B142 – Carré S&P magique [*** à la main]
Les neuf entiers positifs distincts a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃, remplissent les neuf cases d’un carré 3 x 3 de sorte que :
- les produits des entiers sur une même ligne sont tous égaux au même entier P
- les sommes des entiers sur une même colonne sont tous égaux à un même nombre S qui est le plus petit nombre premier possible.
- aucun de ces entiers n’est un carré parfait.
Déterminer la liste des neuf entiers et prouver qu’elle est unique.
Solution proposée par Bernard Vignes
Lemme (L) : soit (L) la liste des neuf entiers du carré. Comme les produits des entiers situés sur une même ligne sont égaux à un même entier P, il en résulte que tout facteur premier p de P qui apparaît avec
l’exposant α se retrouve dans chacune des trois lignes. Le nombre d’entiers de (L) qui sont multiples de p est donc un multiple de 3 et le produit des entiers de (L) est divisible par p3α.
Comme on recherche un entier S le plus petit possible, il est naturel d’examiner les candidats possibles de (L) qui sont multiples des plus petits nombres premiers 2,3,5,7 sans être des carrés parfaits dans une liste (Λ) ci-après d’entiers ≤ 32:
- multiples de 3 : 3,6,12,15,18,21,24,27,30 - multiples de 5 : 5,10,15,20,25,30
- multiples de 7 : 7,14,21,28
- multiples de 2 ne figurant pas supra : 2,8,32
Il est impossible de constituer à partir de (Λ) une liste de neuf entiers qui sont multiples seulement de 2 facteurs premiers distincts. Il y a nécessairement au moins trois facteurs premiers distincts.
On retient pour commencer les trois seuls facteurs premiers 2,3 et 5 et on constate qu’à partir de (Λ) il est impossible de trouver une liste (L) qui respecte le lemme (L).
C’est ainsi que la liste {2,3,5,6,10,12,15,18,24} respecte la plupart de ces contraintes avec six multiples de 2, six multiples de 3 et trois multiples de 5 mais le produit des neuf termes est divisible par 2⁸ et 3⁷ dont les exposants 8 et 7 ne sont pas divisibles par 3. Elle est à exclure mais elle donne une bonne estimation de S ≥ somme des entiers divisée par 3 = 95/3 =31,666... D’où S ≥ 37.
Avec les trois facteurs premiers 2,3 et 7, le constat est le même avec une liste {2,3,6,7,12,14,18,21,24} qui respecte la plupart des contraintes à l’exception du produit des neuf termes qui est divisible par 3⁷. Là encore on a une estimation de S ≥ 37 .
Avec les triplets (2,5,7) et (3,5,7) il est toujours impossible un trouver une liste (L) convenable de neuf entiers.
Si l’on retient les quatre facteurs premiers, P peut prendre des valeurs multiples de 105 = 3 x 5 x 7 de la forme 105.2k. Les valeurs 210 et 420 sont à exclure car les triplets correspondants en nombre très restreint ne permettent pas d’obtenir la même somme S égale à un même nombre premier.
On retient P = 840 auquel on va associer des valeurs possibles de S au moins égales à 29 ( > 3* 8401/3) A partir de la liste (Λ), S= 29 conduit aux partitions suivantes :
29 = 2 + 3 + 24 = 2 + 7 + 20 = 2 + 12 + 15 = 3 + 5 + 21 = 3 + 8 + 18 = 3 + 12 + 14 = 5 + 10 + 14 = 7 + 8 + 12 = 7 + 10 + 12
Parmi ces neuf triplets, il est impossible d’en extraire trois qui respectent le lemme (L).
S = 31 conduit aux partitions suivantes :
31 = 2 + 5 + 24 = 2 + 8 + 21 = 2 + 14 + 15 = 3 + 7 + 21 = 3 + 8 + 20 = 3 + 10 + 18 = 5 + 6 + 20 = 5 + 8 + 18 = 5 + 12 + 14 = 7 + 10 + 14
Cette fois encore, il n’y a toujours pas de solution possible avec ces dix triplets.
S = 37 donne 18 décompositions possibles en trois entiers distincts.
37 = 2 + 3 + 32 = 2 + 7 + 28 = 2 + 8 + 27 = 2 + 10 + 25 = 2 + 14 + 21 = 2 + 15 + 20 = 3 + 7 + 27 = 3 + 10 + 24 = 3 + 14 + 20 = 5 + 7 + 25 = 5 + 8 + 24 = 5 + 12 + 20 = 5 + 14 + 18 = 6 + 7 + 24 = 6 + 10 + 21 = 7 + 10 + 20 = 7 + 12 +18 = 8 + 14 + 15 = 10 + 12 + 15
A partir de cette liste, on établit le tableau des exposants des facteurs premiers du produit des entiers qui figurent dans chaque triplet :
Il s’agit alors de trouver trois triplets tels que la somme des exposants pour chacun des facteurs premiers 2,3,5 et 7 est divisible par 3.
En se focalisant sur les triplets qui contiennent au moins un entier multiple de 7, on obtient rapidement les trois triplets (2,7,28), (5,12,20) et (6,10,21) qui donnent le carré S&P magique suivant avec S = 37 et P = 840.
Il n’y a pas d’autre solution possible.
