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Chapitre VII : LES NOMBRES COMPLEXES
I - Ecriture algébrique des nombres complexes
1) Définition
Définition 1 :
On admet qu’il existe un ensemble de nombres, noté ℂ, vérifiant les propriétés suivantes : - ℂ contient un nombre noté i tel que i² = −1 ;
- Tous les éléments de ℂ s’écrivent de manière unique sous la forme + i où et sont des nombres réels ;
- ℂ est muni de l’addition et de la multiplication avec les mêmes propriétés que dans l’ensemble des réels ;
Cet ensemble ℂ est appelé l’ensemble des nombres complexes.
Vocabulaire : L’écriture sous la forme = + i où et sont des nombres réels est appelée écriture algébrique du nombre complexe .
Le nombre s’appelle la partie réelle de et on note = (). Le nombre s’appelle la partie imaginaire de et on note = (). Remarques :
1) Les réels sont des complexes particuliers (complexes dont la partie imaginaire est nulle) : ℝ ⊂ ℂ 2) Les complexes dont la partie réelle est nulle sont appelés imaginaires purs, on note ℝ leur ensemble.
L’unicité de l’écriture algébrique conduit au résultat suivant : Propriété 1 :
Pour tous réels , , et ′ ∶
1) + i = + i⇔ = et = ′ 2) + i = 0 ⇔ = 0 et = 0
On définit l’addition et la multiplication des complexes de la façon suivante : Propriété 2 :
Notons = + i et = + i deux nombres complexes.
1) + = + i + + i′ = + ′ + i + ′
2) × ’ = + i+ i′ = + i+ i+ = − + i+
Remarque :
On retrouve également dans ℂ la propriété suivante : × ’ = 0⇔ = 0 ou = 0
Propriété 3 :
Le nombre complexe = + i avec ; ≠ 0; 0 admet pour inverse le nombre complexe dont l’écriture algébrique est donnée par :
1
= − i
² + ² =
² + ² + i −
² + ²
2 2) Complexe conjugué
Définition 2 :
On appelle conjugué du nombre complexe dont l’écriture algébrique est donnée par = + i, le nombre complexe noté ̅ dont l’écriture algébrique est donnée par ̅ = − i.
Exemples :
5 + 3i = 5 − 3i ; 2i = −2i ou encore −3 = −3 Propriété 4 :
Soient et ’ deux nombres complexes et ( ∈ ℕ∗.
̿ = ---- = + ′--- = + ′. × ′--- = × ′. / = / Si de plus et ’ sont non nuls :
01 1 =1
2
′3 =
′.
Conséquence pratique pour étudier la nature d’un nombre : 1) est un nombre réel ⇔ ̅ =
2) est un imaginaire pur ⇔ ̅ = − ⇔ ̅ + = 0 Remarque :
̅ = ( + )( + i) = ( + i)( − i) = ² − (i) = + ² Le produit d’un complexe par son conjugué est donc un réel positif.
3) Module d’un nombre complexe Définition 3 :
On appelle module du nombre complexe dont l’écriture algébrique est donnée par = + i, le nombre réel positif noté || égal à 5 + ².
Exemple :
|3 − 2i| = 53² + −2 = √13 Propriété 5 :
Soient et ’ deux nombres complexes et ( ∈ ℕ∗.
||² = ̅ |̅| = || |−| = || | × ′| = || × |′| |/| = ||/
| + ′| ≤ || + |′| (inégalité triangulaire) Si de plus ’ est non nul :
8
′8 = ||
|′|
3 II - Équations du second degré dans ℂ
Théorème 1 : Soient , et 9 trois réels avec ≠ 0. Notons ∆= ² − 49 le discriminant de l’équation
² + + 9 = 0. Trois cas se présentent :
Si ∆> 0, l’équation admet deux solutions réelles distinctes : = = − + √∆
2 et =− − √∆
2 Si ∆= 0, l’équation admet une solution réelle double :
> = − 2
Si ∆< 0, l’équation admet deux solutions complexes conjuguées : = = − + i√−∆
2 et =− − i√−∆
2 = =
Exemple : Résoudre dans ℂ l’équation ² − 2 + 4 = 0 III - Représentation géométrique
Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (@; ABC, DC). On parle de plan complexe.
1) Affixe d’un point – Affixe d’un vecteur Définition 4 :
Soit = + i un nombre complexe avec et réels.
Le point E de coordonnées ; dans le repère @; ABC, DC est appelé image du nombre complexe . Le nombre complexe est appelé affixe du point E.
Remarque :
À tout point E du plan est associé un unique nombre complexe et réciproquement.
Conséquences graphiques :
Les points E et E’ d’affixes respectives et sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
Les points E et E′′ d’affixes respectives et − sont symétriques par rapport à l’origine @ du repère.
Définition 5 :
Soit = + i un nombre complexe avec et réels.
Le vecteur FBBC de coordonnées ; dans le repère @; ABC, DC (autrement dit : FBBC = ABC + DC ) est appelé vecteur image du nombre complexe . Il en est de même pour tout représentant GHBBBBBC de FBBC.
Le nombre complexe est appelé affixe du vecteur FBBC (et de tout représentant GHBBBBBC de FBBC).
4 Propriété 6 :
1) Si un nombre complexe est l’affixe du point E alors il est aussi l’affixe du vecteur @EBBBBBBC.
2) L’affixe du vecteur nul est 0.
3) Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont la même affixe.
4) Soient FBBC et FBBC′ deux vecteurs d’affixes respectives IBBC et IBBBBBC. a) Le vecteur FBBC + FBBC′ a pour affixe IBBC+ IBBBBBC.
b) Pour tout réel J, le vecteur JFBBC a pour affixe J × IBBC
5) Soient G et H deux points d’affixes respectives K et L. a) Le vecteur GHBBBBBC a pour affixe L− K.
b) Le milieu du segment [GH] a pour affixe O ==(K + L)
2) Argument, module et forme trigonométrique Définition 6 :
Soit = + i un nombre complexe non nul avec et réels. Soit E l’image de dans le plan complexe.
On appelle argument de une mesure P de l’angle QABC; @EBBBBBBCR. On notera arg = P = QABC; @EBBBBBBCR[2V].
Remarques :
1) On a vu que le module du nombre complexe = + i est égal à || = 5+ ².
Si E est l’image de dans le plan complexe, alors || = @E 2) Les coordonnées W = || et P = arg[2V] sont
appelées coordonnées polaires de E.
Théorème - définition 1 :
Soit = + i un nombre complexe non nul avec et réels.
Un argument de est un angle P exprimé en radian, noté arg tel que : cos P =
5² + ² et sin P = 5² + ² Le nombre complexe z s’écrit alors sous la forme :
= 5² + ² [
5² + ² + i
5² + ²\ = ||cos P + i sin P Cette dernière écriture est appelée écriture trigonométrique du nombre complexe .
Exemple : Soit = 1 + i . Exprimer la forme trigonométrique de . Remarque :
= −3 2cos 2V
43 + i sin 2V
433 nest pas la forme trigonométrique de car − 3 est négatif !
5 Propriété 7 : Pour tous nombres complexes et ’ non nuls : 1) = ’ ⇔ e || = |′|
arg = arg + 2JV avec J ∈ ℤh 2) arg = − arg [2V]
3) arg− = arg + V[2V]
4) arg’ = arg + arg[2V]
5) Pour tout ( ∈ ℕ∗, arg/ = ( × arg [2V]
6 arg 01
1 = −arg[2V]
7 arg 2
3 = arg − arg[2V]
3) Notation exponentielle
Soit k la fonction définie sur ℝ (et à valeurs dans ℂ) par : kl = cosl + sinl La fonction k vérifie la même équation fonctionnelle que la fonction exponentielle : kl + l = kl × kl ainsi que k0 = 1.
On peut rajouter : k−l = 1
kl kl − l = kl
kl
Pour tout entier naturel (, k( × l = QklR/ Notation :
Pour tout réel P, on note emn = cos P + i sin P
Définition 7 :
Soit un nombre complexe de module W et d’argument P, alors l’ écriture = Wemn est appelée notation exponentielle du nombre complexe .
Exemples :
−1 = emo ; i = empq ; 1 + i = √2empr Propriété 8 : Pour tous réels P et P’ : 1) semns = 1 et argQemnR = P[2V]
2 emn× emnt = emnunt 3 emn = evmn= 1
emn 4 emn
emnt = emQnvntR
5) Formule de MOIVRE : Pour tout entier naturel (, QemnR/ = em/n
Les formules d’EULER : Pour tout réel P :
cos P = emn + evmn
2 et sin P = emn− evmn 2
6 4) Applications des nombres complexes en géométrie Théorème 1 :
Le plan est rapporté au repère orthonormé direct @; ABC, DC.
G, H w et x sont quatre points du plan distincts deux à deux d’affixes respectives K, L, y et z. 1) GH = |L− K|
2 QABC, GHBBBBBCR = argL− K [2V]
3 wx
GH = {z− y L− K{
4 QGHBBBBBC, wxBBBBBCR = arg 0z− y L− K1 [2V]
Exercice :
Le plan est rapporté au repère orthonormé direct @; ABC, DC.
Soient G, H w et x quatre points du plan d’affixes respectives K, L, y et z définies par : K = −2i , L= −√3 + i , y = √3 + i et z = −√3 − i
1) Montrer que G, H w et x sont situés sur un même cercle de centre @. 2) Montrer de deux façons que le triangle GHw est équilatéral.
3) Déterminer l’ensemble (E) des points E d’affixe tels que | + 2i| = s + √3 − is. Le point x appartient-il à (E) ?
