un nombre plus-que-parfait d’ordre 3 qui admet 2,3 et 5 comme seuls facteurs premiers

A334 Des nombres plus que parfaits.

Par convention, un entier naturel N est dit «plus-que-parfait» ou encore «multiparfait» d’ordre k, si la somme de ses diviseurs y compris 1 et lui-même est un multiple entier k > 1 de N. Pour k = 2, on retrouve les nombres parfaits bien connus 6,28,496,8128,....

Démontrer qu’un nombre plus-que-parfait d’ordre k admet au moins k facteurs premiers distincts puis sans l’aide d’un quelconque automate,démontrer qu’il existe au moins:

- un nombre plus-que-parfait d’ordre 3 qui admet 2,3 et 5 comme seuls facteurs premiers.

- un nombre plus-que-parfait d’ordre 4 qui admet 2,3,5 et 7 comme seuls facteurs premiers.

Démontrer qu’à l’inverse, il n’existe pas de nombre plus-que-parfait d’ordre 5 qui admet 2,3,5,7 et 11 comme seuls facteurs premiers.

Pour les plus courageux: retrouver le plus petit nombre plus que parfait d’ordre 5 calculé par Descartes en 1638...

Si p est un nombre premier, pour tout entier h, ( somme i de à h de p^-i ) < p/(p-1) Soit S(N) la somme des diviseurs d'un nombre N.

Si N = 2^a , S(N)/N = 1 +1/2 + .. + 2^-a < 2 Si N = 3^b , S(N)/N = 1 +1/3 + .. + 3^-b < 3/2

Si N = p^a q^b S(N)/N = (1 +1/p + .. + p^-a ) ( 1 + 1/q + .. + q^-b ) < p/(p-1) q/(q-1)

Avec des formules analogues quand le nombre de facteur premiers de N est supérieur à 2.

p/(p-1) est fonction décroissante de p, donc pour un maximum de S(N)/N, il faut que les facteurs premiers de N soient les plus petits possibles.

Si N = 2^a , S(N)/N < 2 S(N)/N < 2 Si N = 2^a 3^b , S(N)/N < 2(3/2) S(N)/N < 3 Si N = 2^a 3^b 5^c , S(N)/N < 2(3/2)(5/4) S(N)/N < 3,75 Si N = 2^a 3^b 5^c 7^d , S(N)/N < 2(3/2)(5/4)(7/6) S(N)/N < 4,375 Si N = 2^a 3^b 5^c 7^d 11^e , S(N)/N < 2(3/2)(5/4)(7/6)(11/10) S(N)/N < 4,8125 Si N = 2^a 3^b 5^c 7^d 11^e 13^f , S(N)/N < 2(3/2)(5/4)(7/6)(11/10)(13/12) S(N)/N < 5,2136

S(N)/N = 2 3 4 5

Nombre mini de facteurs prem de N

2 3 4 6

Un nombre plus-que-parfait d'ordre 2, 3 ou 4 admet au moins 2, resp 3,resp 4 facteurs premiers distincts .

Mais, déjà pour un nombre plus-que-parfait d'ordre 5, il faut prévoir au moins 6 facteurs premiers distincts. Il n’existe pas de nombre plus-que-parfait d’ordre 5 qui admet 2,3,5,7 et 11 comme seuls facteurs premiers.

D'autre part, pour p premier et p>k, on a toujours p/(p-1)< k/(k-1)<(k+1)/k, d'où k(p/p-1) < k+1, donc un nombre plus-que-parfait d’ordre k admet au moins k facteurs premiers.

k = 3, N = 2^a 3^b 5^c , S(N)/N = ( 2^a+1 -1)(( 3^b+1 -1 )/2)(( 5^c – 1)/4) / ( 2^a 3^b 5^c)

S(N)/N = 3 implique que ( 2^a+1 -1) n'ait pas d'autre facteur premier que 3 et 5, que (( 3^b+1 -1 )/2) n'ait pas d'autre facteur premier que 2 et 5, et que (( 5^c+1 -1 )/4) n'ait pas d'autre facteur premier que 2 et 3.

Or ( 2⁴ -1) = 15 , (3² – 1)/2 = 4 et (5² – 1)/4 = 6.

Un candidat est N = 2³ 3.5 = 120 , S(N)/N = 15.4.6/ 120 = 3 , c'est bon !

k =4, N = 2^a 3^b 5^c 7^d ,

S(N)/N = 4 implique que ( 2^a+1 -1) n'ait pas d'autre facteur premier que 3 , 5 et 7 que (( 3^b+1 -1 )/2) n'ait pas d'autre facteur premier que 2 , 5 et 7 que (( 5^c+1 -1 )/4) n'ait pas d'autre facteur premier que 2 , 3 et 7 et que (( que (( 7^d+1 -1 )/6) n'ait pas d'autre facteur premier que 2 , 3 et 5.

Or ( 2⁶ -1) = 63 , (3⁴ – 1)/2 = 40, (5² – 1)/4 = 6, (7² – 1)/6 = 8.

Un candidat est N = 2⁵ 3³ 5 7 = 30240 , S(N)/N = 63.40.6.8 / 30240 = 120960/30240 = 4, C'est bon !

k = 5, le site http://mathworld.wolfram.com/MultiperfectNumber.html donne la réponse :

N = 14182439040 = 2⁷ 3⁴ 5. 7. 11² 17. 19

qui utilise 7 facteurs premiers, mais pas le facteur 13.