A334 – Des nombres plus-que-parfaits [*** à la main]
Par convention, un entier naturel N est dit « plus-que-parfait » ou encore « multiparfait » d’ordre k, si la somme de ses diviseurs y compris 1 et lui-même est un multiple entier k > 1 de N. Pour k = 2, on retrouve les nombres parfaits bien connus 6,28,496,8128,....
Démontrer qu’un nombre plus-que-parfait d’ordre k admet au moins k facteurs premiers distincts puis sans l’aide d’un quelconque automate,démontrer qu’il existe au moins :
- un nombre plus-que-parfait d’ordre 3 qui admet 2,3 et 5 comme seuls facteurs premiers.
- un nombre plus-que-parfait d’ordre 4 qui admet 2,3,5 et 7 comme seuls facteurs premiers.
Démontrer qu’à l’inverse, il n’existe pas de nombre plus-que-parfait d’ordre 5 qui admet 2,3,5,7 et 11 comme seuls facteurs premiers.
Pour les plus courageux : retrouver le plus petit nombre plus que parfait d’ordre 5 calculé par Descartes en 1638...
Solution proposée par Daniel Collignon
Un nombre plus-que-parfait d’ordre k admet au moins k facteurs premiers distincts.
Par l'absurde, supposons que n=prod(i=1..k-1; p_i^q_i)
sigma(n)/n = prod(i=1..k-1; (1+p_i+p_i^2+...+p_i^q_i)/p_i^q_i) sigma(n)/n = prod(i=1..k-1; (1+1/p_i+1/p_i^2+...+1/p_i^q_i))
sigma(n)/n < prod(i=1..k-1; 1/(1-1/p_i)) = prod(i=1..k-1; p_i/(p_i-1)) sigma(n)/n < prod(i=1..k-1; (i+1)/i)
sigma(n)/n < k
pqf d'ordre 3 : 120 = 2^3*3*5
pqf d'ordre 4 : 30240 = 2^5*3^3*5*7
En supposant qu'un pqf d'ordre 5 existe avec les seuls facteurs premiers 2, 3, 5, 7 et 11, le même raisonnement montre que sigma(n)/n <
(2/1)(3/2)(5/4)(7/6)(11/10) = 77/16 < 5.
pqf d'ordre 5 découvert par Descartes : 14 182 439 040 = 2^7*3^4*5*7*11^2*17*19 Voir http://mathworld.wolfram.com/MultiperfectNumber.html
