Donner la forme algébrique des complexes suivants :

PanaMaths

Février 2002

Donner la forme algébrique des complexes suivants :

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )

( )

1 2

2

3 4

2 3

5 6

4

7 8

9 10

11 12

3 5 2 18 2

4 2 1 3 4 3

5 2 1 3

1 2 1 3

2 1 5 3

2 4

6 5 2 7 5 2 3

1 1 2 1

z i i z i i

z i i i z i

z i z i

z i z i

i

i i

z i z

i i

i i i i

z z

i i i i

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − + = − −

= + − + − = −

= + = −

= − − = + −

+ −

= − = +

− − + + +

= + + − + = + −

Analyse

L’exercice fait appel aux propriétés élémentaires des nombres complexes.

Résolution ( )( )

1 3 5 2

z = −i + i

On développe le produit proposé et on regroupe les termes (réels et imaginaires) :

( )( )

1 3 5 2 15 6 5 2 15 2 17

z = −i + i = + − −i i i = + + =i +i

( )

2 18 2

z = −i − i

( )

2 18 2 18 2 18 2 2 18

z = −i − i = − i+ i = − i− = − − i

( )( )( )

3 4 2 1 3

z = +i − +i − i

( )( )( ) (

) ^{( ) ( )( )}

3

2

4 2 1 3 8 4 2 1 3 9 2 1 3

9 27 2 6 9 29 6 3 29

z i i i i i i i i i

i i i i i

= + − + − = − + − + − = − + −

= − + + − = − + + = − +

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( )

4 4 3

z = − i

L’identité remarquable :

(

)

( )

( )

4 4 3 16 24 3 16 24 9 7 24

z = − i = − i+ − i = − i− = − i

( )

5 5 2

z = + i

( )

5 5 2 25 10 2 2 25 10 2 2 23 10 2

z = + i = + i+ i = + i− = + i

( )

6 1 3

z = − i

On peut, avec les nombres complexes, utiliser l’égalité :

(

)

( )

( ) ( ) ( )

( )

3 6

2 3

2 3

1 3

1 3 3 3 3 3

1 3 3 3 3 3 3 1 3 3 9 3 3

8

z i

i i i

i i i

i i

= −

= + − + − + −

= − + −

= − − +

= −

( )

7 1 2

z = − − i

( ) (

)

( ) ( )

( ) ( )

7

2 3 4

1 2 1 2 1 4 2 6 2 4 2 2

1 8 24 32 16 1 8 24 32 16

7 24

z i i i i i i

i i i i i i

i

= − − = + = + + + +

= + + + + = + − − +

= − −

8

1 3 2 z i

i

= − +

On transforme ici classiquement la fraction en multipliant le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée du dénominateur pour que le dénominateur de la nouvelle fraction soit réel :

( )( ) ( )( )

2

8 2

1 3 2

1 3 2 6 3 2 7 3 1 7 1 7

2 2 2 4 4 1 5 5 5

i i

i i i i i i

z i

i i i i

− −

− − − + − − − −

= = = = = = − −

+ + − − +

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9

1 2 z i

i

= +

−

( )( ) ( )( )

2

9 2

1 2

1 2 2 2 3 1 1 3 1 3

2 2 2 4 4 1 5 5 5

i i

i i i i i i

z i

i i i i

+ +

+ + + + + − +

= = = = = = +

− − + − +

( )

10

5 3 4

i i

z i

= − +

On peut ici commencer par développer le numérateur ou, conserver 5i en facteur et travailler sur la fraction 3

4 i i

−

+ . Nous développons la deuxième approche :

( ) ( )( )

( )( )

( ) ^{( )}

2

10 2

2

5 3 3 4 12 3 4 12 7 1

5 5 5

4 4 4 16 16 1

11 7 5 5 35 55

5 11 7 11 7

17 17 17 17 17

i i i i i i i i

z i i i

i i i i

i i i i i i

− − − − − + − −

= = = =

+ + − − +

= − = − = + = +

11

6 5 2 7

1 1

i i

z i i

− − +

= +

+ − +

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

11

2 2

2

6 5 1 2 7 1

6 5 2 7 6 5 2 7

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

6 5 1 2 7 1 6 6 5 5 2 2 7 7

1 2

1 1

6 11 5 2 5 7 10 16

2 2

5 8

i i i i

i i i i

z i i i i i i i i

i i i i i i i i i i

i

i i i

i

− − − +

− − + − −

= + = + = +

+ − + + − + − − +

= − − + − + = − − + + + − −

−

= − − + − + = −

= −

12

5 2 3

2 1

i i

z i i

+ +

= +

−

( ) ( )( ) ( )( )

12 2

2 2

5 2 3 1

5 2 3

2 1 2 1 1

1 5 2 2 3 3

2 1

1 5 2 5 3

2 2

1 5 1 5

2 2

0

i i i i

i i

z i i i i i

i i i i

i

i i

i i

+ + +

+ +

= + = +

− − +

− + + + +

= +

− −

− + −

= +

− − +

= +

=

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Résultat final

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

17 2 18

3 29 7 24

23 10 2 8

1 7

7 24 5 5

1 3 35 55

5 5 17 17

5 8 0

z i z i

z i z i

z i z

z i z i

z i z i

z i z

= + = − −

= − + = −

= + = −

= − − = − −

= + = +

= − =