Décomposer un nombre en facteurs premiers

Décomposer un nombre en facteurs premiers

10 = 2 X 5

30 = 2 X 3 X 5

1 000 = 2

X 5

5 040 = 2

X 3

X 5 X 7

280 = 2

X 5 X 7

Décomposer un nombre en facteurs premiers est un procédé très utile en mathématique.

Il permet :

- d’additionner, de soustraire, de multiplier et de diviser des fractions;

- de simplifier des fractions;

- de déterminer les facteurs d’un nombre;

- de déterminer les PGCF et le PPCM de deux ou plusieurs nombres;

- d’opérer les fractions rationnelles;

- d’utiliser les lois sur les exposants;

- d’extraire les racines d’un nombre;

- etc.

Pour décomposer un nombre sous la forme de facteurs premiers, il faut connaître les notions suivantes.

- Qu’est-ce qu’un nombre premier ?

- Qu’est-ce qu’un facteur ?

- Qu’est-ce qu’un exposant ?

- Qu’est-ce qu’un facteur premier ?

Nombre premier

Un nombre premier est un nombre qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.

C’est un nombre qui ne peut pas être décomposé en entiers plus petits.

Exemples : 2 est un nombre premier, car il n’a que deux diviseurs : 2 ÷ 1 = 2 2 ÷ 2 = 1

3 est un nombre premier, car il n’a que deux diviseurs : 3 ÷ 1 = 3 3 ÷ 3 = 1

2 et 3 ne peuvent pas être décomposés en entiers plus petits.

6 n’est pas un nombre premier, car il a plus que 2 diviseurs : 6 ÷ 6 = 1 6 ÷ 1 = 6 6 ÷ 2 = 3

6 n’est pas un nombre premier, car il peut être décomposé en entiers plus petits :

2 et 3, et

et

6 ÷ 3 = 2

car 6 = 2 X 3

Il existe plusieurs nombres premiers.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Voici la liste des nombres premiers plus petits que 100 :

Voici un nombre premier très grand :

95 647 806 479 275 528 135 733 781 266 203 904 794 419 563 064 407.

43 112 609

2 - 1

Voici le plus grand nombre premier découvert jusqu’à aujourd’hui (2 008) :

Il faut 13 millions de chiffres pour l’écrire.

Heureusement, pour nos calculs, nous n’aurons pas besoin de tous les connaître !

Facteurs

La réponse d’une multiplication s’appelle : produit.

Exemple : 6 X 4 = 24

24 est le produit de 6 X 4 Les nombres multipliés ensemble s’appellent :

6 X 4 = 24

facteur

x

=

24 peut être décomposé de plusieurs façons :

1 X 24 2 X 12 3 X 8 4 X 6

Les facteurs de 24 sont : { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 , 24 }

Facteurs premiers

Un facteur premier est un nombre premier utilisé comme facteur.

Exemple : 2 X 3 = 6

facteur facteur

2 et 3 sont deux facteurs de 6;

Ce sont donc des facteurs premiers.

ils sont aussi des nombres premiers.

Décomposons 12 en facteurs premiers : 12 = 4 X 3

4 est un facteur, mais il n’est pas premier;

alors décomposons encore.

12 = 4 X 3

2 X 2 2 est un nombre premier, donc un facteur premier.

12 décomposé en facteurs premiers s’écrit : 2 X 2 X 3

12 = 2 X 2 X 3

3 est un nombre premier, donc un facteur premier;

Remarque : La première étape aurait pu être 12 = 2 X 6.

12 = 2 X 6

6 est un facteur, mais il n’est pas premier;

alors décomposons encore.

12 = 2 X 6

2 X 3 3 est un nombre premier, donc un facteur premier.

12 décomposé en facteurs premiers s’écrit : 2 X 2 X 3 12 = 2 X 2 X 3

Remarque : Peu importe par quels facteurs la décomposition du nombre débute, nous obtiendrons toujours le même regroupement de facteurs premiers.

12 = 4 X 3 = 2 X 2 X 3 12 = 2 X 6 = 2 X 2 X 3

2 est un nombre premier, donc un facteur premier;

Dans une multiplication, les facteurs peuvent être

permutés

12 = 2 X 2 X 3 12 = 3 X 2 X 2 12 = 2 X 3 X 2 Remarque :

Décompose 36 en facteurs premiers :

36 = 2 X 18

36 = 2 X 2 X 3 X 3 Remarque

De préférence, les facteurs premiers s’écrivent en ordre croissant.

36 = 2 X 3 X 2 X 3 36 = 2 X 2 X 3 X 3 36 = 2 X 3 X 6

36 = 2 X 3 X 2 X 3

Exposant

Un exposant est un nombre qui indique combien de fois un facteur se multiplie par lui-même.

Exemple :

2

Ainsi

2

= 2 X 2 X 2

3

= 3 X 3 X 3 X 3 X 3

10

= 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10

À l’inverse,

5 X 5 X 5 X 5 = 5

Remarque

Certaines calculatrices afficheront

5^4

5

(Il est écrit plus petit et placé en haut à droite du facteur.)

5

₌ ⁵

Il existe plusieurs facteurs premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc.

Pour nos besoins de calcul, trois facteurs sont particulièrement intéressants :

2 3 5

Tous les nombres pairs se divisent par 2.

Tous les nombres se terminant par 5 et 10 se divisent par 5.

36 ÷ 2 = 18 18 ÷ 2 = 9 72 ÷ 2 = 36

125 ÷ 5 = 25 25 ÷ 5 = 5 100 ÷ 5 = 20 20 ÷ 5 = 4

Le facteur 3 est un peu spécial.

Si la somme des chiffres composant le nombre est un multiple de 3, alors le nombre se divise par 3.

Exemple : 126 est-il divisible par 3 ?

1 + 2 + 6 = 9 126 ÷ 3 = 42

42 est-il divisible par 3 ?

4 + 2 = 6 42 ÷ 3 = 14

14 est-il divisible par 3 ?

1 + 4 = 5 14 ÷ 2 = 7

Oui,

Oui,

Non,

Remarque : Tu peux utiliser ta calculatrice pour décomposer ! mais par 2, oui.

On peut maintenant commencer.

Décompose en facteurs premiers les nombres suivants.

36 = 2

3 X 6

2 X 3 36 =

X 18

36 = 2 X 2 X 3 X 3 36 = 2² X 3²

225 = 5

5 X 9

3 X 3 225 =

X 45

225 = 3 X 3 X 5 X 5 225 = 3² X 5²

100 = 2

5 X 10 2 X 5 100 =

X 50

100 = 2 X 2 X 5 X 5 100 = 2² X 5²

140 = 2

2 X 35 5 X 7 140 =

X 70

140 = 2² X 5 X 7

210 = 2

5 X 21 3 X 7 210 =

X 105

210 = 2 X 3 X 5 X 7

260 = 2

2 X 65

5 X 13 260 =

X 130

260 = 2² X 5 X 13

Déterminer les facteurs d’un nombre

Écrire un nombre en facteurs premiers permet de déterminer les différents facteurs d’un nombre.

Exemple : 24 = 2

2 X 6

2 X 3 24 =

X 12

En regroupant ces facteurs premiers de manières différentes, on obtient les différents facteurs de 24.

24 = ( 2 ) X ( 2 X 2 X 3 ) 24 = 2 X 12

24 = 4 X 6 24 = ( 2 X 2 ) X ( 2 X 3 )

24 = 8 X 3 24 = ( 2 X 2 X 2 ) X 3

24 = 24

24 = ( 2 X 2 X 2 X 3 )

X 1 Les facteurs de 24 sont : { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 , 24 }

Donne les différents facteurs de 1 000.

1 000 =

2 X 5

10 X 10 X 10

2 X 5 2 X 5

X X

1 000 =

1 000 = 2 X 2 X 2 X 5 X 5 X 5

{ 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000 }.

1 000 = 2 X 2 X 2 X 5 X 5 X 5

1 000 = 2 X ( 2 X 2 X 5 X 5 X 5 ) 1 000 = 2 X 500

1 000 = ( 2 X 2 ) X ( 2 X 5 X 5 X 5 ) 1 000 = 4 X 250

1 000 = ( 2 X 2 X 2 ) X ( 5 X 5 X 5 ) 1 000 = 8 X 125

1 000 = ( 2 X 2 X 2 X 5 ) X ( 5 X 5 ) 1 000 = 40 X 25

1 000 = ( 2 X 2 X 2 X 5 X 5 ) X 5 1 000 = 200 X 5

1 000 = ( 2 X 5 ) X ( 2 X 2 X 5 X 5 ) 1 000 = 10 X 100

1 000 = ( 2 X 2 X 5 ) X ( 2 X 5 X 5 ) 1 000 = 20 X 50

1 000 = ( 2 X 2 X 2 X 5 X 5 X 5 ) X 1

Facteurs de 1 000 :

1 000 = 1 000 X 1

Tu découvriras dans la poursuite de ta formation en

mathématique que décomposer un nombre en facteurs

premiers est un procédé utilisé dans plusieurs autres

domaines.