INF 321 R´ecursivit´e

(1)

INF 321 R´ ecursivit´ e

Eric Goubault

Cours 5

10 juin 2013

(2)

Dans le dernier ´ episode...

On a vu:

Classes et m´ethodes dynamiques

Le traitement des erreurs et les exceptions Classes abstraites, interfaces, packages On va voir:

Les fonctions r´ecursives (programmation)

Les fonctions récursives primitives et partielles (théorie de la calculabilité)

Un peu de complexit´e

(3)

Ce code a t-il un sens?

i n t a c k (i n t n , i n t p ) { i f ( n==0) r e t u r n p +1;

i f ( p==0) r e t u r n a c k ( n−1 , 1 ) ; r e t u r n a c k ( n−1, a c k ( n , p−1 ) ) ; }

ackun sens car la suite d’appel termine toujours:

ack(1,1)

ack(1,0)→x

ack(0,1)→2 x →2 ack(0,x) →3

→3

Discut´e formellement au cours 7...

(4)

De facon g´ en´ erale

Preuve de terminaison

On consid`ere l’ordre lexicographique sur N×N: (x,y)<(x⁰,y⁰) ssi

x <x⁰

x =x⁰ et y<y⁰ ack(0,p) =p+ 1: termine

ack(n+ 1,0) =ack(n,1): (n,1)<(n+ 1,0) d´ecroˆıt ack(n+ 1,p+ 1) =ack(n,ack(n+ 1,p)):

(n+ 1,p)<(n+ 1,p+ 1) et

(n,ack(n+ 1,p))<(n+ 1,p+ 1) d´ecroˆıt

(5)

Appels r´ ecursifs de fonctions

R´ecursif?

une fonction qui s’appelle elle-mˆeme...

plus g´en´eralement, ungraphe d’appelde fonction, cyclique: f appellegqui appelleh...qui appelle f!

Pour quoi faire?

s t a t i c i n t i t e r (i n t x ) { w h i l e ( x<1000) x = x +2;

r e t u r n x ; }

s t a t i c i n t a c c i t e r (i n t x ,i n t a c c ) { i f ( x>=1000) r e t u r n a c c ;

r e t u r n a c c i t e r ( x +2 , a c c + 2 ) ; } s t a t i c i n t i t e r (i n t x ) {

r e t u r n a c c i t e r ( x , 0 ) ; }

Les boucles simples peuvent s’exprimer comme des appels r´ecursifs, parfois de facon plus naturelle (!?)....

Mais surtout, la récursivité permet d’écrire des fonctions qu’on ne pourrait pas coder autrement! (cf. calculabilité, fin du cours)

(6)

Fonction d’Ackermann!

On d´efinit:

a c k e r m a n n ( 0 , p ) = S u c c ( p )

a c k e r m a n n ( S u c c ( n ) , 0 ) = a c k e r m a n n ( n , 1 )

a c k e r m a n n ( S u c c ( n ) , S u c c ( p ) ) = a c k e r m a n n ( n , a c k e r m a n n ( S u c c ( n ) , p ) )

n’est pas impl´ementable par boucles, par contre:

Java

s t a t i c i n t a c k e r m a n n (i n t n , i n t m) { i f ( n==0) r e t u r n m + 1 ;

e l s e i f (m==0) r e t u r n a c k e r m a n n ( n−1 , 1 ) ;

e l s e r e t u r n a c k e r m a n n ( n−1 , a c k e r m a n n ( n , m−1 ) ) ; }

(7)

De mˆ eme dans d’autres langages...

C

i n t a c k e r m a n n (i n t n , i n t m) { i f ( n == 0 ) r e t u r n m + 1 ;

e l s e i f (m == 0 ) r e t u r n a c k e r m a n n ( n−1 , 1 ) ;

e l s e r e t u r n a c k e r m a n n ( n−1 , a c k e r m a n n ( n , m− 1 ) ) ; }

Caml

l e t r e c a c k e r m a n n = f u n c t i o n

| ( 0 , n )−> n + 1

| (m, 0 ) −> a c k e r m a n n (m−1 , 1 )

| (m, n ) −> a c k e r m a n n (m−1 , a c k e r m a n n (m, n− 1 ) ) ; ;

(8)

Attention!

Probl`eme de d´efinition circulaire:

s t a t i c i n t f (f i n a l i n t x ) { r e t u r n f ( x ) ;

}

Compilation, ex´ecution...

> j a v a c t o t o . j a v a

t o t o . j a v a : 7 : c a n n o t r e t u r n a v a l u e f r o m method whose r e s u l t t y p e i s v o i d r e t u r n f ( 1 ) ;

ˆ 1 e r r o r

(boucle infinie=pas de valeur de retour - le compilateur ne

(9)

Appels r´ ecursifs

Reprenons une d´efinition de fonction r´ecursive, simple

fact(0)=1

fact(n+1)=(n+1)*fact(n) (factorielle)

(10)

Version r´ ecursive

Java

s t a t i c i n t f a c t (f i n a l i n t x ) { i f ( x == 0 ) r e t u r n 1 ;

r e t u r n x∗f a c t ( x−1 ) ; }

On a la terminaison que si xest positif...

C

i n t f a c t (c o n s t i n t x ) { i f ( x == 0 ) r e t u r n 1 ; r e t u r n x∗f a c t ( x−1); }

Caml

(11)

S´ emantique?

Par d´eroulement

fact(3)

Pile d’appel

Maintient unepile permettant aux appelants successifs de se souvenir:

du sited’appel (pour pouvoir revenir `a l’ex´ecution dans l’appelant apres le return):

1 s t a t i c i n t f a c t (f i n a l i n t x ) { 2 i f ( x == 0 ) r e t u r n 1 ; 3 r e t u r n x∗f a c t ( x−1); }

Apr`es l’appel defact(x- 1);revenir ligne 3

du contexted’appel (pour pouvoir retrouver les valeurs des variables locales `a l’appelant, apr`esreturn...): ici la valeur de xde l’appelant - plus plus tard...

(12)

S´ emantique

Par d´eroulement fact(3)

fact(2)

Pile d’appel:

PC Ctx l.3 x=3

(13)

S´ emantique

fact(2)

fact(1)

Pile d’appel:

PC Ctx l.3 x=3 l.3 x=2

(14)

S´ emantique

fact(2)

fact(1)

fact(0)

Pile d’appel:

PC Ctx l.3 x=3 l.3 x=2 l.3 x=1

(15)

S´ emantique

fact(2)

fact(1)

1

Pile d’appel:

PC Ctx l.3 x=3 l.3 x=2

(16)

S´ emantique

fact(2)

1

Pile d’appel:

PC Ctx l.3 x=3

(17)

S´ emantique

2

Pile d’appel:

PC Ctx

Finit avec 3∗2 = 6, ouf!

(18)

Couteux?

> j a v a F a c t 1 0 0 0 0 0 0

E x c e p t i o n i n t h r e a d ”main ” j a v a . l a n g . S t a c k O v e r f l o w E r r o r a t F a c t . f a c t ( f a c t . j a v a : 5 )

a t F a c t . f a c t ( f a c t . j a v a : 5 ) . . .

(outre le fait que la valeur obtenue si c’etait possible d´epasse largement ce qui est repr´esentable en machine!)

Oui et non: récursivité très utile (indispensable parfois) mais faire attention quand même...

(19)

R´ ecursion terminale et d´ er´ ecursivisation

Retraduire en itératif...(quand c’est possible) On peut bien sûr transformer ce code en (puisque c’est une définition récursive primitive cf. plus loin...):

Java

s t a t i c i n t f a c t (f i n a l i n t x ) { i n t i ;

i n t r e s = 1 ;

f o r ( i =x ; i>=2; i =i−1) r e s = i∗r e s ;

r e t u r n r e s ; }

(20)

En C et Caml

C

i n t f a c t (c o n s t i n t x ) { i n t i ;

i n t r e s = 1 ; f o r ( i =x ; i>=2; i−−)

r e s = i∗r e s ; r e t u r n r e s ;

Caml

l e t f a c t n = l e t n b r = r e f 1 i n

f o r i = 1 t o n do

n b r := ( ! n b r ∗ i ) done;

! n b r ; ;

(21)

Comment faire cette transformation?

R´ecursion terminale

s t a t i c i n t a f a c t (i n t n , i n t a c c ) { i f ( n == 0 ) r e t u r n a c c ;

r e t u r n a f a c t ( n−1 , n∗a c c ) ; } s t a t i c i n t t e r m i n a l f a c t (i n t n ) {

r e t u r n a f a c t ( n , 1 ) ; }

Exemple de récursion terminale: suite d’appels avec un cas de terminaison, pour lesquels il n’y a pas besoin de mémoriser ce qu’il reste à faire après les retours de fonctions (grâce à l’accumulateur acc)

Permet au compilateur de transformer automatiquement en code itératif, et n’a pas à sauvegarder tous les états

interm´ediaires sur la pile.

Permet d’´economiser de la m´emoire, pas d”’explosion”

m´emoire possible avec ces appels r´ecursifs.

(22)

Comparaison des suite d’appels r´ ecursifs terminal/pas terminal

Appel r´ecursif non-terminal (rappel):

fact(3)

fact(2)

fact(1)

fact(0)

Pile d’appel:

PC Ctx l.3 x=3 l.3 x=2 l.3 x=1

(23)

Comparaison des suite d’appels r´ ecursifs terminal/pas terminal

Appel terminal r´ecursif:

fact(3)

afact(3,1)

afact(2,3)

afact(1,6)

fact(0,6)=6

Renvoie 6 imm´ediatement, aucun besoin de pile! (juste le coˆut 23

(24)

Principe de r´ ecurrence structurelle (listes lin´ eaires)

SoitP une propriété qui nous intéresse sur un domaine de valeurs...

Ex.: les entiers naturels

Si P est vraie en 0 (on ´ecritP(0))

Et si P(n)→P(succ(n)), alors P est vraie sur toutN Ex.: les listes

Si P est vraie en ()

Et si P(l) vraie pour toutes les listes de longueurn implique P(cons(car,l)) est vraie (pour toute valeur de car, et toute liste l de longueurn); alorsP est vraie sur toutList_N Cons´equence directe de la r´ecurrence sur les entiers car on a la fonctiontotale length:List → , et

(25)

Comment impl´ emente t-on length ?

Par récurrence structurelle (sur les fonctions)! Programmation directe de la définition mathématique:

Java

c l a s s L i s t { . . .

s t a t i c i n t l e n ( L i s t l ) { i f ( l == n u l l)

r e t u r n 0 ; e l s e

r e t u r n l e n ( l . t l ) + 1 ; }

}

(26)

Cas de r´ ecurrence terminale!

D´er´ecursivisation:

s t a t i c i n t l e n ( L i s t l ) { i n t i = 0 ;

w h i l e ( l != n u l l) { i = i +1;

l = l . t l ; }

r e t u r n i ; }

(27)

Un peu de p´ edantique

Preuve qu’on calcule bien ce qu’on veut calculer...

SoitP(l) = ”length(l) =len(l)”:

P(()) est vraie carlength(()) = 0 =len(())

Supposons P(l) vraie pour toute liste de longueur n, on calcule length(cons(car,l)) =length(l) + 1 =n+ 1 et len(cons(car,l)) =len(l) + 1 =n+ 1 par hypoth`ese de r´ecurrence. Donc on a P(cons(car,l)).

On a doncP(l) vraie pour toutes les listeslin´eaires l.

Remarque: la fonctionlenne termine pas si on part de la liste circulairel =cons(0,l)...

(28)

Partage or not partage?

Java

Si partage sans cycle, on peut toujours d´efinir la fonction length et raisonner par r´ecurrence structurelle.

On ´economise juste en m´emoire, et cela peut permettre de faire du hash-consing sur les listes...

Ex. fonction append: on veut concat´ener une listel2 au bout de la listel1:

s t a t i c L i s t append ( L i s t l 1 , L i s t l 2 ) { i f ( l 1 == n u l l) r e t u r n l 2 ;

i f ( l 2 == n u l l) r e t u r n l 1 ; l 1 . t l = append ( l 1 . t l , l 2 ) ; r e t u r n l 1 ;

}

(29)

Exemple d’ex´ ecution

Que donne?

append ( l 1 , l 3 ) ; append ( l 2 , l 3 ) ;

Avec:

l1 4|. 5|null

l2 1|null

l3 2|. 3|null

(30)

Exemple d’ex´ ecution

Premi`ere ´etape append ( l 1 , l 3 ) ;

. . .

append ( l 1 . t l . t l , l 3 ) ; . . .

Avec:

l1 4|. 5|.

l2 1|null

(31)

Exemple d’ex´ ecution

Deuxi`eme ´etape append ( l 2 , l 3 ) ;

. . .

append ( l 2 . t l , l 3 ) ; . . .

Avec:

l1 4|. 5|.

l2 1|.

l3 2|. 3|null

(32)

Alternativement (pas de partage)

Java

s t a t i c L i s t c o p y ( L i s t l ) { i f ( l == n u l l) r e t u r n n u l l;

r e t u r n new L i s t ( l . hd , c o p y ( l . t l ) ) ; }

s t a t i c L i s t append ( L i s t l 1 , L i s t l 2 ) {

i f ( l 1 == n u l l) r e t u r n c o p y ( l 2 ) ; // r e t u r n l 2 ; r e t u r n new L i s t ( l 1 . hd , append ( l 1 . t l , l 2 ) ) ;

}

(33)

Exemple d’ex´ ecution

Que donne?

append ( l 1 , l 3 ) ; append ( l 2 , l 3 ) ;

Avec:

l1 4|. 5|null

l2 1|null

l3 2|. 3|null

(34)

Exemple d’ex´ ecution

Premi`ere ´etape

append ( l 1 , l 3 ) ;

. . .

new L i s t ( l 1 . hd , new L i s t ( l 1 . t l . hd ,

append ( l 1 . t l . t l , l 3 ) ) ) ; . . .

(35)

Avec:

l1 4|. 5|null

l2 1|null

l3 2|. 3|null

append(l1,l3) 4|. 5|.

2|. 3|null

(36)

Exemple d’ex´ ecution

Deuxi`eme ´etape

append ( l 2 , l 3 ) ;

. . .

new L i s t ( l 2 . hd , append ( l 2 . t l , l 3 ) ) ;

. . .

(37)

Avec:

l3 2|. 3|null

append(l1,l3) 4|. 5|.

2|. 3|null

append(l2,l3) 1|. 2|.

3|null

(38)

Partage or not partage?

Partage possible de l’argument gauche, de l’argument droit, des deux, ou d’aucun des deux...

Intérêt/inconvénient: si on modifieen place les listesl1,l2 oul3,append(l1,l3); et append(l2,l3);ne sont pas modifiées.

Tout dépend de ce que l’on veut faire, y réfléchir avant de taper un code!

(39)

Int´ erˆ et de la r´ ecursion? calculabilit´ e...

Que calcule t-on avec tout sauf la r´ecursion (dans les entiers)?

Fonctions r´ecursives primitives (RP)

Plus petit ensemblede fonctions deNⁿ versN^m contenant:

3 fonctions de base: 0, succ, projections

la composition de fonctions récursives primitives: si h, g1, . . . ,gk sont des fonctions RP, h(g1, . . . ,gk) est dans RP les fonctions définies parrécursion primitive: g et h RP, g :N^p→N,h:N^p+2→N, alors f :N^p+1→N définie par:

∀y ∈N^p,f(0,y) =g(y)

∀i∈N,y ∈N^p, f(succ(i),y) =h(i,f(i,y),y)

(40)

R´ ecursion primitive

Programmation

Les fonctions récursives primitives se programment dans tout langage de programmation, à l’aide d’une simple instruction itérative for:

f ( x , y ) { z = g ( y ) ;

p o u r ( i =0; i<=x−1; i = i +1) { z = h ( i , z , y ) ;

}

r e t o u r n e ( z ) ; }

(41)

Quelques fonctions r´ ecursives primitives

Pr´edecesseur

p r e d ( 0 ) = 0 p r e d ( s u c c ( x ) ) = x

R´ecursion primitive avec p= 0, g = 0, h(x,y) =x: f(0) = g

= 0

f(succ(i)) = h(i,f(i))

= i

(42)

Quelques fonctions r´ ecursives primitives

Somme de deux entiers

somme ( 0 , y ) = y

somme ( s u c c ( x ) , y ) = s u c c ( somme ( x , y ) )

R´ecursion primitive avec p= 1, g(y) =y, h(x,z,y) =succ(z):

f(0,y) = g(y)

= y

f(succ(i),y) = h(i,f(i,y),y)

= succ(f(i,y))

(43)

Quelques fonctions r´ ecursives primitives

Produit de deux entiers

p r o d u i t ( 0 , y ) = 0

p r o d u i t ( s u c c ( x ) , y ) = somme ( y , p r o d u i t ( x , y ) )

R´ecursion primitive avec p= 1, g = 0, h(x,z,y) =somme(y,z):

f(0,y) = g

= 0

f(succ(i),y) = h(i,f(i,y),y)

= somme(f(i,y),y)

De mˆeme pour somme de deux fonctions RP, produit de deux fonctions RP

(44)

Principe de minimisation born´ ee

Sif :N^p+1→N est RP, et il existeM tel que quelque soit y∈N^p, il existe x ∈N,x ≤M tel quef(x,y) = 0; alors:

g(y) = min{x ∈N,f(x,y) = 0}

est une fonction RP deN^p vers N

Alternativement: les fonctions RP sont les fonctions contenant 0, succ et les projections, stables par composition, et par

minimisation born´ee.

(45)

Limitation des fonctions r´ ecursives primitives

Terminaison

Dans RP, on ne peut d´efinir que des fonctions totales (qui terminent toujours).

Cette fonction totale est-elle r´ecursive primitive?

a c k e r m a n n ( 0 , p ) = s u c c ( p )

a c k e r m a n n ( s u c c ( n ) , 0 ) = a c k e r m a n n ( n , 1 )

a c k e r m a n n ( s u c c ( n ) , s u c c ( p ) ) = a c k e r m a n n ( n , a c k e r m a n n ( s u c c ( n ) , p ) )

(46)

La fonction d’Ackerman est-elle r´ ecursive primitive?

Essayez de la d´efinir avec des boucles...

i n t a c k (i n t n , i n t p ) { i f ( p==0)

f o r ( i =0; i<=n−1; i = i +1) { ? ? . . .

R´ecurrence emberlificot´ee sur 2 indices!

Pas dans RP, mais calculable en un certain sens!

Il faut pouvoirécrire des fonctions et les appeler de manière récursive

i n t a c k (i n t n , i n t p ) { i f ( n==0) r e t u r n p +1;

i f ( p==0) r e t u r n a c k ( n−1 , 1 ) ; r e t u r n a c k ( n−1, a c k ( n , p−1 ) ) ;

(47)

Pourquoi Ackerman n’est-elle pas r´ ecursive primitive?

Quelques valeurs deA(m,n)

m / n 0 1 2 3

0 1 2 3 4

1 2 3 4 5

2 3 5 7 9

3 5 13 29 61

4 13 65533 265533 A(3,265533)

5 65533 A(4,65533) A(4,A(5,1)) ...

6 A(5,1) A(5,A(5,1)) A(5,A(6, 1)) ...

(48)

A n’est pas dans RP

Ack croit plus vite que toute fonction RP

∀f :N^k →N∈RP,∃a tel que

f(a₁, . . . ,a_k)<A(a,max(a₁, . . . ,a_k)).

Sch´ema de preuve On prouve que:

la fonctionx →0 est majorée par A(0,x) =x+ 1 la fonctionx →succ(x) est majorée par A(1,x) =x+ 2 les projections π_kⁿ(x₁, . . . ,x_n) =x_k sont majorées par A(0,max(x₁, . . . ,x_n)) =max(x₁, . . . ,x_n) + 1

Puis que sig₁, . . . ,g_m sont telles que g_i(x)<A(r_g_i,max_x), et h tel queh(x)<A(rh,maxx) alors f =h(g1, . . . ,gm) est telle que

(49)

Fin de l’argument

Fin de la preuve

Enfin, soitf ∈RP d´efinie par r´ecursion primitive (avecg et h).

Supposonsg(x)<A(r_g,max_x), h(x)<A(r_h,max_x), alors une r´ecurrence simple montre que

f(i,x)<A(r_f,max{i,x}) avecr_f = 1 +max(r_g,r_h).

RP est leplus petit ensemble contenant 0, succ, les projections, stable par composition et récursion primitive, donc toute fonction dans RP peut être majorée par un A(a, .).

Argument diagonal de Cantor On consid`ereg(a) =A(a,a)

Supposons g dans RP, alors ∃r_g,∀a,g(a)<A(r_g,a):

impossible, consid´ererg(r_g) =A(r_g,r_g)!

(50)

Que calcule t-on au final?

(avec la r´ecursion!) Fonctions partielles

Une fonction partiellef de Nⁿ versN^m est une fonction d´efinie sur un sous-ensemble deNⁿ, allant vers N^m

On notef(x) =⊥ pour lesx∈Nⁿ tels quef n’est pas d´efinie enx (recodage en une fonction dansN^m∪ {⊥})

(51)

Que calcule t-on au final?

(avec la r´ecursion!)

Fonctions r´ecursives partielles (R)

Plus petit ensemble R de fonctionspartiellesdeNⁿ versN^m contenant:

3 fonctions de base: 0, succ, projections

la composition de fonctions récursives partielles: sih, g₁, . . . ,g_k sont des fonctions R, h(g₁, . . . ,g_k) est dans R R est clos par minimisation (pas forcément bornée!): si f :N^p+1 →Nest R, alors

g(y) = min{x ∈N|f(x,y) = 0}

est une fonction R de N^p versN

En particulier si pour uny, il n’existe aucun x tel quef(x,y) = 0, alorsg(y) est non-d´efinie, i.e. g(y) =⊥.

(52)

Quelques propri´ et´ es et exemples

Rapport avec RP

RP ⊆R bien ´evidemment...

R est exactement l’ensemble des fonctions partielles obtenues par au plus une minimisation d’une fonction dans (RP) Exemple

La fonction d’Ackermann est dans (R) ...

(53)

Est-ce tout?

Th`ese de Church

Les fonctions R sont aussi appel´ees “fonctions calculables”

“Les seules fonctions calculables algorithmiquement, par une machine, sont les fonctions de R”

Thèse vérifiée dans tous les modèles de calcul connus:

λ-calcul (cf. PCF cours 9), tout langage de programmation actuel, machine de Turing, machine de Post etc.

On dit qu’une machine (ou langage) estTuring complets’il permet de calculer toutes les fonctions calculables - Java, C, Caml sont Turing complets

C’est bien la calculabilité/décidabilité mais quand c’est calculable, cela l’est à quel coût? (→ complexité)

(54)

Est-ce tout?

Th`ese de Church

Les fonctions R sont aussi appel´ees “fonctions calculables”

“Les seules fonctions calculables algorithmiquement, par une machine, sont les fonctions de R”

Thèse vérifiée dans tous les modèles de calcul connus:

λ-calcul (cf. PCF cours 9), tout langage de programmation actuel, machine de Turing, machine de Post etc.

On dit qu’une machine (ou langage) estTuring complets’il permet de calculer toutes les fonctions calculables - Java, C, Caml sont Turing complets

C’est bien la calculabilité/décidabilité mais quand c’est calculable, ut? (→

(55)

Exemple: inversion na¨ıve de liste

Naivement...:

s t a t i c L i s t add (f i n a l L i s t x , f i n a l i n t y ) { i f ( x == n u l l) r e t u r n new L i s t ( y , n u l l) ; r e t u r n new L i s t ( x . hd , add ( x . t l , y ) ) ; }

s t a t i c L i s t r e v e r s e (f i n a l L i s t x ) { i f ( x == n u l l) r e t u r n n u l l;

r e t u r n add ( r e v e r s e ( x . t l ) , x . hd ) ; }

(56)

Complexit´ e algorithmique

Complexit´e?

On va compter le nombre d’opérations élémentaires effectuées par add(dans un premier temps), en fonction de lataillede ses arguments

on suppose un coût unitaire pour chaque opération arithmétique, pour chaque test, pour chaque allocation mémoire etc. (pas tout à fait vrai sur une machine moderne, mais pas complètement faux quand on raisonne àproportions près)

la taille d’une liste l (de scalaires) est compt´ee comme ´etant

´

egale `alength(l).

De l”’ordre de”n²!

(57)

Exemple : inversion non naive de liste

Code final:

s t a t i c L i s t r e v a p p e n d (f i n a l L i s t x , f i n a l L i s t y ) { i f ( x == n u l l) r e t u r n y ;

r e t u r n r e v a p p e n d ( x . t l , new L i s t ( x . hd , y ) ) ; }

s t a t i c L i s t r e v e r s e (f i n a l L i s t x ) { r e t u r n r e v a p p e n d ( x ,n u l l) ; }

De l’ordre den op´erations!

(58)

Remarque: version it´ erative:

Code final:

On parcourt la liste dans un sens, pour reconstruire une autre dans l’autre!

s t a t i c L i s t r e v e r s e ( L i s t x ) { L i s t r e s = n u l l;

w h i l e ( x != n u l l) {

r e s = new L i s t ( x . hd , r e s ) ; x = x . t l ;

}

r e t u r n r e s ; }

(59)

Que veut-on dire par “est de l’ordre de” ( ∼ )?

Notations de Landau et de Hardy

Comme en analyse (ici, pourf,g deux fonctions de NversN):

f =O(g) ssi ∃α,N,∀n∈N,n ≥N =⇒ f(n)≤αg(n) f =o(g) ssi ∀,∃N,∀n∈N,n≥N =⇒ f(n)≤g(n) f ∼g ssi limn→∞f(n)

g(n) = 1 En fait, plus utile pour nous:

L’ordre de grandeur...:

f = Ω(g) ssi∃α,N,∀n ∈N,n≥N =⇒ f(n)≥αg(n) f = Θ(g) ssi∃α, β,N,∀n∈N,

n ≥N =⇒ βg(n)≤f(n)≤αg(n)

(60)

Complexit´ e d’un algorithme

En moyenne, dans le cas le pire...

Etant donné un problème de taille n, la complexité d’un algorithme estf(n), le nombre d’opérationsélémentairesimpliquées dans son calcul:

Complexité en moyenne: moyenne arithmétique des nombres d’opérations pour une taillen

Complexit´e dans le cas le pire: max des nombres d’op´erations pour une taille n

(sur une machines´equentielle)

(61)

Complexit´ e d’un probl` eme

Exemple

La complexit´e (dans le cas le pire, et en moyenne) de reverse (naif) est en Θ(n²)

La complexité d’un problème est la meilleure complexité d’un algorithme résolvant ce problème:

(62)

Classes de complexit´ e

Complexit´e en temps

Dans l’ordre (strictement) croissant, les plus classiques:

Temps Classe Exemple

Θ(1) temps constant addition d’entiers (machine) Θ(log(n)) temps logarithmique

Θ(n) temps lin´eaire inversion de liste Θ(n log(n)) temps quasi-lin´eaire tri

Θ(n²) temps quadratique produit matrice vecteur Θ(n^p) temps polynomial multiplication de matrices Θ(en) temps exponentiel plus tard...

(63)

Classes de complexit´ e

On note classiquement:

L pour le temps logarithmique (fonctions très peu coûteuses) P (ou PTIME) pour le temps polynomial (pas trop coûteuses) EXPTIME pour le temps exponentiel (très coûteuses)

Exemple d’ordres de grandeur (en secondes)

Classe/n 1 2 5 10 . . . 20 50

L 0... 0.3 0.7 1 1.3 1.7

Θ(n) 1 2 5 10 20 50

Θ(n log(n)) 0... 0.6 3.5 10 26 85

Θ(n²) 1 4 25 100 400 2500

Θ(n³) 1 8 125 1000 8000 125000

Θ(eⁿ) 2.7 7.4 148 22026 4.9.10⁸ 5.2.10²¹ Ce dernier nombre fait environ 1.6.10¹⁴ années alors que l’âge de l’univers estimé est d’environ 15.10⁹ années;

Notre syst`eme solaire aura disparu depuis bien longtemps...

(64)

Pour aller plus loin: classe NP;

NP-compl´ etude

Sans rentrer dans les d´etails...

Probl`emes les “plus durs” dont on peut v´erifier la solution en temps polynomial

H´elas beaucoup de probl`emes classiques sont NP-complet:

exemple SAT, d´eterminer si une formule logique (propositionnelle) est toujours vraie ou pas

aussi compliqué qu’énumérer les valeurs booléennes pour toutes les variables (exponentiel) et tester si la formule est vraie avec ces affectations (polynomial)

ex.: a∨ ¬a, essayera=true puisa=false...

On ne connaˆıt `a l’heure actuelle que des algorithmes

EXPTIME au mieux pour résoudre les problèmes NP-complets On ne sait pas à l’heure actuelle siP 6=NP (mais bien sûr

(65)

Complexit´ e en espace

On compte non pas le temps mais le nombre d’octets nécessaire à résoudre un problème algorithmique...

R´esum´e...

L⊆P ⊆PSPACE ⊆EXPTIME

Remarquez le rapport complexit´e en temps et en espace...

Pour aller plus loin...INF 423!

(66)

C’est tout pour aujourd’hui...

La prochaine fois

Logique propositionnelle (rappels), et th´eorie de la preuve (automatisation en COQ)

Logique des pr´edicats

Java Modeling Language (JML) Bon TD!

(67)

C’est tout pour aujourd’hui...

La prochaine fois

Logique propositionnelle (rappels), et th´eorie de la preuve (automatisation en COQ)

Logique des pr´edicats

Java Modeling Language (JML) Bon TD!