La somme des chires des carrés

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La somme des chires des carrés

par

Christian Mauduit

Institut de Mathématiques de Luminy Marseille, France

Joël Rivat

Institut de Mathématiques de Luminy Marseille, France

1. Introduction

L'objet de cet article est de répondre à une question posée par Gelfond en 1968 [12, p. 265] en montrant que la somme des chires des carrés est équirépartie dans les progressions arithmétiques.

Dans tout cet article,qdésigne un nombre entier supérieur ou égal à2. Tout entier npeut s'écrire de manière unique en baseqsous la forme

n=X

k>0

n_kq^k, n_k∈ {0, ..., q−1}, (1)

où lesnk sont tous nuls à partir d'un certain rang. Si`=max{k:nk6=0}, on note rep<sub>q</sub>(n) =n`... n0

la représentation denen baseq.

La somme des chires du nombre entiernécrit en baseqest dénie par sq(n) =X

k>0

nk. (2)

Dans toute la suite on noterae(x)=exp(2iπx),kxk la distance du nombre réelxà l'entier le plus proche,τ(n)le nombre de diviseurs du nombre entiern, etω(n)le nombre de facteurs premiers distincts den.

1.1. Représentation des carrés en baseq

Les résultats que nous présentons dans ce travail s'inscrivent dans le cadre de l'étude de la représentation des carrés en base q. On connaît peu de résultats sur ce sujet en

dehors de celui de Davenport et Erd®s qui ont montré en 1952 [9], pour tout poly- nôme f à valeurs entières, la normalité du nombre réel dont l'écriture en base q est 0.rep_q(f(1)) rep_q(f(2)) rep_q(f(3)).... Il résulte en particulier de leur théorème que

X

n6x

sq(n²)∼(q−1)xlog_qx lorsque x!+∞.

Peter a donné dans [23] une version beaucoup plus précise de ce résultat en moyenne en montrant le théorème suivant qui généralise le résultat classique de Delange concernant le cas de la fonction sommatoire de la fonction somme des chires :

Théorème A. Il existe c∈R,ε>0et Φ_q une fonction continue sur R,1-périodique et nulle part dérivable, tels que, pour tout x>2, on a

X

n6x

s_q(n²) = (q−1)xlog_qx+cx+xΦ_q(2 log_qx)+O(x^1−ε).

On trouvera également dans [2] l'étude de la distribution limite de la fonction somme des chires dans l'ensemble des carrés.

La suite des carrés est engendrée par le morphismeσ déni sur l'alphabet{a, b, c}

parσ(a)=ab,σ(b)=ccbet σ(c)=c en ce sens quem=abccbccccbccccccbccccccccbcc ... est l'unique mot inni sur l'alphabet {a, b, c} point xe de σ et que si l'on dénote π la projection de{a, b, c}vers{0,1}dénie parπ(a)=π(c)=0etπ(b)=1, alorsπ(m)coïncide avec la fonction indicatrice des carrés (on trouvera dans [11] un introduction à la notion de suite engendrée par un morphisme sur un alphabet ni).

Par contre on ne connaît pas d'algorithme simple permettant de savoir si un nombre entier est un carré à partir de la donnée de son écriture en baseq.

Il résulte d'ailleurs des travaux de Büchi concernant l'arithmétique faible du second ordre que la suite des carrés n'est reconnaissable par aucun automate ni (voir [4] ou [27]). Ritchie a donné dans [27] une preuve très élégante et élémentaire de cette non reconnaissabilité dans le cas de la baseq=2et Minsky et Papert ont montré dans [20] la non reconnaissabilité de toute suite de nombres entiers (un)_n∈N de densité nulle et telle quelimn!∞un+1/un=1(voir aussi Cobham [5]).

Les théorèmes que nous établissons ici peuvent être interprétés comme une démons- tration de l'indépendance statistique entre la propriété multiplicative être un carré et une propriété de nature automatique relative à la représentation des nombres entiers en baseq (on pourra également parler d'une propriétéq-multiplicative ouq-additive, la fonction somme des chires vériant, pour tous entiersk,aetbtels queb<q^k, la relation s_q(q^ka+b)=s_q(q^ka)+s_q(b)).

1.2. La fonction somme des chires

Il semblerait que le premier mathématicien à avoir introduit la fonction somme des chires soit Prouhet en 1851 dans [25]. Mahler est premier à la faire intervenir dans un contexte d'analyse harmonique en introduisant dans [15] la suite((−1)^s2(n))n>0 an d'illustrer plusieurs théorèmes d'analyse spectrale obtenus par Wiener [29]. Il montre ainsi en particulier la convergence, pour tout nombre entierk>0, de la suite(γ_k(N))_N>1 dénie pour tout nombre entierN>1 par

γk(N) = 1 N

X

n<N

(−1)^s2(n)(−1)^s2(n+k),

vers une limite non nulle pour une innité de nombres entiersk.

Ces travaux ont ouvert la voie à l'étude spectrale des systèmes dynamiques symbo- liques. En eet notonsT le décalage déni sur l'espace des suites(u_n)_n∈Nà valeurs dans {−1,1} par T(un)=un+1 et munissons l'espace {−1,1}^N de la distance ultramétrique dénie, siu=(un)_n∈Net v=(vn)_n∈Npar

d(u,v) =

2^{−inf{n∈N:un6=vn}}, siu6=v,

0, siu=v.

Alors l'adhérence de l'orbite sous l'action de T de la suite ((−1)^s2(n))_n∈N munie de la transformationTconstitue un système dynamique symbolique appelé système dynamique de ThueMorse (voir par exemple [11] ou [26]).

La convergence de la suite(γk(N))N>1peut être comprise comme une conséquence de l'unique ergodicité du système dynamique de ThueMorse (voir par exemple [26]).

Keane a montré dans [14] que pour tout entierk, la limite de la suite(γ_k(N))_N>1 est égale au k-ième coecient de Fourier de la mesure de corrélation associée au système dynamique de ThueMorse, c'est-à-dire le produit de Riesz

Y

n>0

(1−cos 2ⁿt).

Des résultats analogues ont été obtenus dans [6] et [19], pour la classe plus générale des suitesq-additives ouq-multiplicatives, introduites indépendemment par Bellman et Shapiro [3] et Gelfond [12].

On trouvera dans [1] un survol sur de nombreux problèmes liés à la fonction somme des chires et à ses généralisations.

1.3. La somme des chires pour les suites éparses

L'étude des propriétés arithmétiques des suites éparses (c'est-à-dire dont le nombre de termes jusqu'àxest o(x)) est une source importante de problèmes ouverts en théorie des nombres : nombres premiers de la formen²+1(plus généralement de forme polyno- miale), de la forme2ⁿ−1(nombres de Mersenne), de la forme2ⁿ+1(nombres de Fermat).

En 1953, Piatetski-Shapiro a étudié dans [24] la répartition des nombres premiers dans la suite (bn^cc)_n∈N pour c>1, celle-ci pouvant être considérée, pour1<c<2, comme un cas intermédiaire entre les polynômes de degré1 et ceux de degré2.

Dans [16] et [17], nous avons étudié la somme des chires de cette suite éparse et nous avons obtenu le résultat suivant :

Théorème B. Si c∈

1,⁷₅, alors

• pour tout (a, m)∈Z×N^∗, on a lim

N!+∞

1

N card{n < N:s_q([n^c])≡amodm}= 1 m,

• la suite (s_q([n^c])α)_n∈N est équirépartie modulo 1 pour tout nombre irrationnel α. La méthode développée dans [16] et [17] ne permet pas d'atteindre le cas limitec=2 et donc d'étudier la répartition de la somme des chires des carrés. Dans ce dernier cas, le meilleur résultat actuel est dû à Dartyge et Tenenbaum qui montrent en particulier dans [8] :

Théorème C. Soient qet mnombres entiers positifs tels que q>2 et(m, q−1)=1. Alors il existe deux constantes C=C(q, m)>0 et N0=N0(q, m)>1 telles que pour tout a∈{0,1, ..., m−1} et pour tout nombre entier N>N0, on a

card{n < N:sq(n²)≡amodm}>CN.

Plus précisément, Dartyge et Tenenbaum présentent dans [8], d'une part une preuve élégante et élémentaire de ce théorème dans le cas particulier q=m=2(conduisant à la valeurC(2,2)=⁵₈−¹³₃₂√

2>₂₀¹), et d'autre part une généralisation qui permet de remplacer la suite (n²)n∈N par la suite (f(n))n∈N où f est un polynôme à coecients entiers de degréd>2et tel quef(N)⊂N(obtenant dans ce cas général une minoration de l'ordre de N^2/d!). La preuve de ce résultat général nécessite l'utilisation de techniques plus élaborées développées dans [7].

2. Résultats

Nous avons étudié récemment dans [18] la répartition de la somme des chires dans la suite des nombres premiers qui constitue un autre exemple classique de suite éparse.

Ce travail, qui résolvait une question posée par Gelfond dans [12], introduisait plusieurs types d'outils de nature à la fois combinatoire, analytique et harmonique. Cependant, la méthode mise en place pour cette étude n'est pas susante pour étudier la répartition de la somme des chires des carrés en raison de la croissance beaucoup plus rapide de cette suite. L'objet du présent article est d'introduire de nouveaux outils qui nous permettront de surmonter cette diculté et d'apporter une réponse complète à une autre question posée par Gelfond dans [12] concernant cette fois les carrés, ainsi qu'à des questions analogues concernant les propriétés arithmétiques de la somme des chires des carrés :

Théorème 1. Pour q>2 et α tels que (q−1)α∈R\Z, il existe σq(α)>0 et x0:=

x0(q, α)>2 tels que pour tout nombre réel x>x0, on a

X

n6x

e(αs_q(n²))

64q^7/2(logq)^5/2τ(q)^1/2

1+logx logq

ω(q)/2+4

x^1−σq(α). (3)

Théorème 2. Pour q>2, la suite (αsq(n²))n∈N est équirépartie modulo 1 si et seulement si α∈R\Q.

Théorème 3. Pour qet mentiers >2, il existe σq,m>0tel que pour tout a∈Z, card{n6x:sq(n²)≡amodm}= x

mQ(a, d)+Oq,m(x^1−σq,m), (4) où d=(q−1, m)et

Q(a, d) = card{06n < d:n²≡amodd}. (5) Remarque. Il n'existe pas de formule simple permettant d'exprimerQ(a, d)dans le cas général. Par contre, pouraet dxés, il est facile de calculer la valeur de

Q(a, d) =Y

p|d

Q(a, p^vp(d))

(voir [28, Ÿ5.9]). Dans le cas particulier oùd=1on aQ(a, d)=1, et plus généralement si dest impair,(a, d)=1, alors

Q(a, d) =Y

p|d

1+

a p

où(a/p)désigne le symbole de Legendre.

3. Description de la preuve du théorème 1 Posons

f(n) :=αsq(n). (6)

Pour démontrer (3) on eectue un découpageq-adique de la sommeP

n6xe(f(n²))auquel on commence par appliquer dans Ÿ5.1 l'inégalité de van der Corput. Ceci nous conduit à considérer dans l'exponentielle des diérences de la forme

f((n+r)²)−f(n²),

où la variablerest très petite devantn. Or, les chires de(n+r)²et ceux den²coïncident assez rapidement au delà de la taille de nr, une diérence n'étant possible que par la propagation d'une retenue. En prenant une petite marge, on s'assure que les entiers n exceptionnels pour lesquels la coïncidence n'a pas lieu sont en nombre négligeable. Nous pouvons ainsi remplacer dans Ÿ5.2 la fonction f par une fonction tronquée f_λ qui ne prend en compte que les chires de n de poids inférieur à λ (λ est un paramètre qui dépend essentiellement de la taille den) et qui est périodique de périodeq^λ.

Plus précisément pour tout entierλ>0, on dénit fλ par la formule fλ(n) :=X

k<λ

f(nkq^k), (7)

où les entiersnk désignent les chires de n dans son écriture en base q dénie par (1).

En appliquant une variante de l'inégalité de van der Corput, nous obtenons dans Ÿ5.3 des diérences de la forme

fλ((n+sq^µ)²)−fλ(n²)

où la variables est très petite devantnet µ<λ. On constate que dans cette diérence, seuls les chires de poids supérieur à µinterviennent, ce qui nous permet de remplacer la fonctionfλ par une fonction doublement tronquéefµ,λ dénie par

fµ,λ:=fλ−fµ, (8)

qui ne prend en compte que les chires de poids compris entreµet λ.

La fonction f_µ,λ est périodique de périodeq^λ et cette propriété va nous permettre dans Ÿ5.4 en quelque sorte de séparer la structure digitale de la structure arithmétique du problème en faisant apparaître des sommes de Gauss quadratiques qui sont traitées dans Ÿ4.3. La clef permettant de poursuivre la majoration consiste à estimer dans ŸŸ5.5 5.7 des moyennes de produits de fonctions génératrices qui s'expriment elles-mêmes à l'aide de produits de polynômes trigonométriques. Cette démarche est analogue à celle que nous avions introduite dans [18] lors de l'étude de la somme des chires des nombres premiers, mais les dicultés rencontrées étant d'une nature diérente, nous utilisons pour y parvenir une série de lemmes techniques démontrés dans Ÿ4.1 et Ÿ4.2.

4. Lemmes techniques

4.1. Fonction génératrice

Lemme 1. Pour tout nombre entier k>1, la fonction ϕ_k dénie par

ϕk(t) =

X

06v<k

e(vt)

=

|sinπkt|/|sinπt|, sit∈R\Z,

k, sit∈Z. (9)

est paire, continue sur R, périodique de période 1 et vérie pour tout t∈R, ϕ²_k(t) = X

|h|<k

(k−|h|)e(ht), (10)

X

06r<k

ϕ²_k t+r

k

=k². (11)

Preuve. Voir par exemple le lemme 14 de [18].

Lemme 2. Pour tout nombre entier k>1, on dénit Φ(k) := max

t∈R

1 k

X

06r<k

ϕk

t+r

k

. (12)

Alors pour tous les nombres entiers k>1 et k⁰>1, on a

k|k⁰ =⇒ Φ(k)6Φ(k⁰), (13)

et pour tout nombre entier k>1, on a

Φ(k) =1 k

X

06r<k

1

sinπ(1/2k+r/k)6 2

ksin(π/2k)+2

πlog cot π 2k62

πlog2e^π/

√2k

π . (14) Preuve. Lorsque k=1, la propriété (14) est trivialement vériée et, pour k>2, l'égalité et la première majoration de (14), découlent par exemple du lemme 15 de [18].

Par ailleurs, on a

π

ksin(π/2k)6 π

√

2 et cot π 2k62k

π et donc

2

ksin(π/2k)+2

πlog cot π 2k62

πlog2e^π/

√2k

π .

Pour montrer (13), écrivonsk⁰=kdet r⁰=rd+javec06r<k et06j <d, d'où Φ(k⁰) =1

k X

06r<k

1 d

X

06j<d

1

sinπ(1/2kd+r/k+j/kd). Or, comme la fonctiont7!(sint)⁻¹ est convexe sur]0, π[, on a

1 d

X

06j<d

1

sinπ(1/2kd+r/k+j/kd)> 1 sinπ 1/2kd+r/k+d⁻¹P

06j<dj/kd

= 1

sinπ(1/2kd+r/k+(d−1)/2kd), d'où

Φ(k⁰)>1 k

X

06r<k

1

sinπ(1/2k+r/k)= Φ(k).

Lemme 3. Pour tout nombre entier k>2, et tout t∈R, on a

ϕk(t)6kexp

−k²−1 6 π²ktk²

lorsque ktk6

s 6 π²(k²−1). Preuve. Pour toutu∈R, on vérie facilement les inégalités

06sinu6u−u³ 6 + u⁵

120 lorsque 06u6π,

06u−u³

6 6sinu lorsque 06u6√

6,

061−u+u²

3 61−u+u² 2 −u³

6 6e^−u lorsque 06u61.

Commeϕ_k est paire et périodique de période1, on peut supposer que

06t6 s

6 π²(k²−1).

Observons que sous cette hypothèse, on a06πkt6πet06πt6√

6. Pour établir l'inégalité attendue :

sinπkt6k(sinπt) exp

−k²−1 6 π²t²

,

if sut de montrer que πkt−(πkt)³

6 +(πkt)⁵ 120 6k

πt−π³t³ 6

1−k²−1

6 π²t²+(k²−1)² 3·6² π⁴t⁴

,

ce qui équivaut à montrer que

5π²t²(k²−1)²63k⁴+30k²−60.

Or notre hypothèse surtci-dessus entraîne la majoration 5π²t²(k²−1)²65(k²−1)² 6

(k²−1)= 30k²−30, et le résultat en découle car3k⁴>3·2⁴=48>30.

Lemme 4. Pour tout nombre entier k>2, et tout t∈R, on a ϕk

t k

6ϕk

ktk k

.

Preuve. Posonst=θ+`avec−<sup>1</sup><sub>2</sub><θ6<sup>1</sup>2 et `∈Z. Si`≡0 modk, commeϕ_k est paire et périodique de période1, on a

ϕk

t k

=ϕk

ktk k

.

Maintenant, si`6≡0 modk, alors 1

2>

t k

=

θ+`

k >

` k

− θ k >1

k− 1 2k= 1

2k>

θ k

=ktk k . La fonctionu7!sinπuétant décroissante sur

0,¹₂

, on en déduit ϕk

t k

=ϕk

t k

= |sinπθ|

sinπk(θ+`)/kk6 |sinπθ|

sin(πktk/k)=ϕk

ktk k

.

Lemme 5. Pour tout nombre entier k>2, et tout δ∈[0,2/3k], on a max

ktk>δϕk(t) =ϕk(δ).

Preuve. Commet7!sint/sin(2t/3)est décroissante sur 0,¹₂π

, on a

sinπ k

ϕk

2 3k

=

sin2π 3

sin(π/k) sin(2π/3k)>

sin2π

3

sin(π/2) sin(π/3)= 1.

Or pourktk>1/k, on aϕk(t)61/sin(π/k), doncmax_ktk>1/kϕk(t)6ϕk(2/3k). Commeϕk

est décroissante sur[0,1/k], on a pour toutδ∈[0,2/3k], max

1/k>ktk>δϕk(t) =ϕk(δ)>ϕk

2 3k

, d'où l'inégalité attendue.

Lemme 6. Pour tout nombre entier k>2 et tout α∈R, on a maxt∈R

ϕ_k(α−t)ϕ_k(α−kt)6kϕ_k

k(k−1)αk k+1

.

Preuve. En posantt=α−u, on a M(α) := max

t∈R

ϕk(α−t)ϕk(α−kt) = max

u∈R

ϕk(u)ϕk(ku−(k−1)α).

Posonsδ:=k(k−1)αk/(k+1)61/2k. Pour montrer queM(α)6kϕ_k(δ), nous distin- guons deux cas :

• sikku−(k−1)αk>δ, alors d'après le lemme 5 nous obtenons la majoration atten- due :

ϕ_k(u)ϕ_k(ku−(k−1)α)6ϕ_k(u)ϕ_k(δ)6kϕ_k(δ),

• sikku−(k−1)αk<δ, alors d'après le lemme 4 on aϕ_k(u)=ϕ_k(ku/k)6ϕ_k(kkuk/k). Mais

kkuk=kku−(k−1)α+(k−1)αk>k(k−1)αk−kku−(k−1)αk

>k(k−1)αk−δ= (k+1)δ−δ=kδ,

donc commeϕ_kest décroissante sur[0,1/2k], on aϕ_k(kkuk/k)6ϕ_k(δ), d'où la majoration attendue :

ϕk(u)ϕk(ku−(k−1)α)6ϕk

kkuk k

k6ϕk(δ)k.

Lemme 7. Pour tout nombre entier k>2 et tout α∈R, on a maxt∈R

ϕ_k(α−t)ϕ_k(α−kt)6k²exp

−π²(k−1)

6(k+1) k(k−1)αk²

.

Preuve. En combinant les lemmes 6 et 3, on obtient maxt∈R

ϕk(α−t)ϕk(α−kt)6kϕk

k(k−1)αk k+1

6k²exp

−π²(k−1)

6(k+1) k(k−1)αk²

.

4.2. Valeurs moyennes des produits de fonctions génératrices

Pourq>2,α∈R, λ∈Neth∈Z, on pose F_λ(h, α) =q^−λ X

06u<q^λ

e(f_λ(u)−huq^−λ). (15)

Il résulte de la dénition (15) que

F₀(h, α) = 1, (16)

et que, pourλ>1,

F_λ(h, α) =q^−λ X

06j<q

X

06u<q^λ−1

e(α(s_q(u)+j)−h(qu+j)q^−λ)

=1 q

X

06j<q

e(αj−hjq^−λ)Fλ−1(h, α).

Ainsi, pourλ>1,

|F_λ(h, α)|=q^−λ Y

16j6λ

ϕ_q(α−hq^−j), (17)

oùϕq est dénie par (9).

Lemme 8. Pour q>2, α∈R,a∈Zet 06δ6λ, X

06h<q^λ h≡amodq^δ

|Fλ(h, α)|²=|Fδ(a, α)|². (18)

Preuve. La relation (18) s'obtient facilement par récurrence à partir de (11) et (17) (voir [18, lemme 20]).

Lemme 9. Pour q>2, α∈R,h∈Z,λ>2 entier, c_q= π²

12 logq

1− 2 q+1

, on a

|Fλ(h, α)|6e^π2/48q^{−cqk(q−1)αk2λ}. (19) Preuve. D'après (17), on a

|F_λ(h, α)|6 Y

16j6bλ/2c

ϕ_q(α−hq^−2j)ϕ_q(α−hq^−2j+1)

q² .

D'après le lemme 7, on en déduit que

|F_λ(h, α)|6exp

−π² 6

q−1 q+1

λ 2

k(q−1)αk²

, d'où le résultat attendu en utilisant la minoration1

2λ

>¹2(λ−1).

Lemme 10. Pour q>2, α∈R,λ∈Net h∈Z, la fonction Fµ,λ dénie par Fµ,λ(h, α) :=q^−λ X

06u<q^λ

e(f_µ,λ(u)−huq^−λ) (20)

vérie

|Fµ,λ(h, α)|=|Fλ−µ(h, α)|q^−µϕ_qµ(hq^−λ). (21) Preuve. Pour06µ<λ, en écrivantu=q^µa+b, d'oùfµ,λ(u)=f(a), on a

F_µ,λ(h, α) =q^−λ X

06u<q^λ

e(f_µ,λ(u)−huq^−λ)

=q^−λ X

06a<q^λ−µ

X

06b<q^µ

e

f(a)−h

q^λ(q^µa+b)

=F_λ−µ(h, α)q^−µ X

06b<q^µ

e −hb

q^λ

,

d'où l'égalité (21).

Lemme 11. Pour des entiers µ et λtels que 16µ<λ, et pour α∈R, on a X

06h<q^λ

|Fµ,λ(h, α)|6Φ(q^µ)q^λ−µ, (22)

où Φest dénie par (12).

Preuve. On écrit X

06h<q^λ

|F_µ,λ(h, α)|= X

06k<q^λ−µ

X

06`<q^µ

|F_λ−µ(k+`q^λ−µ, α)|q^−µϕ_qµ

k+`q^λ−µ q^λ

= X

06k<q^λ−µ

|F_λ−µ(k, α)|q^−µ X

06`<q^µ

ϕ_qµ

k q^λ+ `

q^µ

,

d'où, d'après (12) et en utilisant la majoration triviale|F_λ−µ(k, α)|61, on déduit (22).

Remarque. La majoration (22) pourrait facilement être améliorée en utilisant la méthode présentée dans Ÿ12 de [18] qui permet de montrer que

X

06k<q^λ−µ

|F_λ−µ(k, α)| q^ηq(λ−µ)

avecηq<¹₂ pourq>2.

Lemme 12. Pour des entiers µ,λetδtels que 16µ<λet λ−µ6δ6λ, et pour a∈Z et α∈R, on a

X

06h<q^λ h≡amodq^δ

|F_µ,λ(h, α)|6Φ(q^λ−δ)q^{−µ+λ−δ}ϕ_qµ−λ+δ(aq^−δ)|F_λ−µ(a, α)|. (23)

Preuve. On écrit X

06h<q^λ h≡amodq^δ

|F_µ,λ(h, α)|= X

06`<q^λ−δ

|F_λ−µ(a+`q^δ, α)|q^−µϕ_qµ

a+`q^δ q^λ

et commeλ−µ6δ, on a |Fλ−µ(a+`q^δ, α)|=|Fλ−µ(a, α)|,d'où X

06h<q^λ h≡amodq^δ

|Fµ,λ(h, α)|=|Fλ−µ(a, α)|q^−µ X

06`<q^λ−δ

ϕq^µ

a q^λ+ `

q^λ−δ

.

Comme06λ−δ6µ, on a pour toutt∈R ϕ_qµ

t+ `

q^λ−δ

=ϕ_qµ−λ+δ(q^λ−δt)ϕ_qλ−δ

t+ `

q^λ−δ

,

d'où, d'après (12) aveck=q^λ−δ, on déduit

q^−µ X

06`<q^λ−δ

ϕq^µ

a q^λ+ `

q^λ−δ

=q^{−µ+λ−δ}ϕ_qµ−λ+δ

a q^δ

q^−(λ−δ) X

06`<q^λ−δ

ϕ_qλ−δ

a q^λ+ `

q^λ−δ

6Φ(q^λ−δ)q^{−µ+λ−δ}ϕ_qµ−λ+δ

a q^δ

ce qui entraîne (23) .

Lemme 13. Pour des entiersµ,λet δtels que 16µ<λet 06δ6λ−µ, et pour `∈Z, a∈Z et α∈R, on a

X

06h<q^λ h≡amodq^δ

|Fµ,λ(h, α)Fλ−µ(h+`, α)|6Φ(q<sup>µ</sup>)|Fδ(a, α)Fδ(a+`, α)|, (24)

oùΦest dénie par (12).

Preuve. On a X

06h<q^λ h≡amodq^δ

|Fµ,λ(h, α)Fλ−µ(h+`, α)|

= X

06h⁰<q^λ−µ h⁰≡amodq^δ

X

06h⁰⁰<q^µ

|Fµ,λ(h⁰+h⁰⁰q^λ−µ, α)F_λ−µ(h⁰+h⁰⁰q^λ−µ+`, α)|

= X

06h⁰<q^λ−µ h⁰≡amodq^δ

|Fλ−µ(h⁰, α)F_λ−µ(h⁰+`, α)| X

06h⁰⁰<q^µ

q^−µϕ_qµ

h⁰+h⁰⁰q^λ−µ q^λ

.

D'après (12), on obtient X

06h<q^λ h≡amodq^δ

|Fµ,λ(h, α)F_λ−µ(h+`, α)|

6Φ(q^µ) X

06h⁰<q^λ−µ h⁰≡amodq^δ

|F_λ−µ(h⁰, α)F_λ−µ(h⁰+`, α)|

6Φ(q^µ) X

06h⁰<q^λ−µ h⁰≡amodq^δ

|F_λ−µ(h⁰, α)|²

!1/2

X

06h⁰<q^λ−µ h⁰≡amodq^δ

|F_λ−µ(h⁰+`, α)|²

!1/2

ce qui, en appliquant (18), conduit à (24).

Lemme 14. Pour des entiers µ,λet δtels que 16µ<λet λ−µ6δ6λ, et pour a∈Z et α∈R, on a

X

06h₁,h₂<q^λ h₁+h₂≡amodq^δ

|F_µ,λ(h₁, α)F_µ,λ(−h₂, α)|6Φ(q^λ−δ)Φ(q^µ), (25)

oùΦest dénie par (12).

Preuve. On écrit X

06h1,h2<q^λ h₁+h₂≡amodq^δ

|Fµ,λ(h1, α)Fµ,λ(−h2, α)|

= X

06h₂<q^λ

|Fµ,λ(−h2, α)| X

06h₁<q^λ h₁≡−h2+amodq^δ

|Fµ,λ(h1, α)|.

En appliquant l'inégalité (23), et en utilisant la majoration q^{−µ+λ−δ}ϕ_qµ−λ+δ((−h₂+a)q^−δ)61,

on obtient X

06h1,h2<q^λ h1+h2≡amodq^δ

|Fµ,λ(h1, α)Fµ,λ(−h2, α)|6Φ(q^λ−δ) X

06h2<q^λ

|Fµ,λ(−h2, α)Fλ−µ(−h2+a, α)|.

En appliquant (24) avecδ=0, commeFµ,λetF_λ−µ sont périodiques de périodeq^λ, on a X

06h₂<q^λ

|F_µ,λ(−h₂, α)F_λ−µ(−h₂+a, α)|6Φ(q^µ),

ce qui conduit à (25).

4.3. Sommes de Gauss quadratiques

Soienta, b, m∈Zavecm>1. On dénit les sommes de Gauss

G(a, b;m) :=

m−1

X

n=0

e

an²+bn m

. (26)

Proposition 1. Si d=(a, m), on a

• si d|b alors G(a, b;m)=dG(a/d, b/d;m/d);

• si d-b alors G(a, b;m)=0.

Preuve. Posonsm⁰=m/d,a⁰=a/d. En écrivant n=km⁰+r, on obtient

G(a, b;m) =

m⁰−1

X

r=0 d−1

X

k=0

e

da⁰(km⁰+r)²+b(km⁰+r) dm⁰

=

m⁰−1

X

r=0

e a⁰r²

m⁰ + br dm⁰

^d−1 X

k=0

e bk

d

.

Sid|bla somme surkvautdet on obtientG(a, b;m)=dG(a/d, b/d;m/d). Sid-bla somme (géométrique) sur kvaut0 et on obtientG(a, b;m)=0. Proposition 2. Pour tous a, b, m∈Zavec m>1, en posant d=(a, m), on a

|G(a, b;m)|6√

2dm. (27)

Preuve. Sid-balors, d'après la proposition 1, on aG(a, b;m)=0ce qui établit (27).

Sid|balors, d'après la proposition 1, on aG(a, b;m)=dG(a/d, b/d;m/d). Or, d'après [13, inégalité (7.4.2), p. 93], comme (a/d, m/d)=1, on a G(a/d, b/d;m/d)6p

2m/d, ce qui, en multipliant pard, établit (27).

5. Démonstration du théorème 1

Pourq>2etαtel que(q−1)α∈R\Z, posonsf(n)=αsq(n). L'objectif de cette partie est de montrer qu'il existeσq(α)>0et ν1:=ν1(q, α)>2tels que pour tout nombre entier ν>ν1, la somme

S1:= X

q^ν−1<n6x

e(f(n²)) (28)

vérie

|S₁|63(qlogq)^5/2τ(q)^1/2ν^ω(q)/2+3q^{(1−σq(α))ν} (29) uniformément pour tout x vériant q^ν−1<x6q^ν (les valeurs explicites de σq(α) et de ν1(q, α)seront données respectivement par les formules (79) et (78)).

En eet le théorème 1 résulte facilement de la majoration (29) car siq^ν−1<x6q^ν, on a

X

16n6x

e(f(n²)) =e(f(1))+ X

16j6ν1−1

X

q^j−1<n6q^j

e(f(n²))

+ X

ν16j6ν−1

X

q^j−1<n6q^j

e(f(n²))+ X

q^ν−1<n6x

e(f(n²)), et donc

X

16n6x

e(f(n²))

6q^ν1−1+3(qlogq)^5/2τ(q)^1/2 X

ν16j6ν

j^ω(q)/2+3q^{(1−σq(α))j}

6q^ν1−1+3(qlogq)^5/2τ(q)^1/2ν^ω(q)/2+4q^{(1−σq(α))ν} 64(qlogq)^5/2τ(q)^1/2ν^ω(q)/2+4q^{(1−σq(α))ν} pour

ν>ν₀(q, α) := ν1(q, α)

1−σq(α), (30)

ce qui implique

X

16n6x

e(f(n²))

64q^7/2(logq)^5/2τ(q)^1/2

1+logx logq

^ω(q)/2+4

x^1−σq(α), pour

x>x0:=q^ν0−1+1. (31)

5.1. Application de l'inégalité de van der Corput

L'objectif de ce paragraphe est de majorer la sommeS₁par des sommes étendues à tout l'intervalle]q^ν−1, q^ν]faisant intervenir des diérences de la formef((n+r)²)−f(n²). Pour cela nous allons utiliser la variante suivante de l'inégalité de van der Corput, inspirée de [22] :

Lemme 15. Pour des entiers 16A6B6N et des nombres complexes z1, ..., zN de module 61, on a pour tout entier R>1,

B

X

n=A

zn

6 B−A+1 R

X

|r|<R

1−|r|

R

X

16n6N 16n+r6N

zn+rz¯n

!^1/2 +R

2.

Preuve. Par commodité on pose z_n=0 pour n60 et pour n>N+1. Comme les nombres complexesz_n sont de module61, on a

R

B

X

n=A

z_n− X

−R/2<r6R/2 B

X

n=A

z_n+r

6 X

−R/2<r6R/2

2|r|6R² 2 ,

donc

B

X

n=A

z_n 6 1

R

B

X

n=A

X

−R/2<r6R/2

z_n+r

+R 2. En appliquant l'inégalité de CauchySchwarz, on obtient

^B X

n=A

X

−R/2<r6R/2

z_n+r

²

6(B−A+1)

B

X

n=A

X

−R/2<r6R/2

z_n+r

2

6(B−A+1)X

n∈Z

X

−R/2<r6R/2

zn+r

2

= (B−A+1) X

−R/2<r16R/2

X

−R/2<r26R/2

X

n∈Z

zn+r₁z¯n+r₂

= (B−A+1) X

−R/2<r16R/2

X

−R/2<r26R/2

X

m∈Z

z_m+r1−r2z¯_m

= (B−A+1) X

−R<r<R

(R−|r|)X

m∈Z

zm+rz¯m,

d'où l'inégalité attendue en divisant parR².

Soit%un nombre entier tel que16%6¹₂ν. En appliquant le lemme 15 à la sommeS₁ dénie par (28), avecA=1,B=bxc−q^ν−1,N=q^ν−q^ν−1,z_n=e(f((q^ν−1+n)²))etR=q^%, on obtient

|S1|6q^(ν−%)/2

X

|r|<q^%

1−|r|

q^%

X

q^ν−1<n6q^ν q^ν−1<n+r6q^ν

e(f((n+r)²)−f(n²))

!

1/2

+q^% 2.

En supprimant la condition de sommation q^ν−1<n+r6q^ν, on introduit dans la valeur absolue ci-dessus un terme d'erreur majoré par

X

16|r|<q^%

1−|r|

q^%

2|r|=2

3(q^%−1)(q^%+1)62 3q^2%.

En séparant les cas r=0et r6=0et en observant que X

16|r|<q^%

1−|r|

q^%

=q^%−16q^%,

nous obtenons nalement

|S1|6q^ν−%/2+ r2

3q^(ν+%)/2+q^%

2 +q^ν/2 max

16|r|<q^%

X

q^ν−1<n6q^ν

e(f((n+r)²)−f(n²))

1/2

. (32) Pour poursuivre la démonstration, nous allons montrer que seuls les chires de poids faible dans la diérence f((n+r)²)−f(n²) contribuent de manière signicative. Nous allons donc introduire une notion de somme des chires tronquée et montrer que l'on peut remplacer la fonctionf par cette fonction tronquée.

5.2. Somme des chires tronquée

La fonctionfλdénie par (7) est clairement périodique de périodeq^λ. Cette fonction tronquée apparaît dans [10] où Drmota et Rivat étudient certaines propriétés de fλ(n²) lorsque λ est de l'ordre de logn. Elle intervient également dans [18] dans le cadre de l'étude de la somme des chires des nombres premiers.

Lemme 16. Pour tous ν et % entiers avec ν>2 et 16%6¹2ν, pour tout r∈Z avec

|r|<q^%, le nombre E(r, ν, %)d'entiers ntels que q^ν−1<n6q^ν et f((n+r)²)−f(n²)6=fν+2%+1((n+r)²)−fν+2%+1(n²), vérie

E(r, ν, %)6q^ν−%+q^ν−2%−1+q^(ν+%+1)/2. (33) Preuve. On a06|2nr+r²|<2q^ν(q^%−1)+q^2%<q^ν+%+1.

Supposons 06r<q^%. Lorsqu'on eectue l'addition n²+2nr+r², les chires de n² d'indice >ν+%+1 ne pourront être modiés que par propagation d'une retenue. Nous devons donc compter les entiersn pour lesquels les chiresa_j de l'écriture en baseqde

n² vérientaj=q−1 pour ν+%+16j <ν+2%+1, c'est-à-dire les entiersn pour lesquels il existe un entiermtel quebn²/q^ν+%+1c=q^%m−1. Cette égalité signie que

q^%m−16 n²

q^ν+%+1< q^%m,

ce qui implique, commemest entier etq^ν−1<n6q^ν, d'une part que 0< n²

q^ν+2%+1< m6 n²

q^ν+2%+1+q^−%

6bq^ν−2%−1+q^−%c=q^ν−2%−1,

et d'autre part que pour chaque valeur admissible dem, le nombre dencorrespondants est majoré par

1+p

q^ν+2%+1m 1−p

1−q^−%m⁻¹ . Pour06u6³4, on a

1−√

1−u=u 2+1

4 Z u

0

(u−t)(1−t)^−3/2dt6u 2+u², donc commem>1et%>1, d'où06q^−%m⁻¹6¹2<³₄, on obtient

E(r, ν, %)6 X

0<m6q^ν−2%−1

1+

q^−%m⁻¹

2 +q^−2%m⁻²

pq^ν+2%+1m

6q^ν−2%−1+q^ν−%+ζ ³₂

q^(ν+1)/2−%,

d'où, en observant quet7!t^−3/2 est convexe et donc que

ζ ³₂ 6

Z +∞

1/2

t^−3/2dt= 2^3/26q^3%/2,

la majoration (33).

Lorsque −q^%<r<0 en procédant de même nous devons compter les entiers n tels que les chiresa_j du carrén² vérienta_j=0pour ν+%+16j <ν+2%+1, c'est-à-dire les entiers n pour lesquels il existe un entier m tel que bn²/q^ν+%+1c=q^%m. Cette égalité signie que

q^%m6 n²

q^ν+%+1< q^%m+1,

ce qui implique, commemest entier etq^ν−1<n6q^ν, d'une part que

06m6 n²

q^ν+2%+16q^ν−2%−1,

et d'autre part que pour chaque valeur admissible dem, le nombre dencorrespondants est majoré par

1+p

q^ν+2%+1m p

1+q^−%m⁻¹−1 lorsquem6=0, et parq^(ν+%+1)/2 lorsquem=0. Pouru>0, on a√

1+u−16¹2u, donc E(r, ν, %)6q^(ν+%+1)/2+ X

0<m6q^ν−2%−1

1+q^−%m⁻¹p

q^ν+2%+1m 2

6q^(ν+%+1)/2+q^ν−2%−1+q^ν−%, d'où la majoration (33).

D'après le lemme 16, dans la sommation sur n du membre de droite de (32), on peut remplacer f par la fonction tronquéefν+2%+1 dénie par (7) au prix d'une erreur E(r, ν, %)pour cette somme. On obtient

|S₁|6q^ν−%/2+ q2

3q^(ν+%)/2+¹₂q^%+q^ν/2 max

16|r|<q^%(|S₂(r, ν, %)|+E(r, ν, %))^1/2, où l'on a posé

S2(r, ν, %) := X

q^ν−1<n6q^ν

e(f_ν+2%+1((n+r)²)−fν+2%+1(n²)). (34)

Pour xer les idées, nous faisons maintenant l'hypothèse que

ν>10 (35)

et

16%610¹ν. (36)

Sous cette hypothèse, on a d'une part q^ν−%/2+

q2

3q^(ν+%)/2+¹₂q^%= 1+

q2

3q^−ν/2+%+¹₂q^−ν+3%/2 q^ν−%/2 6

1+

q2

32⁻⁴+2^−19/2 q^ν−%/2

et d'autre part

E(r, ν, %)6(1+q^−%−1+q(−ν+3%+1)/2)q^ν−%6(1+2⁻²+2⁻³)q^ν−%=¹¹₈q^ν−%. Ainsi, à l'aide de (36), on déduit de (32) que

|S₁|6 1+

q2

32⁻⁴+2^−19/2

q^ν−%/2+q^ν/2

11

8q^ν−%+ max

16|r|<q^%|S₂(r, ν, %)|1/2

. (37)

Pour déduire (29) de (37), il sut de montrer qu'il existeσq(α)>0etν1:=ν1(q, α)>

10tels que pour tous nombres entiersν,%etrvériantν>ν1,%/ν62σq(α)et16|r|<q^%, on a

|S2(r, ν, %)|62(qlogq)^5/2τ(q)^1/2ν^ω(q)/2+3q^ν−%, (38) et d'observer queqlogq >1et

1+

q2

32⁻⁴+2^−19/2+ q11

8 +2<3.

5.3. Somme des chires doublement tronquées

L'objectif de ce paragraphe est de transformer les sommesS2(r, ν, %)an d'éliminer maintenant la contribution des chires de poids faible dans l'estimation de cette somme.

À cet eet, nous allons utiliser la généralisation suivante de l'inégalité de van der Corput : Lemme 17. Soient z1, ..., zN des nombres complexes. Pour tous entiers k>1 et R>

1, on a

X

16n6N

z_n

2

6N+k(R−1) R

X

|r|<R

1−|r|

R

X

16n6N 16n+kr6N

z_n+krz¯_n.

Remarque. Pour k=1, on retrouve l'inégalité de van der Corput usuelle (voir par exemple [13, lemme 2.5, p. 10]).

Preuve. Par commodité on posez_n=0pourn60et pourn>N+1. On a les égalités

RX

n

zn=

R−1

X

r=0

X

n

zn+kr=X

n R−1

X

r=0

zn+kr.

Les entiersnpour lesquels la dernière somme est potentiellement non nulle vérient les inégalités1−k(R−1)6n6N, donc leur nombre ne dépasse pasN+k(R−1).

En appliquant l'inégalité de CauchySchwarz on obtient R²

X

n

z_n

2

6(N+k(R−1))X

n

R−1

X

r=0

z_n+kr

2

6(N+k(R−1))

R−1

X

r₁=0 R−1

X

r₂=0

X

n

zn+kr₁z¯n+kr₂

6(N+k(R−1))

R−1

X

r₁=0 R−1

X

r₂=0

X

m

z_m+k(r1−r2)z¯_m

6(N+k(R−1)) X

−R<r<R

(R−|r|)X

m

z_m+krz¯_m, d'où l'inégalité attendue en divisant parR².

Nous introduisons

λ=ν+2%+1, (39)

et µun paramètre entier à choisir ultérieurement, vériant

16µ6ν−2%−1. (40)

En appliquant le lemme 17 à la sommeS2(r, ν, %)dénie par (34) avecN=q^ν−q^ν−1, zn=e(f_λ((q^ν−1+n+r)²)−fλ((q^ν−1+n)²)), k=q^µ et R=q^2%, et en posant

S3(r, s, ν, %, µ) := X

n∈I(ν,s,µ)

e(f_λ((n+r+sq^µ)²)−fλ((n+r)²)−fλ((n+sq^µ)²)+fλ(n²)), (41) où l'intervalleI(ν, s, µ)est déni par

I(ν, s, µ) :={n∈N:q^ν−1< n6q^ν et q^ν−1< n+sq^µ6q^ν}, on obtient en observant queµ+2%6ν−1,

|S2(r, ν, %)|²6q^ν−2% X

|s|<q^2%

1−|s|

q^2%

|S3(r, s, ν, %, µ)|.

En séparant les cas s=0et s6=0, et en observant que X

16|s|<q^2%

1−|s|

q^2%

=q^2%−1, on obtient

|S2(r, ν, %)|²6q^2ν−2%+q^ν max

16|s|<q^2%|S3(r, s, ν, %, µ)|. (42) Comme la fonctionf_µ est périodique de périodeq^µ, on a

fλ((n+r+sq^µ)²)−fλ((n+r)²) =fµ,λ((n+r+sq^µ)²)−fµ,λ((n+r)²) et

fλ((n+sq^µ)²)−fλ(n²) =fµ,λ((n+sq^µ)²)−fµ,λ(n²), oùf_µ,λ a été dénie par (8). On en déduit

S₃(r, s, ν, %, µ)

= X

n∈I(ν,s,µ)

e(f_µ,λ((n+r+sq^µ)²)−fµ,λ((n+r)²)−fµ,λ((n+sq^µ)²)+fµ,λ(n²)). (43) La suite de notre travail va consister à démontrer qu'il existe σq(α)>0 et ν1:=

ν1(q, α)>10tels que pour tous nombres entiersν,%,r,setµvériantν>ν1,%/ν62σq(α), 16µ6ν−2%−1,16|r|<q^%et

16|s|< q^2%, (44)

on a

|S3(r, s, ν, %, µ)|6¹4(qlogq)⁵τ(q)ν^ω(q)+6q^ν−2%, (45) ce qui, en utilisant (42) et en observant queqlogq >1etq

1

4+1<2, permet d'obtenir (38).

5.4. Introduction des sommes de Gauss quadratiques

La proposition suivante est une variante d'un procédé connu au moins depuis Vino- gradov.

Lemme 18. Soit un entier m>2 et (zn)_n∈Z une suite de nombres complexes pério- dique de période m. Alors pour tous M, N∈Zavec N>1, on a

M+N

X

n=M+1

zn=

m−1

X

`=0

wm(M, N, `)

m−1

X

n=0

zne `n

m

,

où

w_m(M, N, `) := 1 m

M+N

X

k=M+1

e

−`k m

vérie

m−1

X

`=0

|wm(M, N, `)|6N m+2

πlog4m π 62

π N

m

log4e^π/2m

π .

Preuve. Pour chaque classe résiduellenmodulomon compte le nombre d'indicesk tels queM+16k6M+N etk≡nmodm:

M+N

X

k=M+1

zk=

m−1

X

n=0

zn M+N

X

k=M+1

1 m

m−1

X

`=0

e

`(n−k) m

,

d'où l'égalité annoncée. Comme

|w_m(M, N, `)|6 1 mmin

N, 1

|sin(π`/m)|

,

en utilisant la convexité de la fonctiont7!(sint)⁻¹, on a (méthode des trapèzes)

m−1

X

`=1

1 sin(π`/m)6

Z m−1/2

1/2

du

sin(πu/m)=2m

π log cot π 4m62m

π log4m π ,

donc m−1

X

`=0

|wm(M, N, `)|6N m+2

πlog4m π . De plus,

N m+2

πlog4m π 6

N m

1+2

πlog4m π

=2 π

N m

log4e^π/2m π .