A122 – Le plus petit nombre qui a 2004 diviseurs
Solution
Q1 Le plus petit nombre qui a exactement 2004 diviseurs y compris 1 et lui-même
2004 se décompose en facteurs premiers de la manière suivante : 167
* 3
*
22 =(p+1)*(q+1)*(r+1) avec p=3,q=2 et r=166.
Le nombre cherché N se décompose en facteurs premiers sous la forme générale : ...
d c b a
N w x y z avec a, b ,c, d… facteurs premiers. Le nombre de diviseurs de N est (w+1)*(x+1)*(y+1)*(z+1)*….
N est donc égal à 2166.33.52
Q2 Le plus petit nombre qui a exactement 2004 diviseurs en excluant 1 et lui-même
Le nombre cherché a donc 2006 diviseurs y compris 1 et lui-même. 2006 se décompose en facteurs premiers de la manière suivante : 2*17*59=(p+1)*(q+1)*(r+1) avec p=1, q=16 et r=58.
D’où N = 258.316.5
