Partie 3 : conjugué d’un nombre complexe

COMPLEXES (point de vue algébrique)

Je connais la définition de l’ensemble ℂ des complexes.

Je connais la définition de la forme algébrique d’un complexe (parties réelle et imaginaire).

Je maîtrise les formes algébriques de sommes, différences et produits dans ℂ.

Je maîtrise les formes algébriques de quotients dans ℂ.

Je gère ma calculatrice.

Je connais la notion de conjugué d’un complexe.

Je maîtrise les propriétés sur les conjugués.

Je sais résoudre une équation du 1^er degré en 𝑧 dans ℂ.

Je sais résoudre une équation du 1^er degré en 𝑧 et 𝑧̅ dans ℂ.

Je maîtrise la formule du binôme de Newton.

Carte mentale :

COMPLEXES (ALGEBRE)

Ce que je trouve le plus difficile dans ce chapitre :

…

…

Partie 1 : définitions

Définition : ensemble des nombres complexes

On définit l’ensemble des nombres complexes, noté ℂ, par :

• la définition d’un nombre noté 𝑖 tel que 𝑖^% = −1

• ℂ est l’ensemble des nombres qui s’écrivent 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 (avec 𝑎 et 𝑏 réels).

• ℂ possède une addition et une multiplication qui prolongent celles de ℝ, avec les mêmes propriétés.

Remarque : en sciences physiques, on utilise la lettre j.

Définition : forme algébrique d’un nombre complexe

Soit 𝑧 un nombre complexe de la forme 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 (avec 𝑎 et 𝑏 réels).

Cette écriture s’appelle la forme algébrique de 𝑧.

𝑎 est la partie réelle de 𝑧, notée 𝑅𝑒(𝑧) et 𝑏 est la partie imaginaire de 𝑧, notée 𝐼𝑚(𝑧).

Exemple : 𝑧 = 2 − 3𝑖 ⟺ 6 𝑅𝑒(𝑧) = 2 𝐼𝑚(𝑧) = −3

Ainsi, tout nombre complexe est composé d’une partie réelle et d’une partie imaginaire.

Cas particuliers :

• si 𝑏 = 0, on a 𝑧 = 𝑎. Donc 𝑧 est réel

• si 𝑎 = 0, on a 𝑧 = 𝑏𝑖. On dit que 𝑧 est un imaginaire pur. On note 𝑖ℝ cet ensemble.

Remarque : les réels sont donc des nombres complexes (avec une partie imaginaire nulle). On a : ℝ ⊂ ℂ.

Dans toute la suite du cours, 𝑧 et 𝑧′ sont deux complexes tels que 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 et 𝑧’ = 𝑎’ + 𝑏’𝑖

Partie 2 : calculs dans ℂ

Les calculs s’effectuent comme avec des réels, sauf que l’on remplace 𝑖^% par −1.

On retrouve donc le même fonctionnement pour la commutativité, l’associativité, le développement, la factorisation, les identités remarquables, etc…

A noter que les calculatrices scientifiques gèrent les calculs dans ℂ.

Égalité :

𝑧 = 0 ⟺ 𝑎 = 0 et 𝑏 = 0 𝑧 = 𝑧′ ⟺ =𝑎 = 𝑎𝑏 = 𝑏′^>

Remarque fondamentale : l’écriture sous forme algébrique est unique.

Somme :

𝑧 + 𝑧’ = (𝑎 + 𝑎’) + (𝑏 + 𝑏’)𝑖 Produit :

𝑧 × 𝑧^> = (𝑎 + 𝑖𝑏)(𝑎^>+ 𝑖𝑏^>) = 𝑎𝑎^> − 𝑏𝑏^> + (𝑎𝑏^> + 𝑎^>𝑏)𝑖

Exemple : soient 𝑧 = 2 + 3𝑖 et 𝑧^> = 4 − 𝑖.

Alors 𝑧 + 𝑧^> = (2 + 3𝑖) + (4 − 𝑖) = (2 + 4) + (3 − 1)𝑖 = 6 + 2𝑖

De plus, 𝑧𝑧^> = (2 + 3𝑖)(4 − 𝑖) = 8 − 2𝑖 + 12𝑖 − 3𝑖^% = 8 + 10𝑖 + 3 = 11 + 10𝑖 Inverse :

^C_D =_EFGH^C = (EFGH)(EIGH)^EIGH =_E^EIGH_JFHJ = _EJ^E_FHJ+ 𝑖_EJ^IH_FHJ

Remarque : l’intérêt est de ne plus avoir de i au dénominateur. Cette technique est identique à celle utilisée pour supprimer les racines carrées du dénominateur.

Application aux quotients :

D

D>= ^EFGH

E^KFGH>= _(E^(EFGH)LE_K ^KIGHKM

FGH>)(E^KIGH^K)= ^{EEKFGEKHIGEHKFHHK}

E^KJFH^KJ =^EEKFHH>

E^KJFH^KJ+ 𝑖 ^EKHIEHK

E^KJFH^KJ Exemple : écrire sous forme algébrique :

• _%FNG^C =(%FNG)×(%ING)^C×(%ING) On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué (voir Partie 3)) du dénominateur…

= _%J^%ING_I(NG)J … l’idée étant de se retrouver avec l’identité remarquable (𝑢 − 𝑣)(𝑢 + 𝑣) = 𝑢^%− 𝑣^%.

= ^%ING_QFR =^%ING_CN = _CN^% −_CN^N 𝑖 On pense à bien découper parties réelle et imaginaire à la fin.

• ^NI%G_CIG =(NI%G)(CFG)

(CIG)(CFG) =^NFNGI%GI%G_CJIGJ ^J= ^NFGF%_CFC = ^SFG_% = ^S_%+^C_%𝑖

Partie 3 : conjugué d’un nombre complexe

Définition : conjugué d’un complexe

Tout nombre complexe 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 admet un conjugué noté 𝑧̅ tel que : 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑖𝑏.

Exemples : si 𝑧 = 2 + 3𝑖 alors 𝑧̅ = 2 − 3𝑖 ; si 𝑧 = −1 − 5𝑖 alors 𝑧̅ = −1 + 5𝑖 Cas particuliers : si 𝑧 = 4alors 𝑧̅ = 4, si 𝑧 = 2𝑖 alors 𝑧̅ = −2𝑖.

Propriétés : propriétés du conjugué

(1) 𝑧 × 𝑧̅ = 𝑎^%+ 𝑏^% (2) 𝑧̅̅ = 𝑧 (3) 𝑅𝑒(𝑧) =^UFD̅_% (4) 𝐼𝑚(𝑧) =^DID̅_%G (5) 𝑧 + 𝑧′VVVVVVVV = 𝑧̅ + 𝑧′W (6) 𝑧 × 𝑧′VVVVVVV = 𝑧̅ × 𝑧′W

(7) XVVVVV_D^D_KY=_D>W^D̅ (avec 𝑧′ ≠ 0) (8) XVVVV^C_DY= ^C_D̅ (avec 𝑧 ≠ 0) (9) (𝑧VVVVVV = (𝑧̅)^[) ^[ pour tout entier 𝑛.

Démonstrations :

(1) 𝑧 × 𝑧̅ = (𝑎 + 𝑖𝑏)(𝑎 − 𝑖𝑏) = 𝑎^% + 𝑖𝑎𝑏 − 𝑖𝑎𝑏 − 𝑖^%𝑏^% = 𝑎^%+ 𝑏^% (2) à (9) en vidéo

Partie 4 : équations du 1

degré

a) Équations du 1^er degré en 𝒛

Méthode : on résout ce type d’équation comme on le ferait dans une inconnue 𝑥 ∈ ℝ.

Exemple : résoudre dans ℂ l’équation 3𝑖𝑧 + 2 = −2𝑧 + 1 + 5𝑖 3𝑖𝑧 + 2 = −2𝑧 + 1 + 5𝑖 ⟺ 3𝑖𝑧 + 2𝑧 = 1 − 2 + 5𝑖

⟺ 𝑧(2 + 3𝑖) = −1 + 5𝑖 ⟺ 𝑧 =^ICFSG_%FNG

On peut ensuite mettre le 𝑧 trouvé sous forme algébrique comme vu plus haut et on trouve : 𝑧 = 1 + 𝑖.

Donc 𝑆 = {1 + 𝑖}

b) Équations du 1^er degré en 𝒛 et 𝒛V

Méthode : l’idée ici est de décomposer 𝑧 et 𝑧̅ sous forme algébrique pour déterminer (à l’aide d’un système d’équations) leurs parties réelle et imaginaire communes.

Exemple : résoudre dans ℂ l’équation 3𝑧 + 2 − 𝑖 = 𝑖𝑧̅ + 4 Posons 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦. Alors 𝑧̅ = 𝑥 − 𝑖𝑦.

Ainsi 3𝑧 + 2 − 𝑖 = 𝑖𝑧̅ + 4 ⟺ 3(𝑥 + 𝑖𝑦) + 2 − 𝑖 − 𝑖(𝑥 − 𝑖𝑦) − 4 = 0

⟺ 3𝑥 + 3𝑖𝑦 + 2 − 𝑖 − 𝑖𝑥 + 𝑖^%𝑦 − 4 = 0

⟺ 3𝑥 + 2 − 𝑦 − 4 + 3𝑖𝑦 − 𝑖 − 𝑖𝑥 = 0

⟺ 3𝑥 − 𝑦 − 2 + 𝑖(3𝑦 − 𝑥 − 1) = 0

⟺ 63𝑥 − 𝑦 − 2 = 0 (𝐿_C)

−𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0(𝐿_%)En effet, deux complexes sont égaux lorsque leurs parties réelles et imaginaires sont égales entre elles.

Résolution par combinaison : 6 3𝑥 − 𝑦 − 2 = 0 (𝐿_C)

−3𝑥 + 9𝑦 − 3 = 0(3𝐿_%) ⟺ 6

8𝑦 − 5 = 0(𝐿_C+ 3𝐿_%) 𝑥 = 3𝑦 − 1(𝐿_%) ⟺ f 𝑦 =^S_g = 0,625

𝑥 = 3𝑦 − 1 =ⁱ_g= 0,867 𝑆 = =Xⁱ_g;^S_gYl Donc 𝑧 =ⁱ_g+^S_g𝑖

Remarque : dans ℂ, la notion d’ordre n’a pas de sens, donc pas de résolution d’inéquations.

Partie 5 : binôme de Newton Propriété : binôme de Newton.

Pour tous nombres complexes 𝑎 et 𝑏, pour tout 𝑛 entier naturel non-nul, on a : (𝑎 + 𝑏)^[ = m X𝑛

𝑘Y 𝑎^[Io𝑏^o

[

opq

Démonstration : par récurrence > voir feuille d’exercices

Exemples : (𝑎 + 𝑏)^N = X30Y 𝑎^N+ X31Y 𝑎^%𝑏 + X32Y 𝑎𝑏^%+ X33Y 𝑏^N = 𝑎^N+ 3𝑎^%𝑏 + 3𝑎𝑏^%+ 𝑏^N Ainsi (𝑥 + 2)^N = 𝑥^N+ 6𝑥^%+ 12𝑥 + 8

On a aussi (2 + 𝑖)^N = 2^N𝑖^q+ 3 × 2^%𝑖^C+ 3 × 2^C𝑖^%+ 2^q𝑖^N = 8 + 12𝑖 − 6 − 𝑖 = 2 + 11𝑖

Corollaire : pour tous nombres complexes 𝑎 et 𝑏, pour tout 𝑛 entier naturel non-nul, on a : (𝑎 − 𝑏)^[ = m(−1)^oX𝑛

𝑘Y 𝑎^[Io𝑏^o

[

opq

Exemple : (𝑎 − 𝑏)^S = X5

0Y 𝑎^S− X5

1Y 𝑎^Q𝑏 + X5

2Y 𝑎^N𝑏^%− X5

3Y 𝑎^%𝑏^N+ X5

4Y 𝑎𝑏^Q− X5 5Y 𝑏^S = 𝑎^S− 5𝑎^Q𝑏 + 10𝑎^N𝑏^%− 10𝑎^%𝑏^N+ 5𝑎𝑏^Q− 𝑏^S

Ainsi (1 − 𝑖)^S = 1^S𝑖^q− 5 × 1^Q𝑖^C+ 10 × 1^N𝑖^%− 10 × 1^%𝑖^N+ 5 × 1^C𝑖^Q− 1^q𝑖^S = 1 − 5𝑖 − 10 + 10𝑖 + 5 − 𝑖 = −4 + 4𝑖

Remarque : on peut utiliser le triangle de Pascal pour trouver les premiers coefficients binomiaux X𝒏 𝒑Y.

𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔

𝟎 1

𝟏 1 1

𝟐 1 2 1

𝟑 1 3 3 1

𝟒 1 4 6 4 1

𝟓 1 5 10 10 5 1

𝟔 1 6 15 20 15 6 1

Dans le tableau : 𝟑 + 𝟑 = 𝟔 𝟏𝟎 + 𝟓 = 𝟏𝟓 On retiendra : X𝑛

𝑝Y + X 𝑛

𝑝 + 1Y = |𝑛 + 1 𝑝 + 1}

𝒏 𝒑