Universit´e Paris Diderot Arithm´etique
Master de Math´ematiques Ann´ee 2010-11
L. Merel
EXAMEN du 22 juin 2011
Dur´ee : 3 h
L’usage de tout appareil ´electronique et de tout document autre que des notes de cours est interdit.
Soit ζ = e2iπ/11 ∈ C. Pour n ∈ Z, on note
n 11
le symbole de Legendre de n modulo 11. Posons
S=P12 n=1
n 11
ζn. Notons Q(µ11) le corps cyclotomique engendr´e parζ. NotonsZ[µ11] le sous-anneau de Q(µ11) engendr´e parζ.
On admet que 2011 est un nombre premier. SoitMun id´eal maximal deZ[µ11] contenant 2011. Notons Fle corps quotientZ[µ11]/M. Notonsφl’applicationF→Fqui `a xassociexp. Notons ζ2011 l’image deζ dansF. NotonsS2011l’image de S dansF.
Pours∈C, on poseL(s) =P
n≥1,116|n
n 11
n−s, lorsque cette s´erie converge.
1. Donner la liste des carr´es dans (Z/11Z).
2. Le nombre premier 2011 est-il un carr´e modulo 11 ? L’entier 11 est-il un carr´e modulo 2011 ? 3. Quelle est la densit´e de l’ensemble des nombres premierptels que 11 est un carr´e modulop?
4. Quelle est la densit´e de l’ensemble des nombres premiers ptels que 11 est un carr´e dans un corps `a p2
´
el´ements ? 5. CalculerS2.
6. D´eterminer le signe de la partie imaginaire deS. En d´eduireS.
7. Quels sont les sous-groupes de (Z/11Z)∗ ?
8. En d´eduire les sous-corps du corps cyclotomiqueQ(µ11).
9. Lesquels de ces corps sont contenus dansR?
10. Y a-t-il un corps quadratique parmi ces sous-corps ? 11. Montrer queS∈Z[µ11].
12. Quelle est la caract´eristique du corpsF? Quel est son nombre d’´el´ements ? 13. Montrer que l’ensemble des ´el´ements fixes deFparφest un corps `a 2011 ´el´ements.
14. Montrer queφ(S2011) =
2011 11
S2011.
15. Montrer queS2011 appartient `a un sous-corps `a 20112 ´el´ements deF. Retrouver ainsi que 11 n’est pas un carr´e modulo 2011.
16. Rappeler pourquoi la s´erie L converge absolument lorsque s est un nombre complexe de partie r´eelle
>1.
17. ´EcrireLcomme un produit portant sur les nombres premiers.
18. Existe-t-il σ0 ∈ R, σ0 <1 tel que L se prolonge en une fonction holomorphe (encore not´ee L) sur le demi-plan{s∈C/<(s)> σ0}?
19. A-t-on alorsL(1) = 0 ? 20. CalculerL(1).
