Maths expertes – Chapitre 1 Page 1
Chapitre I : Les nombres complexes : partie algébrique
I – L’ensemble ℂ des nombres complexes
1) Définition Définition 1 :
On admet qu’il existe un ensemble de nombres, noté ℂ, vérifiant les propriétés suivantes : - ℂ contient un nombre noté tel que ² = −1 ;
- Tous les éléments de ℂ s’écrivent de manière unique sous la forme + où et sont des nombres réels ;
- ℂ est muni de l’addition et de la multiplication avec les mêmes propriétés que dans l’ensemble des réels ;
- Le nombre 0 s’écrit 0 + 0.
Cet ensemble ℂ est appelé l’ensemble des nombres complexes.
Vocabulaire :
L’écriture sous la forme = + où et sont des nombres réels est appelée écriture algébrique ou forme algébrique du nombre complexe .
Le nombre s’appelle la partie réelle de et on note = (). Le nombre s’appelle la partie imaginaire de et on note = (). Exemple 1 :
Le nombre 3 − 2 est un nombre complexe avec = 3 et = −2. Les nombres 5, 0 et −4 sont aussi des nombres complexes.
Remarque 1 :
1) Les réels sont des complexes particuliers (complexes dont la partie imaginaire est nulle) : ℝ ⊂ ℂ 2) Les complexes dont la partie réelle est nulle sont appelés imaginaires purs, on note ℝ leur ensemble.
2) Propriétés algébriques
On définit l’addition et la multiplication des complexes de la façon suivante : Propriété 1 :
Notons = + et = + deux nombres complexes et un réel.
1) + = ( + ) + (+ ′) = ( + ′) + ( + ′) 2) − = ( + ) − (+ ′) = ( − ′) + ( − ′) 3) ( + ) = () + ()
2) × ’ = ( + )(+ ′) = + + (+ ) = (− ) + (+ ) Exemple 2 :
On pose = 3 − 2 et = −5 +
+ = (3 − 2) + (−5 + ) = 3 − 5 − 2 + = −2 − Ainsi ( + ) = −2 et ( + ) = −1
× = (3 − 2) × (−5 + ) = −15 + 3 + 10 − 2 = −15 + 13 + 2 = −13 + 13 Ainsi ( × ) = −13 et ( × ) = 13
Maths expertes – Chapitre 1 Page 2 Remarque 2 :
On retrouve également dans ℂ la propriété suivante : × ’ = 0⇔ = 0 ou = 0
Autrement dit : un produit de nombres complexes est nul si et seulement si au moins l’un des facteurs est nul.
L’unicité de l’écriture algébrique conduit au résultat suivant : Propriété 2 :
Pour tous réels , , et ′ ∶ 1) + = 0 ⇔ = 0 et = 0
2) + = + ⇔ = et = ′
Démonstration :
1) Première implication : supposons que + = 0 et montrons que = 0 et = 0 Raisonnons par l’absurde et supposons que et ne sont pas simultanément nuls.
Si = 0, alors l’égalité + = 0 donne + × 0 = 0 et donc = 0 ce qui est contraire à notre hypothèse.
Si ≠ 0, alors + = 0 donne = − et donc = −'(
Or et étant réels, −'( est réel et donc i est réel ce qui est impossible ! L’hypothèse formulée est donc fausse : ainsi et sont simultanément nuls Ainsi : + i = 0 ⇒ = 0 et = 0
Deuxième implication : = 0 et = 0 ⇒ + = 0 + × 0 = 0 Conclusion : + = 0 ⇔ = 0 et = 0
2) + = + ⇔ ( + ) − (+ ) = 0 ⇔ ( − ) − ( − ) = 0
⇔ − = 0 et − = 0 (daprès 1) ⇔ = et = . Exemple 3 :
Résoudre dans ℂ l’équation 2 + 5 = + 3
On écrit = 2 + 3 où 2 et 3 sont deux réels à déterminer.
2(2 + 3) + 5 = (2 + 3) + 3 ⇔ 22 + 23 + 5 = 2 + 3 + 3 ⇔ 22 + (23 + 5) = (3 − 3) + 2
⇔ 422 = 3 − 323 + 5 = 2 ⇔ 4 3 = 3 − 22
2 = 2(3 − 22) + 5 ⇔ 5 3 = 3 − 22
2 = 6 − 42 + 5 ⇔ 53 = 3 − 22
52 = 11 ⇔ 7
3 = −89 2 =::9 Conclusion : =11
5 −7 5 Propriété 3 :
Le nombre complexe = + avec (; ) ≠ (0; 0) admet pour inverse le nombre complexe dont l’écriture algébrique est donnée par :
1 = −
² + ² =
² + ² + −
² + ² Démonstration :
1
= 1
+ = −
( + )( − ) = −
− () = −
² + ² =
² + ² + −
² + ²
Maths expertes – Chapitre 1 Page 3 Exemple 4 :
2 − 3 =1 2 + 3
(2 − 3)(2 + 3) =2 + 3
4 + 9 =2 + 3 13 = 2
13 + 3 13 Exemple 5 : Retour sur l’exemple 3
Résoudre dans ℂ l’équation 2 + 5 = + 3 avec une autre méthode.
2 + 5 = + 3 ⇔ 2 − = 3 − 5 ⇔ (2 − ) = 3 − 5 ⇔ =3 − 5
2 − = (3 − 5)(2 + )
(2 − )(2 + ) =11 − 7 5 Conclusion : =11
5 −7 5 3) Identités remarquables Propriété 4 : Pour tous réels et : ( + ) = − + 2
( − ) = − − 2 ( + )( − ) = + Remarque 3 :
On connaissait la formule de factorisation dans ℝ : − = ( + )( − )
On connaît désormais une nouvelle formule de factorisation dans ℂ : + = ( + )( − ) Propriété 5 : Formule du binôme de Newton
Pour tous complexes C et D et pour tout entier naturel E : (C + D)F = G HE
IJ CKDFLK
F KMN
Remarque 4 : Les nombres HE
IJ sont appelés coefficients binomiaux, ils vérifient les propriétés : HE
0J = 1 ; HE
EJ = 1 ; HE
1J = E OE
IP + O E
I + 1P = OE + 1 I + 1P
Ces propriétés donnent le triangle de PASCAL ci- contre.
Triangle de PASCAL :
À compléter avec les valeurs de HFKJ
Exemple 6 :
(1 + )9 = H50J1N9LN+ H51J1:9L:+ H52J1 9L + H53J1Q9LQ+ H54J1R9LR+ H55J199L9
= 1 × 9+ 5 × R+ 10 × Q+ 10 × + 5 × :+ 1 × N = + 5 − 10 − 10 + 5 + 1 = −4 − 4 n p 0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
Maths expertes – Chapitre 1 Page 4 Démonstration : Par récurrence sur E
Notons T(E) la propriété ∶ (C + D)F = G HE
IJ CKDFLK
F
KMN
Montrons que T(E) est vraie pour tout entier naturel E. Initialisation : Pour E = 0, (C + D)N = 1 et G HE
IJ CKDFLK = H00JCNDNLN = 1
N
KMN
Ainsi T(0) est vraie
Hérédité : Supposons que T() est vraie pour un entier naturel et montrons que T( + 1) est vraie.
Autrement dit : Supposons que (C + D)\= G OIPCKD\LK
\ KMN
Iour un entier naturel et montrons que (C + D)\]: = G O + 1I P CKD\]:LK
\]:
KMN
(C + D)\]:= (C + D)\× (C + D) = C(C + D)\+ D(C + D)\ = C G OIPCKD\LK
\
KMN + D G OIPCKD\LK
\
KMN
= G OIPCK]:D\LK
\
KMN + G OIPCKD\]:LK
\
KMN
= G OIPCK]:D\LK
\L:
KMN + HJC\]:D\L\+ G OIPCKD\]:LK
\
KM: + H0JCND\]:LN On effectue le changement de variable I = ^ − 1 dans la première somme
= G H ^ − 1J C_D\L(_L:)
\ _M:
+ C\]:+ G OIPCKD\]:LK
\ KM:
+ D\]:
= G H ^ − 1J C_D\]:L_
\
_M: + G OIPCKD\]:LK
\ KM:
+ C\]:+ D\]:
On regroupe les deux sommes (l’indice de sommation ^ est changé en I)
= G `O I − 1P + O
IPa CKD\]:LK
\ KM:
+ C\]:+ D\]:
On applique la 2ème propriété de la remarque 4
= G O + 1I P CKD\]:LK
\ KM:
+ C\]:+ D\]:
Or C\]:= H + 1 + 1J C\]:D\]:L(\]:) et D\]: = H + 10 J CND\]:LN Donc (C + D)\]:= G O + 1I P CKD\]:LK
\ KM:
+ H + 1 + 1J C\]:D\]:L(\]:)+ H + 10 J CND\]:LN
= G O + 1I P CKD\]:LK
\]:
KMN
Maths expertes – Chapitre 1 Page 5 II –Nombres complexes conjugués
Définition 2 :
On appelle conjugué du nombre complexe dont l’écriture algébrique est donnée par = + i, le nombre complexe noté ̅ dont l’écriture algébrique est donnée par ̅ = − i.
Exemple 7 :
5 + 3i = 5 − 3i ; −2 − 4i = −2 + 4i; 2i = −2i ou encore −3 = −3 Propriété 6 :
Soient et ’ deux nombres complexes et E ∈ ℕ∗.
1) ̿ = ()iiii = 2) + ̅ = 2() 3) − ̅ = 2 × () 4) × ̅ = j()k + j()k 5) + ′iiiiiiii = + ′l 6) × ′iiiiiii = × ′l 7) F = ()F
Si de plus et ’ sont non nuls : 8) O1
P =1
9) H
′J =
′l
Démonstration : Notons = + et ’ = ’ + ’ 1) ̿ = j + niiiiiiiiiii = ( − n)iiiiiiiik iiiiiiiiiii = + =
2) + ̅ = ( + ) + ( − ) = 2 = 2() 3) − ̅ = ( + ) − ( − ) = 2 = 2 × ()
4) × ̅ = ( + ) × ( − ) = + = j()k + j()k
5) + ′iiiiiiii = ( + iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii = ( + ) + n( + ) ) − ( + ) = ( − ) + (− ) = + ′l 6) × ′iiiiiii = (iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii = (− ) + n(+ ) − ) − (+ )
Et × ′l = ( − )(− ) = − − (+ ) = × ′iiiiiii 7) Par récurrence sur E :
: = = (): donc l’égalité est initialisée pour E = 1.
Supposons que \= ()\ pour un entier naturel non nul et montrons que \]:= ()\]:
\]:= \× = \× (daprès 6) = ()\× (daprès HR) = ()\]:
L’égalité est initialisée en 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout E ∈ ℕ∗. 8) ×1
= 1 ⇒ ×1 iiiiiii
= 1i ⇒ × O1
P = 1 ⇒ O1 P =1
9) H
′J = × 1
= × O1
′P (daprès 6) = × 1
(daprès 8) =
′l Exemple 8 :
O
1 + P = n̅
1 + n
iiiiii = −
1 − = −(1 + )
(1 − )(1 + ) =1 − 2 =1
2 −1 2
Maths expertes – Chapitre 1 Page 6 Remarque 5 : Autre écriture du point 4 de la propriété 6 :
̅ = ( + )( + i) = ( + i)( − i) = ² − (i) = + ² Le produit d’un complexe par son conjugué est donc un réel positif.
Conséquence pratique pour étudier la nature d’un nombre : Propriété 7 :
1) est un nombre réel ⇔ ̅ =
2) est un imaginaire pur ⇔ ̅ = − ⇔ ̅ + = 0
Démonstration :
1) ̅ = ⇔ ̅ − = 0 ⇔ 2 × () = 0 ⇔ () = 0 ⇔ est un nombre réel 2) ̅ = − ⇔ ̅ + = 0 ⇔ 2() = 0 ⇔ () = 0 ⇔ est un imaginaire pur Exemple 9 :
Déterminons tous les nombres complexes z tels que − ̅ est un nombre réel.
− ̅ est un nombre réel ⇔iiiiiiii = − ̅ − ̅ ⇔ iii − ()iiii = − ̅ ⇔ ̅ − = − ̅
⇔ ̅ − − + ̅ = 0 ⇔ ̅ − + ̅ − = 0 ⇔ (̅ − )(̅ + ) + ̅ − = 0
⇔ (̅ − )(̅ + + 1) = 0 ⇔ ̅ − = 0 ou ̅ + + 1 = 0⇔ ̅ = ou ̅ + = −1
⇔ est un nombre réel ou () = −1 2
⇔ ∈ ℝ ∪ 4−1
2 + où ∈ ℝt
Autre méthode : Posons = + où et sont des réels.
− ̅ = ( + ) − ( − ) = − + 2 − + = ( − − ) + (2 + ) − ̅ est un nombre réel ⇔( − ̅) = 0 ⇔ 2 + = 0 ⇔ (2 + 1) = 0
⇔ = 0 ou 2 + 1 = 0 ⇔ = 0 ou = −1 2
⇔ ∈ ℝ ∪ 4−1
2 + où ∈ ℝt
