COMPLEXES (point de vue algébrique)

COMPLEXES (point de vue algébrique)

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Calculs dans ℂ

Exercice 1 : mettre les nombres complexes suivants sous la forme algébrique :

a) (2 + 𝑖)(3𝑖 − 5) b) −𝑖 +_+,^* c) ^*-.,_+/, d) 1^*-.,_+/,2⁺

Exercice A : forme algébrique et calculs dans ℂ 1) On pose 𝑧_* = 2 − 3𝑖 et 𝑧₊ = 4 − 𝑖.

Donner la forme algébrique de :

𝐴 = 2𝑧_*− 3𝑧₊ 𝐵 = 𝑧_*𝑧₊ 𝐶 = 𝑧_*⁺ 𝐷 = 𝑧_*^. 2) Donner la forme algébrique de 𝑧 =^+-.,_:-,

Exercice 2 : montrer que le nombre complexe (1 + 2𝑖)(2 − 3𝑖)(2 + 𝑖)(3 − 2𝑖) est un nombre réel.

Exercice 3 : déterminer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses et justifier.

Proposition 1 : « le quotient de deux nombres imaginaires purs est un nombre réel. » Proposition 2 : « le quotient de deux nombres réels est un nombre imaginaire pur. » Proposition 3 : « la somme de deux nombres complexes n’est jamais réelle. » Proposition 4 : « le produit de deux nombres imaginaires purs est un nombre réel. » Proposition 5 : « la somme de deux nombres réels est un nombre complexe. »

Exercice 4 : effectuer le calcul : 1 + 𝑖 + 𝑖⁺+ 𝑖^. puis 𝑖^<=+ 𝑖^<>+ 𝑖^<<+ 𝑖^<?

Exercice 5 : compléter :

• 𝑖^: = (𝑖⁺)^… = (… )^… =…

• 𝑖^*: = (𝑖⁺)^… = (… )^… =…

• 𝑖^+*=. . .× 𝑖^+C =. . .× (𝑖⁺)^… =. . .× (… )^… =. . .× … =. ..

• 𝑖^*D =. . .× 𝑖^*? =. . .× (𝑖⁺)^… =. . .× (… )^… =. . .× … =. ..

Conjugué

Exercice 6 : soit 𝑗 le complexe tel que 𝑗 = −^*₊+^,√.₊ . a) Montrer que 𝑗⁺ = −1 − 𝑗.

b) En déduire la valeur de 𝑗^.. c) Que vaut 𝑗 + 𝑗⁺ + 𝑗^. ?

Exercice 7 : déterminer la forme algébrique du conjugué de 1^*₊+^*₊𝑖2^:

Exercice 8 : soient 𝑧 = 2 + 3𝑖et 𝑧^G = 5 − 2𝑖.

Écrire sous forme algébrique : 𝑧̅, 𝑧′J ; 𝑧̅ + 2𝑧′ ; 𝑧̅ × 𝑧′ ; ^*

K et _KG^K

Exercice 9 : on considère le nombre complexe 𝑧 =_D-+,^?/,. a) Déterminer la forme algébrique de 𝑧.

b) En déduire sans calcul la valeur de _D-+,^?/, +_D/+,^?-, et de _D-+,^?/, −_D/+,^?-,

Exercice 10 : on considère le nombre complexe : 𝑧 =^+/.,_<-,. 1. Déterminer la forme algébrique de 𝑧.

2. En utilisant les propriétés des conjugués, en déduire la valeur de 𝑧 + 𝑧̅ et de 𝑧 − 𝑧̅.

Exercice B : quotient complexe et conjugué Soit 𝑧 =^*.-*.,_=-, .

Déterminer la partie réelle, la partie imaginaire et le conjugué de 𝑧.

Exercice 11 : pour tout nombre complexe 𝑧, on considère le nombre complexe 𝑍 = 𝑧⁺+ 3 + 𝑧̅⁺+ 𝑧 × 𝑧̅.

Montrer que 𝑍 ∈ ℝ.

Exercice 12 : pour tout nombre complexe 𝑧, on pose : 𝑍 =^K/*_K̅/*.

Déterminer l’ensemble des nombres complexes 𝑧 tel que le nombre 𝑍 soit : a) réel.

b) imaginaire pur.

Équations du 1

ordre dans ℂ

Exercice 13 : résoudre dans ℂ les équations suivantes : a. 8𝑧 + 5𝑖 = 4 − 𝑧 + 𝑖 b. 2𝑖 + 3𝑧 = 𝑖(5 − 𝑖𝑧) c. 2𝑧 − 4 = 5𝑖 + 4𝑧 d. 𝑧 − 1 = 𝑧𝑧 − 𝑖

Exercice C : résolutions d’équations dans ℂ

Résoudre dans ℂ les équations suivantes et mettre le résultat sous forme algébrique : a) (−2 − 𝑖)𝑧 + 4 − 3𝑖 = 0

b) ^K-+,_K/: = 3 − 𝑖 c) 𝑧 = 2𝑧̅ − 2 + 6𝑖

Exercice 14 : résoudre dans ℂ ce système d’équations (𝑬): T2𝑧_*+ 𝑧₊ = 5𝑖 𝑧_*− 2𝑖𝑧₊ = 4

Exercice 15 : déterminer l’ensemble des réels 𝑥 et 𝑦 tels que (𝑥 + 2𝑖)(5 + 𝑦𝑖) = 4 + 16𝑖.

Exercice 16 : on considère la suite (𝑧_W) définie par 𝑧_C = 0 et pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑧_W/* = 𝑖 × 𝑧_W+ 2.

1. Déterminer la forme algébrique de 𝑧_* et 𝑧₊.

2. On considère le nombre complexe 𝑧_Z = 1 + 𝑖 et la suite (𝑢_W) définie pour tout 𝑛 ∈ ℕ par 𝑢_W = 𝑧_W− 𝑧_Z. a) Montrer que, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢W/* = 𝑖 × 𝑢_W.

b) Montrer que, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢_W = (−1 − 𝑖) × 𝑖^W à l’aide d’un raisonnement par récurrence.

c) En déduire l’expression de 𝑧W en fonction de 𝑛.

d) Déterminer la forme algébrique de 𝑧_*CC. Exercice D : complexes et suites

On considère la suite (𝑧_W) de nombres complexes définie pour tout entier naturel 𝑛 par :

\

𝑧_C = 0 𝑧_W/* = 1

2𝑖𝑧_W+ 5

Soient 𝑧_Z le nombre complexe tel que 𝑧_Z = 4 + 2𝑖 et (𝑢_W) la suite telle que 𝑢_W = 𝑧_W− 𝑧_Z. a) Montrer que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢_W/* =^*

+𝑖𝑢_W.

b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel 𝑛, on a : 𝑢_W = 1^*₊𝑖2^W× (−4 − 2𝑖)

Exercice 17 : on considère la suite(𝑧W) définie par 𝑧C = 1 − 𝑖 et pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑧W/* =_K^*

]. 1. Déterminer la forme algébrique de 𝑧_* et 𝑧₊.

2. Conjecturer l’expression de 𝑧_W en fonction de 𝑛.

3. Démontrer la conjecture précédente par récurrence.

Formule du binôme de Newton

Exercice 18 : développer et réduire grâce au binôme de Newton :

𝐴 = (𝑥 + 5)^: 𝐵 = (1 + 𝑖)^. 𝐶 = (2 + 3𝑖)⁼ 𝐷 = (𝑥 − 1)^>

Exercice 19 : démonstration de la formule du binôme de Newton

Cette formule se démontre par récurrence sur 𝑛. On note 𝑃(𝑛) : « (𝑎 + 𝑏)^W = ∑ 1𝑛

W 𝑠2

cdC 𝑎^c𝑏^W-c » Grâce à cette démonstration présentée ci-dessous, répondre aux questions suivantes :

1) Quelle technique de calcul justifie le passage de la ligne 1 à la ligne 2 ?

2) Entre les lignes 2 et 3, les termes de degré 𝑛 + 1 sont exclus de chaque somme.

A quelle valeur de 𝑘 correspondent-ils pour chacune des sommes ?

3) Quel changement de variables justifie le passage entre la ligne 3 et la ligne 4 ? 4) Expliquer le « regroupement » des deux sommes entre les lignes 5 et 6.

5) Rappeler la formule liée au triangle de Pascal pour expliquer la ligne 7.

Exercices supplémentaires

Exercice 𝜶 : soit 𝜆 un nombre complexe non-nul et différent de 1. On définit, pour tout entier naturel 𝑛, la suite (𝑧_W) de nombres complexes par T 𝑧_C = 0

𝑧_W/* = 𝜆𝑧_W+ 𝑖 1) Étude du cas général.

a) Vérifier les égalités suivantes :

• 𝑧_* = 𝑖

• 𝑧₊ = (𝜆 + 1)𝑖

• 𝑧_. = (𝜆⁺ + 𝜆 + 1)𝑖

b) Démontrer que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑧_W =^h_h-*^]-*× 𝑖.

2) Étude du cas 𝜆 = 𝑖.

a) Montrer que 𝑧_: = 0.

b) Pour tout entier 𝑛, exprimer 𝑧_W/: en fonction de 𝑧_W.

3) a) On suppose maintenant qu’il existe un entier 𝑘 tel que 𝜆ⁱ = 1.

Démontrer que, pour tout entier 𝑛, on a 𝑧W/i = 𝑧_W.

b) Réciproquement : montrer que s’il existe un entier 𝑘 tel que, pour tout entier 𝑛, 𝑧_W/i = 𝑧_W, alors 𝜆ⁱ = 1.