A535. Petite somme divise grande somme Q1 :

A535. Petite somme divise grande somme

Q1 : Démontrer que la somme des entiers naturels consécutifs de 1 à 2011 divise la somme des puis- sances d’ordre 2011 de ces mêmes entiers.

Q2 : Démontrer que pourkentier impair positif et pour toutnentier naturel positif, la somme des entiers consécutifs de 1 àndivise la somme des puissances d’ordrekde ces mêmes entiers.

Solution de Claude Felloneau

Soitnun entier naturel non nul etpun entier naturel, on poseS_p=

n

X

i=1

i^2p+1.

On aSp=

n

X

i=0

i^2p+1=

n

X

j=0

(n−j)^2p+1, donc 2Sp=

n

X

i=0

£i^2p+1+(n−i)^2p+1¤ .

Or pour touti compris entre 0 etn, (n−i)^2p+1≡(−i)^2p+1[n] donc (n−i)^2p+1≡ −i^2p+1[n], d’où i^2p+1+(n−i)^2p+1≡0 [n]. Par addition, 2Sp≡0 [n].

De mêmeSp=

n

X

i=1

i^2p+1=

n

X

j=1

(n+1−j)^2p+1, donc 2Sp=

n

X

i=1

£i^2p+1+(n+1−i)^2p+1¤ .

Or pour touticompris entre 1 etn, (n+1−i)^2p+1≡(−i)^2p+1[n+1] donc (n+1−i)^2p+1≡ −i^2p+1[n+1], d’oùi^2p+1+(n+1−i)^2p+1≡0 [n+1]. Par addition, 2Sp≡0 [n+1].

n etn+1 sont donc deux diviseurs de 2S_pet comme ils sont premiers entre eux,n(n+1) est un diviseur de 2Sp. AinsiS0=n(n+1)

2 est un diviseur deSp.