INF 321 Types produit, somme, et r´ecursifs

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INF 321

Types produit, somme, et r´ ecursifs

Eric Goubault

Cours 3

27 mai 2013

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R´ esum´ e

A l’épisode précédent...

Les fonctions et les passages d’argument Les r´ef´erences (pointeurs)

Les types produits et le GC Dans ce cours

Les types produits - retour sur les tableaux tableaux 1D, 2D etc.

rappel: enregistrements; ´egalit´e physique et structurelle;

hachage Les types somme Les types r´ecursifs

listes - retour au hachage probl`emes departage

2

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Les tableaux

En quelque sorte: type produit, dont le nom des champs est un entier.

Un peu l’ancˆetre des types produits: surtout utilis´e pour coder les vecteurs et matrices...

Possibilit´e ´egalement de faire des tableaux 2D (matrices), 3D etc. (tenseurs)

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D´ eclaration (1D)

Java (rappel) double[ ] x ;

C

d o u b l e ∗x ;

Un tableau=pointeur sur son premier ´el´ement Caml

Pas de d´eclaration

4

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Allocation (1D)

Java (rappel)

x = new double[ 1 0 0 ] ;

d´emarre en 0, dernier indice valide en 99 C

x = (d o u b l e ∗) m a l l o c ( 1 0 0∗s i z e o f(d o u b l e) ) ;

D´ebut d’allocation dynamique!

où alors plus simplement, à la déclaration:

d o u b l e x [ 1 0 0 ] ;

d´emarre aussi en 0, dernier indice valide en 99 Caml

l e t x = A r r a y . make 100 0 ; ;

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Acc` es (projections, construction)

Java, C

d o u b l e y = x [ 5 0 ] ; x [ 5 0 ] = 1 . 0 ;

Caml

l e t y=x . ( 5 0 ) ; ; x . ( 5 0 )<−1 . 0 ; ;

6

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Exemple: produit scalaire

c l a s s v e c t n { double[ ] comp ; v e c t n (i n t n ) {

t h i s. comp = new double[ n ] ; } }

c l a s s E s s a i {

s t a t i c double s c p r o d u c t ( v e c t n p , v e c t n q ) { double r e s = 0 ;

f o r (i n t i =0; i<p . comp . l e n g t h ; i ++) r e s = r e s+p . comp [ i ]∗q . comp [ i ] r e t u r n r e s ; }

. . . }

Et siq.dim est différent dep.dim? (plus tard: les exceptions) Remarque: lethis (non nécessaire ici) dénote l’objet courant...

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Dans d’autres langages

C

d o u b l e u [ 1 0 0 ] , v [ 1 0 0 ] ; . . .

d o u b l e s c p r o d u c t (d o u b l e p [ 1 0 0 ] , d o u b l e q [ 1 0 0 ] ) { d o u b l e r e s = 0 ;

f o r (i n t i =0; i<100; i ++) r e s = r e s+p [ i ]∗q [ i ] r e t u r n r e s ; } . . . s = s c p r o d u c t ( u , v ) ;

Ou (taille de tableau param`etre):

d o u b l e ∗u , ∗v ; i n t d ; . . .

u = (d o u b l e ∗) m a l l o c ( d∗s i z e o f(d o u b l e) ) ; v = (d o u b l e ∗) m a l l o c ( d∗s i z e o f(d o u b l e) ) ; . . .

d o u b l e s c p r o d u c t (d o u b l e ∗p , d o u b l e ∗q , i n t dim ) { d o u b l e r e s = 0 ;

f o r (i n t i =0; i<dim ; i ++) r e s = r e s+p [ i ]∗q [ i ] r e t u r n r e s ; }

. . . s = s c p r o d u c t ( u , v , d ) ;

8

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Et finalement, en Caml

Caml

l e t s c p r o d u c t u v n = l e t r e s= r e f 0 .

and n=A r r a y . l e n g t h u i n f o r i =0 t o n do

r e s := ! r e s +. u . ( i ) ∗. v . ( i ) ; done;

! r e s ; ;

Donne une fonction:

v a l s c p r o d u c t : f l o a t a r r a y−> f l o a t a r r a y−> f l o a t =<f u n>

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Tableaux 2D

On consid`ere une matrice deR^N×M, avecM = 3 colonnes de N= 4 lignes:

En Java

double M = new double[ 4 ] [ 3 ] ; M[ 0 ] [ 0 ] = 8 ;

M[ 0 ] [ 1 ] = 1 ; . . .

8 1 6

3 5 7

4 9 2

10 12 11

10

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Tableaux 2D

Ou de fa¸con plus compacte

double[ ] [ ] M={ {8 , 1 , 6}, {3 , 5 , 7}, {4 , 9 , 2}, {1 0 , 1 2 , 1 1} };

8 1 6

3 5 7

4 9 2

10 12 11

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Tableaux 2D en C

Organisation en un bloc contigu en m´emoire

Une matriceN∗M est donn´e par un ensemble deN×M r´eels Allocation: float *x = (float *)

malloc(N*M*sizeof(float));

on r´ecup`ere x_i_,j par x[i*M+j]

8 1 6 3 5 7 4 9 2 10 12 11

12

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Tableaux 2D en C (et en fait en Java!)

Organisation en vecteur de vecteurs

Une matrice N∗M est un élément deR^N×M, c’est aussi un vecteur àM composantes chacune dans R^N

Allocation: float **x = (float **) malloc(M*sizeof(float *)); puis:

f o r ( i =0; i<M; i ++)

x [ i ] = (f l o a t ∗) m a l l o c (N∗s i z e o f(f l o a t) ) ;

Le tableau est ainsi implé- menté comme M pointeurs sur N vecteurs de taille N (chacun un bloc contigu de mémoire)

8 1 6

3 5 7

4 9 2

10 12 11

Se généralise en dimension supérieure...

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En Caml

Plus simple...

l e t x = A r r a y . m a k e m a t r i x n m 0 ; ; x . ( 1 ) . ( 2 )<−9 . 0 ; ;

14

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Enregistrements - rappel

Revenons aux enregistrements g´en´eraux (hors tableaux) Java

c l a s s P o i n t {

i n t x ; i n t y ; i n t z ;

P o i n t (i n t a , i n t b , i n t c ) { x = a ; // ou t h i s . x = a ; y = b ; // ou t h i s . y = b ; z = c ; // ou t h i s . z = c ; } }

Utilisation du constructeur

P o i n t x =new P o i n t ( 1 , 2 , 3 ) ;

Alloue, et fait l’affectation

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Egalit´ e physique et ´ egalit´ e structurelle

Apr`es cela, faisons:

i n t x x = p . x ; i n t y y = p . y ; i n t z z = p . z ;

P o i n t q = new P o i n t ( xx , yy , z z ) ;

petqdénotent les mêmes points (même coordonnées, i.e. les champs ont même valeur), mais ne sont pas égaux (en tant qu’objets, c.-a.d. de pointeurs, ou de locations mémoire).

p q

x: 1|y: 2|z: 3 x: 1|y: 2|z: 3 [assez similaire à égalité, et égalité à isomorphisme près...]

16

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Egalit´ e physique

p == q ?

Cela est faux (deux r´ef´erences distinctes), aussi bien en Java, C qu’en Caml.

p q

x: 1|y: 2|z: 3 x: 1|y: 2|z: 3 De mˆeme pour les tableaux

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Egalit´ e structurelle

Java

s t a t i c boolean e q u a l ( P o i n t p , P o i n t q ) { r e t u r n ( p . x==q . x )&&(p . y==q . y )&&(p . z==q . z ) ; }

(Impl´ement´e parfois par la fonctionequals - ex. String) C

i n t e q u a l (s t r u c t P o i n t p , s t r u c t P o i n t q ) {

r e t u r n ( p . x == q . x ) && ( p . y == q . y ) && ( p . z == q . z ) ; }

Caml

l e t e q u a l p q = ( p . x==q . x ) && ( p . y==q . y ) && ( p . z==q . z ) ; ;

(impl´ement´e par p=q)

18

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Partage et hash-consing

L’égalité structurelle est coûteuse, on peut parfois, par construction, l’obtenir par l’égalité physique...

Id´ee pour les Point: on remplace le newpar une fonction de cr´eation:

qui teste si un point de mêmes coordonnées existe déjà ne l’alloue pas de nouveau si c’est le cas

Pour ce faire: il faut un test d’´egalit´e structurelle...on

l’approche par un moyen peu coˆuteux, lehachage et les tables de hachage

(20)

Hachage

Principe

Permettre à moindre coût, de distinguer à coup sûr deux objets

Traditionnellement, par une fonction de hachage,h :O →N qui associe `a tout objet que l’on veut consid´erer, un entier, de telle fa¸con que h(x)6=h(y) =⇒ x 6=y

G´en´eralement,h a pour valeur 0, . . . ,n (pour un certain n ∈N)

On peut ainsi ranger les objets deO dans unetable de collision: tableau qui `a i ∈0, . . . ,n associe uneliste de collision: tous les x tels queh(x) =i

On simplifie le problème pour l’instant - on utilise et on redéfinit les listes à la fin de ce cours!

20

(21)

Exemple pour Point

Fonction de hachage modulaire simple c l a s s P o i n t {

. . . }

c l a s s Hachage {

f i n a l i n t n = . . . ; // nombre f i x e f i n a l i n t m = . . . ; // t a i l l e f i x e e

s t a t i c i n t h a c h e ( P o i n t p ) { r e t u r n ( p . x+p . y+p . z)%n ; }

}

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Gestion d’ensembles de m points

Probl`eme

Se constituer une base de données de m(fixé - même que transparent précédent) points distincts au maximum Mais le remplissage de la base de données peut demander plusieurs fois d’inclure un point avec les mêmes coordonnées qu’un existant dans la base

On veut décider de l’égalité structurelle rapidement (par l’égalité physique)

Structure de donn´ees Java

Tableau 2D -tab[i][j]est le ji`emePoint de code de hachage

´egal `ai

c l a s s T a b l e n a i v e { s t a t i c P o i n t [ ] [ ] t a b ; s t a t i c i n t[ ] f r e e i n d e x ; . . .

p u b l i c s t a t i c v o i d main ( S t r i n g [ ] a r g s ) { t a b = new P o i n t [ n ] [ m ] ;

f r e e i n d e x =new i n t[ n ] ; // t o u t a z e r o . . . } }

22

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Utilisation du hachage

Code de cr´eation non-redondante c l a s s T a b l e n a i v e {

. . .

s t a t i c v o i d a d d P o i n t (i n t x , i n t y , i n t z ) { P o i n t p = new P o i n t ( x , y , z ) ;

i n t k = Hachage . h a c h e ( p ) ; boolean f o u n d = f a l s e;

f o r (i n t i =0; i<f r e e i n d e x [ k ] ; i = i +1) i f ( e q u a l ( t a b [ k ] [ i ] , p ) ) {

i =f r e e i n d e x [ k ] ; f o u n d=t r u e; } i f ( ! f o u n d ) {

t a b [ k ] [ f r e e i n d e x [ k ] ] = p ;

f r e e i n d e x [ k ]= f r e e i n d e x [ k ] + 1 ; } }

. . .

(On pourrait retourner ´egalement found)

(24)

Exemple

Point (0,0,0) (hachage=0)

f i n a l i n t n =3;

f i n a l i n t m=4;

. . .

a d d P o i n t ( 0 , 0 , 0 ) ;

(0,0,0) null null null null null null null null null null null

24

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Exemple

a d d P o i n t ( 1 , 2 , 4 ) ;

(0,0,0) null null null (1,2,4) null null null null null null null

(26)

Exemple

a d d P o i n t ( 1 , 2 , 3 ) ;

(0,0,0) (1,2,3) null null (1,2,4) null null null null null null null

26

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Exemple

a d d P o i n t ( 2 , 3 , 6 ) ;

(0,0,0) (1,2,3) null null (1,2,4) null null null (2,3,6) null null null

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Exemple

De nouveau le point (1,2,3) (hachage=0)

a d d P o i n t ( 1 , 2 , 3 ) ;

(0,0,0) (1,2,3) null null (1,2,4) null null null (2,3,6) null null null

28

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Critique

Points positifs

Pas de nouvelle cr´eation de point dans la table pour (1,2,3) En deux comparaisons avec un autre point (au lieu de potentiellement 4)

Points n´egatifs

Coˆut m´emoire incompressible avec le tableau 2D...m×n

´

el´ements allou´es pour seulement m points possibles!

→ structures de donn´eesdynamiques(listes) au prochain cours

Recherche dans la table des collisions peu optimis´ee. On pourrait au moins ordonner les points, pour une recherche dichotomique; demande la aussi des listes...

(30)

Types somme, qu’est-ce?

Un cas “primitif”

Supposons que l’on veuille repr´esenter un nombre fini de valeurs, par exemple, les couleurs d’une carte `a jouer (ici en Caml):

> t y p e c o u l e u r = PIQUE | COEUR | CARREAU | TREFLE ; ;

> l e t x = PIQUE ; ; v a l x : c o u l e u r = PIQUE

(exemple du Leroy/Weis)

Ceci est un cas simple de type somme/disjonctif!

30

(31)

Et dans d’autres languages (C, Java)

Java

enum c o u l e u r { PIQUE , COEUR, CARREAU, TREFLE };

c o u l e u r c = c o u l e u r . PIQUE ; S y s t e m . o u t . p r i n t l n ( c ) ;

(donnePIQUE) C

enum c o u l e u r c = PIQUE ;

(32)

Union (coproduit)

X

X` Y

Y

Z in_X

∀f

in_Y

∀g

∃!h

Propri´et´e universelle: ∀f,g,∃!h, tel que h◦inX = f

h◦in_Y = g

Dans les ensembles X`

Y ={(0,x)|x ∈ X} ∪ {(1,y)|y∈Y}(union disjointe)

inX(x) = (0,x), inY(y) = (1,y) h(z) =

f(x) if z = (0,x) g(y) if z = (1,y)

32

(33)

En fait...

En Java (et en Caml)

couleur.PIQUE(resp. PIQUE) est l’injection canonique de

l’ensemble à un élément (PIQUE) vers le typeenum couleur(resp.

couleur)

En C

Ce n’est qu’une fa¸con de nommer symboliquement des constantes scalaires:

enum c o u l e u r { PIQUE=0 , COEUR=1 , CARREAU=2 , TREFLE=3 };

enum c o u l e u r c = PIQUE ; // v a u t 0 ( i n t )

(34)

Passons au jeu de cartes...

En Caml

> t y p e c a r t e = As o f c o u l e u r

| R o i o f c o u l e u r

| Dame o f c o u l e u r

| V a l e t o f c o u l e u r

| P e t i t e c a r t e o f i n t∗c o u l e u r ; ;

> l e t x = As ( PIQUE ) ; ; v a l x : c a r t e = As PIQUE

> l e t y = P e t i t e c a r t e ( 8 , TREFLE ) ; ; v a l y : c a r t e = P e t i t e c a r t e ( 8 , TREFLE )

Asrepr´esente l’injection canonique d’une copie decouleur (“tagg´e” par As) vers le typecarte.

Lepattern-matchingpermet de programmer ´el´egamment...

Moins ´el´egant...(?)

Mais th´eoriquement isomorphe (le syst`eme ne le voit pas...):

> t y p e c a r t e b i s = v a l e u r∗c o u l e u r ; ; t y p e c a r t e b i s = v a l e u r ∗ c o u l e u r

> l e t z = ( As , PIQUE ) ; ;

v a l z : v a l e u r ∗ c o u l e u r = ( As , PIQUE )

(valeur×couleur∼carte∼cartebis...)34

(35)

Dans d’autres languages?

En Java

c l a s s C a r t e {

enum v a l e u r { As , Roi , Dame , V a l e t , P e t i t e C a r t e };

v a l e u r v a l ; i n t v a l p e t i t e ; c o u l e u r c ; }

Moche! (somme→ produit cart´esien; luxueux...) on reconnaˆıt les enregistrements pour le produit valeur×couleur

maisvalpetite n’est utile que quandvalvautPetiteCarte Mˆeme probl`eme en C!

enum c o u l e u r { P i q u e , Coeur , C a r r e a u , T r e f l e };

enum v a l e u r { As , Roi , Dame , V a l e t , P e t i t e C a r t e };

s t r u c t c a r t e {

enum v a l e u r v a l ; i n t v a l p e t i t e ; enum c o u l e u r c ; };

(36)

Encore qu’en C...

Type somme primitif...

enum c o u l e u r { P i q u e , Coeur , C a r r e a u , T r e f l e };

u n i o n v a l b i s {

enum v a l e u r b i s { As , Roi , Dame , V a l e t } v a l u e ; i n t v a l p e t i t e b i s ; };

s t r u c t c a r t e { u n i o n v a l b i s v a l ; enum c o u l e u r c ; };

Problème: les espaces mémoires alloués aux différents champs d’une union sont les mêmes!:

x.val.value et x.val.valpetitebissont les mˆemes mots m´emoire...

Cause d’erreurs, ou de codage abscons...

36

(37)

Pattern-matching (filtrage)?

En Caml

Enum´eration de cas, pratique sur les types disjonctifs...

l e t f x = f u n c t i o n

| As −> . . .

| R o i −> . . . . . .

| P e t i t e c a r t e ( x , c )−> . . .

| −> . . . ; ;

Exactement la fonctionh de la propri´et´e universelle!

En Java

Forme “primitive”:

s t a t i c f ( C a r t e x ) { s w i t c h ( x . v a l ) {

c a s e As : . . . ; b r e a k; c a s e R o i : . . . ; b r e a k;

. . .

d e f a u l t : . . . } . . . }

(38)

Moralit´ e

Mˆeme sur ce cas simple...

Le codage des types sommes n’est pas id´eal en C et en Java...

En g´en´eral

Pour des types sommes plus complexes (non finis, donc pas d’´enum´eration):

on utilise l’injection X`

Y ,→X ×Y,

c.a.d. que l’on remplace les types sommes par des types enregistrements

plus coˆuteux...

Possibilit´e en Java d’utiliser des classes abstraites...(cf. cours 4) Maintenant...application aux types de donn´eesdynamiques...

38

(39)

Des types de donn´ ees dynamiques, pour quoi faire?

Matrices dont la taille est inconnue au moment de l’écriture du code (mais bien sûr connue au moment de l’exécution) On veut même des types dont la taille évolue au cours du temps: les tableaux ne sont plus pertinents...Exemple de ce cours: tableau 2D -tab[i][j] est lejièmePointde code de hachage égal ài

c l a s s T a b l e n a i v e { s t a t i c P o i n t [ ] [ ] t a b ; s t a t i c i n t[ ] f r e e i n d e x ;

p u b l i c s t a t i c v o i d main ( S t r i n g [ ] a r g s ) { t a b = new P o i n t [ n ] [ m ] ;

f r e e i n d e x =new P o i n t [ n ] ; // t o u t a z e r o }

}

(40)

Listes

Rappel (type produit):

Un élément deN³ est en même temps, par associativité du produit:

N×N×N: un triplet d’entiers

N×(N×N): un couple dont le premier élément est un entier, et le deuxième est un couple (d’entiers)

On peut jouer `a ce jeu r´ecursivement:

Une listel (de intpar exemple) est une structure de donn´ees telle que:

son premier ´el´ement (car de LISP) est unint

son deuxième élément (cdr de LISP) est une liste d’entiers l car: . . .|cdr . . .|. . .

40

(41)

Listes

On a envie d’´ecrire (´equation aux domaines):

List_N=N×List_N

d’o`u programmation par r´ecurrence structurelle (plus tard)

(42)

Listes

On a envie d’´ecrire (´equation aux domaines):

List_N={()} ∪N×List_N car il ne faut pas oublier la liste vide!

d’o`u programmation par r´ecurrence structurelle (plus tard)

42

(43)

Impl´ ementation

Java

c l a s s L i s t { i n t hd ; L i s t t l ; }

C

t y p e d e f s t r u c t s t L i s t { i n t hd ;

s t r u c t s t L i s t ∗t l ; } ∗L i s t ;

(44)

O` u est pass´ ee la liste vide?

Une liste non vide est allouée quelque part en mémoire (pour conserver la valeur dehd et de tl), donc est unpointeur valide, différent denull

On identifie la liste vide avecnull

44

(45)

Un peu de p´ edantique

Les listes sont construites `a partir d’un type disjonctif, ou type somme: une liste est:

soit vide

soit non vide (et donc un élément deN×List_N, lui même type produit)

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Types disjonctifs en Caml

Listes

t y p e l i s t e = N i l | Cons o f i n t∗l i s t e

Nilest l’injection canonique de unitvers liste

Cons est l’autre injection canonique deint*listeversliste On peut ´ecrire directement:

> Cons ( 1 , N i l ) ; ;

−: l i s t e = Cons ( 1 , N i l )

46

(47)

Remarque en passant (en C)

(Rappel) il y a une forme primitive de type disjonctif en C, les types union.

On n’en a pas besoin ici carnull est une valeur possible de tout pointeur, et on n’a pas besoin de coder explicitement le type disjonctif.

On aurait pu ´ecrire sinon:

t y p e d e f u n i o n u n L i s t { i n t v i d e ;

s t r u c t c o n s { i n t hd ;

u n i o n u n L i s t ∗t l ; }

} ∗L i s t ;

(48)

Constructeur par d´ efaut (Java)

L i s t l ;

l = new L i s t ( ) ; l . hd = 4 ;

l . t l = new L i s t ( ) ; l . t l . hd = 5 ;

l . t l . t l = n u l l;

48

(49)

Construction de la liste

Code L i s t l ;

l

(50)

Construction de la liste

Code

l = new L i s t ( ) ;

l ?|?

50

(51)

Construction de la liste

Code l . hd = 4 ;

l 4|?

(52)

Construction de la liste

Code

l . t l = new L i s t ( ) ;

l 4|. ?|?

52

(53)

Construction de la liste

Code

l . t l . hd = 5 ;

l 4|. 5|?

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Construction de la liste

Code

l . t l . t l = n u l l;

l 4|. 5|null

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(55)

Constructeurs (II)

Java

Il s’agit de d´efinir l’injection canonique de N×List versList:

c l a s s L i s t { . . .

L i s t (i n t c a r , L i s t c d r ) { hd = c a r ;

t l = c d r ; }

Du coup, on aurait pu écrire (exemple précédent)List l = new List(4, new List(5, null));

C

L i s t c o n s (i n t c a r , L i s t c d r ) {

L i s t r e s = ( L i s t ) m a l l o c (s i z e o f(s t r u c t s t L i s t ) ) ; r e s−>hd = c a r ; r e s−>t l = c d r ; r e t u r n r e s ; }

Remarquez leres->hd, abbr´eviation de(*res).hd

(56)

Les listes lin´ eaires

Restriction:

Listes construites uniquement sanscycle

Dans ce cas, les listes ont une notion de longueur: il suffit de définirlength dans l’un des deux cas liste vide, liste non vide (donc égale à un cons(hd,l)) d’après l’équation de domaines List_N={()} ∪N×List_N:

length(()) = 0,

length(cons(hd,l)) =length(l) + 1

Cela nous interdit bien sûr des listes circulaires comme l =cons(0,l), qui “représente” en quelque sorte la liste infinie constituée uniquement de zéros.

l 0|.

56

(57)

En fait, tout cela est d´ ej` a d´ efini...

Les listes d’objets de type’a: (type ’a list):

Caml

> [ ] ; ;

−: ’ a l i s t = [ ]

> [ 1 ; 2 ; 3 ] ; ;

> 1 : : 2 : : 3 : : [ ] ; ;

−: i n t l i s t = [ 1 ; 2 ; 3 ]

> [ 1 ; 2 ] @ [ 3 ; 4 ; 5 ] ; ;

−: i n t l i s t = [ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ]

> L i s t . l e n g t h [ ” h e l l o ” ; ”w o r l d ” ; ” ! ” ] ; ;

−: i n t = 3

> L i s t . hd [ 1 ; 2 ; 3 ] ; ;

−: i n t = 1

> L i s t . t l [ 1 ; 2 ; 3 ] ; ;

−: i n t l i s t = [ 2 ; 3 ]

Java

LesArrayList...(signature plus complexe)

(58)

Revenons aux tables de hachage...

Am´elioration du code

A chaquei entre 0 etn, on va repr´esenter une liste de collisions possibles (au lieu d’un tableau bidimensionnel, fig´e):

c l a s s P o i n t l i s t { P o i n t p ;

P o i n t l i s t t l ;

P o i n t l i s t ( P o i n t q , P o i n t l i s t r ) { p = q ; t l = r ; }

}

c l a s s T a b l e {

s t a t i c P o i n t l i s t [ ] t a b ;

p u b l i c s t a t i c v o i d main ( S t r i n g [ ] a r g s ) { t a b = new P o i n t l i s t [ n ] ;

. . . } }

58

(59)

Cr´ eation d’un ´ eventuel nouveau Point

s t a t i c P o i n t l i s t a d d P o i n t L i s t ( P o i n t l i s t l , P o i n t q ) { i f ( l == n u l l)

r e t u r n new P o i n t l i s t ( q , n u l l) ; i f ( e q u a l ( l . p , q ) )

r e t u r n l ; e l s e

r e t u r n new P o i n t l i s t ( l . p , a d d P o i n t L i s t ( l . t l , q ) ) ; }

s t a t i c v o i d a d d P o i n t (i n t x , i n t y , i n t z ) { P o i n t p = new P o i n t ( x , y , z ) ;

i n t k = Hachage . h a c h e ( p ) ;

t a b [ k ] = a d d P o i n t L i s t ( t a b [ k ] , p ) ; }

(60)

Exemple

a d d P o i n t ( 0 , 0 , 0 ) ;

tab[0] (0,0,0)|null

tab[1]

tab[2]

60

(61)

Exemple

a d d P o i n t ( 1 , 2 , 4 ) ;

tab[0] (0,0,0)|null

tab[1] (1,2,4)|null

tab[2]

(62)

Exemple

Point (1,2,3) (hachage=0) a d d P o i n t ( 1 , 2 , 3 ) ;

(0,0,0)|null GC!

tab[0] (0,0,0)|. (1,2,3)|null

tab[1] (1,2,4)|null

tab[2]

62

(63)

Exemple

Point (2,3,6) (hachage=2) a d d P o i n t ( 2 , 3 , 6 ) ;

tab[0] (0,0,0)|. (1,2,3)|null

tab[1] (1,2,4)|null

tab[2] (2,3,6)|null

(64)

En fait cela existe en Java!

List, AbstractList, Vector etc.

En fait, compliqu´e... il faut parler desinterfaces, des classes, packagesetc. (cours 4)

HashTable

De mˆeme... (en en Caml: Hashtbl)!

Utile de savoir comment cela marche...voire de savoir refaire...

64

(65)

C’est bien beau mais...j’ai trich´ e!

Les listes en pratique, font du partage:

Pour des questions d’efficacité (cf. hash-consing) Pour représenter des structures de données “infinies”

(66)

Listes infinies (rationnelles)

Exemple:

on veut repr´esenter toutes les listes infinies, ultimement p´eriodiques, par exemple une liste

l = (0,(1,(2,(3,(2,(3, ....

(que des pattern2 puis 3 répétés):

L i s t l 3 = new L i s t ( ) ; l 3 . hd = 2 ;

l 3 . t l = new L i s t ( 3 , l 3 ) ; L i s t l 2 = new L i s t ( 1 , l 3 ) ; L i s t l 1 = new L i s t ( 0 , l 2 ) ;

Remarque: c’est la construction correcte de l3que l’on ´ecrit par “abus de notation”l3 =cons(2,cons(3,l3))

Possibilit´e de manipuler algorithmiquement les listes infinies.

Evaluation paresseuse...(voir cours 9) 66

(67)

Partage or not partage?

Java

Si partage sans cycle,

On ´economise juste en m´emoire, et cela peut permettre de faire du hash-consing sur les listes...

Ex. fonction append: on veut concat´ener une listel2 au bout de la listel1:

s t a t i c L i s t append ( L i s t x , L i s t y ) { i f ( x == n u l l) r e t u r n y ;

L i s t p = x ;

w h i l e ( p . t l != n u l l) p = p . t l ; p . t l = y ;

r e t u r n x ; }

(68)

Versions d´ er´ ecursiv´ ees (Java)

L i s t p = x ;

w h i l e ( p . t l != n u l l) p = p . t l ;

p . t l = y ; r e t u r n x ; }

Plus tard

On fera des versions r´ecursives...

68

(69)

Ex´ ecution

append ( l 1 , l 3 ) ;

Avec:

l1 4|. 5|null

l3 2|. 3|null

(70)

Ex´ ecution

x

l1 4|. 5|cnl1

p

l3 2|. 3|null

y

70

(71)

Ex´ ecution

x

l1 4|. 5|cnl1

p

l3 2|. 3|null

y

(72)

Ex´ ecution

x

l1 4|. 5|cnl1

p

l3 2|. 3|null

y

72

(73)

Versions d´ er´ ecursiv´ ees (II)

e l s e {

L i s t p = x ;

L i s t q = new L i s t ( x . hd , n u l l) ; L i s t r = q ;

w h i l e ( p . t l != n u l l) {

q . t l = new L i s t ( p . t l . hd ,n u l l) ; q = q . t l ;

p = p . t l ; } q . t l = y ; r e t u r n r ; }

Version sans partage (pour l’argument gauche), et it´erative!

(74)

Partage or not partage?

Partage possible de l’argument gauche, de l’argument droit, des deux, ou d’aucun des deux...

Intérêt/inconvénient: si on modifieen place les listesl1,l2 oul3,append(l1,l3); et append(l2,l3);ne sont pas modifiées.

Tout dépend de ce que l’on veut faire, y réfléchir avant de taper un code!

74

(75)

Conclusion sur append

La premi`ere:

ne modifie pas ses arguments

permet `a ses arguments de partager des cellules alloue

La seconde fonction append:

modifie ses arguments

demande que ses arguments ne partagent pas de cellules n’alloue pas

(76)

Arbres binaires

Vous imaginez bien que vous pouvez aller plus loin... Remplacer la liste par un couple de deux arbres: le sous-arbre gauche (oufils gauche) et le sous-arbre droit (ou fils droit):

Java

c l a s s A r b r e B i n {

O b j e c t noeud ; A r b r e B i n f i l s g ; A r b r e B i n f i l s d ; A r b r e B i n ( O b j e c t n , A r b r e B i n f g , A r b r e B i n f d ) {

noeud = n ; f i l s g = f g ; f i l s d = f d ; } }

(remarque: ici arbre d’objets quelconques Java) Caml

t y p e ’ a A r b r e B i n = N i l | A r b r e o f ’ a∗A r b r e B i n∗A r b r e B i n

(remarque: ici arbre de type quelconque) 76

(77)

La prochaine fois

Classes, objets, exceptions Interfaces, packages etc.

Bon TD!

(78)

La prochaine fois

Classes, objets, exceptions Interfaces, packages etc.

Bon TD!

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