Les nombres complexes d’un point de vue algébrique
Classe de terminale - option maths expertes
Jérôme Cardan - Wikimedia
Les nombres complexes naissent au XVIème siècle grâce au mathématicien, philosophe et médecin italien Gerolamo Cardano (1501-1576) ou en français Jérôme Cardan. Celui-ci introduit le nombre p
−15 afin de résoudre des équations du troisième degré
En 1572, Rafaele Bombelli (1526-1573), également italien, publie « Algebra, parte maggiore dell’arithmetica, divisa in tre libri » dans lequel, il présente des nombres sous la forme a+bp
−1. Il poursuit les travaux de Cardan sur la recherche de solutions pour les équations du troisième degré.
À cette époque, on sait manipuler les racines carrées d’entiers négatifs, mais, il ne sont pas considérés comme des nombres, on les appelle « imaginaires ».
La notation « i » apparaît en 1777 avec Leonhard Euler (1707-1783) qui déve- loppe la théorie des nombre complexes. Au XIXème siècle, Gauss et Hamilton posent les structures de l’ensemble des complexes et les nombres sans partie imaginaire sont qualifiés de réels.
Leonhard Euler- Wikimedia
I - Définitions
Définition : Il existe un ensemble C appelé ensemble des nombres complexes possédant les propriétés suivantes :
• C contient IR ;
• l’addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes ;
• il existe un nombre notéi dansCtel que i2= −1 ;
• tout élément deC s’écrit de manière unique sous la formez =a+i b où a etb sont des nombres réels.
Exemple : Les nombres 2+4i, p
2+p 5i, 5
7+ 3
7i, 13 etπ sont tous des nombres complexes.
Définitions : L’écriture a+i b est appelée forme algébrique du nombre complexez.
Le nombrea est la partie réelle de z notéeRe(z) etb est la partie imaginaire de z notée I m(z).
Exemple : Le nombrez =2+4i est tel que Re(z)=2 et I m(z)=4.
Remarque : Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appelé imaginaire pur.
Propriétés : Soient z =a+i b et z0=a0+i b0 deux nombres complexes.
• z =z0⇔Re(z)=Re(z0) et I m(z)=I m(z0).
• z =0⇔Re(z)=0 et I m(z)=0.
Preuve : Si a =a0 et b=b0 alors z =a+i b=a0+i b0=z0
Réciproquement, si z=z0 alors a+i b =a0+i b0⇔a−a0=i(b0−b).
Supposons, en raisonnant par l’absurde que b6=b0 alors a−a0
b0−b =i , or les nombres a, a0, b et b0 sont tous des nombres réels donc le quotient a−a0
b0−b l’est aussi ce qui est absurde puisque i n’est pas un nombre réel.
On en déduit que nécessairement b=b0 et, par conséquent a =a0 également.
La deuxième propriété est alors une conséquence immédiate de cette première.
II - Opérations avec les nombres complexes
Propriétés : Pour tous nombres réels k, a, a0,b et b0, on a :
• (a+i b)+(a0+i b0)=(a+a0)+i(b+b0)
• (a+i b)−(a0+i b0)=(a−a0)+i(b−b0)
• k(a+i b)=ka+i kb
• (a+i b)(a0+i b0)=(aa0−bb0)+i(ab0+a0b)
Preuve : Les additions et multiplications des nombres complexes prolongeant la définition des opérations sur les réels, la preuve est immédiate.
Exemple : • (2+3i)+(−7+5i)= −5+8i
• 1
3×(6−9i)=2−3i
• (5−2i)(−4+7i)=5×(−4)+5×7i+(−2i)×(−4)+(−2i)×(7i)= −20+35i+8i +14= −6+43i
Propriétés : Pour tout nombre complexe z non nul, il existe un unique nombre complexe z0 tel quel z×z0=1.
z0 est appelé inverse de z et est noté 1 z.
Exemple : L’inverse du nombre complexe z = −2+3i est le nombre 1
z = −2 13 − 3
13i
Remarque : Des propriétés précédentes, on peut déduire que pour tous réels a et b :
• z2=(a+i b)2=a2−b2+2i ab
• (a−i b)2=a2−b2−2i ab
• (a+i b)(a−i b)=a2+b2
Propriété : Formule du binôme de Newton Pour tous nombres complexesa et b, on a :
(a+b)n =
n
X
k=0
Ãn k
!
akbn−k
Preuve : Cette propriété se démontre par récurrence, nous le verrons en exercices.
III - Conjugué d’un nombre complexe
Définition : On appelleconjugué d’un nombre complexe z =a+i b le nombre complexe noté z ayant la même partie réelle et une partie imaginaire opposée soit :z =a−i b.
Exemples : • i = −i
• 3+2i =3−2i
• 5=5
Propriété : Pour tous nombres complexes z et z0, on a :
• z =z
• z+z0= z+z0
• z×z0= z×z0
• zn =zn
• si z06=0, µ1
z0
¶
= 1
z0 et³z z0
´
= z z0
Preuve : Ces propriétés se démontrent en écrivant z =a+i b et z0=a0−i b0.
