2) REPRESENTATION GEOMETRIQUE c . 1)Definition Forme algébrique d’un nombre complexe Nombres complexes

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Nombres complexes Forme algébrique d’un nombre complexe 1)Definition

Il existe un ensemble de nombres, appelé ensemble des nombres complexes et noté c, vérifiant les propriétés suivantes :

1. c contient IR

2. c contient un nombre noté i vérifiant i² 1

3. L'addition et la multiplication ont les même propriétés de calcul dans c et dans IR.

Propriétés : Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique sous la forme z aib, a^et b étant deux réels.

a est la partie réelle de z : aRe(z) et b est la partie imaginaire dez: b = Im(z) ib

a

z  est la forme algébrique de z

Operations dans c . Pour tous réelsa,b,a' et b' Addition .(aib)(a'ib')(aa')i(bb').

Multiplication (aib).(a'ib')(aa'bb')i(ab'ba') .

Inverse d’un complexe non nul. Si de plus a0 etb0 : _{2 2}

) (

. 1 1

b a

ib a ib

a ib

a 

 





 

 (a ib)

ib) (a

Conjugué : On appelle conjugué du nombre complexe zaib le nombre complexe noté z , défini par zaib

zest réel si et seulement si z z, zest imaginaire pur si et seulement si zz. Propriétés :

) 2

Re( z z

z

a   et

) 2

Im( z z

z

b  

« Le conjugué marche bien avec tout » :

Pour tous nombres complexes z et z' _et nIN _: zz'zz' _; z.z'z.z' et zⁿ zⁿ

Pour tout nombre complexe non nul z,

z z

1 1



 



 et

z z z z' '



 





Exemple. Pour a réel et z complexe z

ai z

ai 2 5 2

5     ; (a3i)²(1ai)⁷ (a3i)²(1ai)⁷

et ₃

4 3 4 3

) 1 (

) 3 1 ( 1

3 1

z i

aiz z

iz z ai z





 



 











.

2) REPRESENTATION GEOMETRIQUE

Mr Raouf Ben Mansour Complexes Bac sx et T Page 2 Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (o,u,v)

 A tout nombre complexe zaib est associé l'unique point M(a,b) On dit alors que z est l'affixe de M. on note z_M

 A tout vecteur du plan 



 







w  est associé un unique

nombre complexez  i

w   l’affixe dew

 Si I A*B_alors

2

B A I

z

z z 



 Siw0 w v,

sont colinéaires

w v

z

 z est réel

w v

_w

v

z

 z est imaginaire pure

Opposé, conjugué d’un nombre complexe Affixe du vecteur AB

z est réel M( z ) est sur l'axe des abscisses.

z0,z est imaginaire pure M( z ) est sur l'axe des ordonnées privé de l’origine.

L’affixe du vecteur ABest _{B A}

AB z z

z  

v u v

u z z

z_{ }  

Forme trigonométrique d’un nombre complexe

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (o,u,v)

1)Module :

a

b M(z=a+ib)

RBM

0 1

1

x y

u v

RBM

0 1

1

x y

O

Mr Raouf Ben Mansour Complexes Bac sx et T Page 3 Def Soit M_(zxiy) le module dezest :

2

2 y

x r OM

z    

Prop : zz z² Si les points A_{( )}

zA et B_{( )}

zB alors AB= z_Bz_A

«Le module marche bien avec la multiplication»

Pour tous nombres complexes z et z' _et IN

n _: z.z'  z.z' _et zⁿ  zⁿ

Pour tout nombre complexe non nul z, z z

1 1 

et

z z z

z'  '

«Le module ne marche pas bien avec l’addition»

Pour tous nombres complexes z et z^′,

'

' z z

z

z   (inégalité triangulaire)

Exemple.



 

 

 



Pour a réel 1

) ( 1

1 1

1

2

2 





 





a a ai

ai ;

2)Argument d’un nombre complexe non nul:

Soit z0 et M(z) On appelle argument de z une mesure en radian de l’angle orienté



) , (u OM

 

 ( , )2 arg





 u OM

z

Prop : Pourz₁et z₂ non nuls et n

 arg(z₁.z₂)argz₁.argz₂k2

 arg arg ₁ 2

1

1 z k

z  

 arg( ) arg ₂ arg ₁ 2

1

2 z z k

z

z   

 argz₁ⁿnargz₁k2 . .

Exemple

Z 5 -3 2i -4i 1+i -1-i -1+i argz

RBM

0 1

1

x y

u v

O A

M

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3)Forme trigonométrique et exponentielle

Forme Ecriture de z

Algébrique xiy Polaire  r,

Trigonométrique r(cos isin)

Exponentielle re^i

2

2 y

x z

r  

z

arg

 est tel que :

r

 x



cos et

r

 y

 sin

Les points remarquables du cercle trigonométrique

r

(z=x+iy)

RBM

0 1

1

x y

u v

M

x y

O

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4)Vision géométrique

affixe d’un vecteur

A

AB zB z

z  

Longueur d’un segment

AB= z_B z_A

angle entreu et AB (u,^AB)arg(z_Bz_A)k2

angle entre deux vecteurs

 2 arg

arg ) arg(

) ,

( z z k

z z w

v w v

v

w   





 2 ) arg(

) ,

( k

z z

z CD z

AB

A B

C

D 



 



Racine n^ieme et Le second degré

cherche z une racine carré( resp 3^ieme) de Z revient a résoudre l’équation : z²=Z (resp z³=Z)

^{2 2}

 i

i z ae

e a a z









     ^{ n }

i k i n

n a ae z ae

z







2

Pour résoudre l’équationaz² bzc0 , a,bet cétant des nombres complexes ,avec

0

a , on calcule le discriminantb² 4ac puis on cherche une racine carré de

 ^

 ² les solutions sont

a z b

a z b

' 2 ' 2 ;

'      Conséquences

^{az2 bzca(zz')(zz'')}

a z b z

S  ' '' 

a z c z P '. ''

m z P est solution autre

l alors solution une

est m z

Si ' ' ''

A

B

A

B

A

B

u

v w

a z c et z alors c

b a

Si   0 '1 ''

a z c et z

alors c

b a

Si   0 '1 '' 