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A40467. Progression à neuf Neuf entiers positifs en progression arithmétique ont un carré pour somme de leurs carrés. Quelle est la plus petite valeur de cette somme ? Solution Soit

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Academic year: 2022

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A40467. Progression à neuf

Neuf entiers positifs en progression arithmétique ont un carré pour somme de leurs carrés. Quelle est la plus petite valeur de cette somme ?

Solution

Soit r la raison de la progression, m son 5e terme. La somme des carrés (m−4r)2+ (m−3r)2+. . .+ (m+ 4r)2 = 9m2+ 60r2, qui doit être un carré.

Ce carré est manifestement multiple de 3, et donc de 9. 9 divise 60r2, donc 3 diviser, et le quotient par 9 de la somme est x2 =m2+ 60(r/3)2.

60(r/3)2 = (x+m)(x−m), produit de deux facteurs différant de 2m >24(r/3), car m−4r >0.

On y satisfait avec r = 3, les facteurs 2 et 30 de produit 60, m = 14, x = 16. La progression de raison 3 va de 2 à 26, la somme des carrés est 9x2 = 2304 = 482.

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