Les 7 entiers sont : 27, 120, 211, 300, 387, 555, 636.
Peut-on faire mieux avec des ai plus espac´es ? Si le plus grand est M et le plus petitM−e,
6M2<6S≤M2+ (M−1)2+. . .+ (M −5)2+ (M−e)2
= 7M2−2M(15 +e) + 55 +e2, et (M−15−e)2 >30e+ 210.
Sie≥10,M >25 +√
510 = 47,583. . .,S > M2 ≥482= 2304. Il est inutile de chercher un minimum de ce cˆot´e.
Sie= 9,M >24 +√
480 = 45,9089. . .,S > M2 ≥462 = 2116.
Lesai sont alors pris parmi 10 entiers cons´ecutifs. Cependant, siM−5 ´etait remplac´e par M−7 dans la majoration de 6S, on aurait
6M2<6S≤7M2−52M+ 160, M >26 +√
516>48,S > M2>2304.
De mˆeme, si M−4 ´etait remplac´e parM−6 dans la majoration de 6S, on aurait
6M2<6S≤7M2−52M+ 156, M >26 +√
520>48,S > M2>2304.
Si un entier > M −5 ´etait remplac´e par un entier ≤M −7, l’effet sur le minorant deS serait encore plus net.
Donc, pour am´eliorerS, il faut prendre d’une part M −9, d’autre part les entiers deM−6 `a M saufM−5.
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Alors 6S = 7M2−50M + 147, multiple de 6 si (M−3)(M −5) l’est.
AvecM = 6k+ 3,S = 42k2−8k+ 10, la condition S > M2 donnnek≥8, d’o`uM ≥51 etS >2601.
AvecM = 6k+ 5,S= 42k2+ 20k+ 12, la conditionS > M2 donnnek≥7 ; sik= 7,M = 47 et S= 2210. Lesai correspondants sont 38, 41, et 43 `a 47 (par rapport `a l’ensemble donnant 2236, on a remplac´e 40 par 38).
On peut donc r´eduireS `a 2210. Les entiers de l’enn´eagone sont alors 1, 94, 185, 274, 361, 529, 766.
Sie= 8, lesai sont 9 entiers cons´ecutifs moins 2 exceptions.
La suite des restes modulo 6 des sommes de 9 carr´es cons´ecutifs est 3, 0, 3, 0, . . ..
Les carr´es des termes omis ont donc une somme multiple de 3, ce qui impose que chacun d’eux soit multiple de 3. Ces termes omis sont au moinsM−4 etM−7, d’o`u
6M2<6S≤7M2−50M+ 139, puisM >25 +√
486 = 47,045. . .,S > M2≥482 = 2304.
Ce cas e= 8 ne peut donc am´eliorer la somme des 7 entiers.
La r´eponse au probl`eme est donc constitu´ee par les 7 entiers : 1, 94, 185, 274, 361, 529, 766, de somme 2210, plac´es aux pointsBi, dans un ordre d’ailleurs quelconque. La figure suivante en donne un exemple.
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