Nombres Complexes: Approche algébrique

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Nombres Complexes: Approche algébrique

Je m’ Exerce Exercice 1

Forme algébrique, Module et conjugué

1. Déterminer le module et le conjugué des nombres complexes suivants:

a) z1= 3 + 6i

3−4i b)z2= 1 +i 2−i

!2

c)z3 = −1 2+i

√3

2

!3

d)z5= 1 (1 + 2i)(3−i)

2. Mettre sous la formea+ib,a,b∈R les nombres complexes précédents.

Exercice 2

Nombres complexes et équations de degré ≥2 dans C 1. Résoudre dansC les équations suivantes:

a) z²+z+ 1 = 0 b)z²−(5i+ 14)z+ 2(5i+ 12) = 0 c) z⁴+ 2z²+ 4 = 0 d) z³+ 3z−2i= 0(iest une solution)

e) z²−(1 +a)(1 +i)z+ (1 +a²)i= 0,a∈R.

2. a. Résoudre dans C, l’équation: (z²−4z+ 5) +i(z+ 1) = 0.

En déduire la résolution dans Cde l’équation:

(z²−4z+ 5)²+ (z+ 1)²= 0.

b. Montrer qu’il existe des réels a,b,cetdqu’on peut déterminer tels que:

Pour tout réel x,(x²−4x+ 5)²+ (x+ 1)²= (x²+az+b)(x²+cx+d)

3. Résoudre dansCl’équation: z³−(11 + 2i)z²+ 2(17 + 7i)z−42 = 0, sachant qu’elle admet une solution réelle.

4. Soit p(z) =z⁴+z³+ 3z²+ 2z+ 2, un polynôme dans C.

a. Montrer quep(z), peut s’écrire comme produit de deux polynômes de degré 2dont l’un est z²+ 2.

b. Résoudre dans Cl’équation p(z) = 0.

5. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O;−→e₁;−→e₂). L’unité de longueur est le centimètre. On considère les ploynômes p etq suivants definis par:

p(z) =z³+ (1−2i)z²+ (1−2i)z−2ietq(z) =z³−8 + 8i.

i. a. Résoudre dans Cl’équationq(z) = 0. .

(Donner les solutions sous leurs formes algébriques respectives)

b. Représenter les points d’affixes, les nombres complexes solutions de l’équationq(z) = 0. Quelle est la nature exacte du polygone formé par ces points?

ii. a. Montrer quep(z) possède une racine imaginaire pure que l’on précisera.

b. Déterminer le polynôme du second degré htel que: p(z) = (z−2i)h(z).

3. Resoudre dansC l’équationp(z) = 0.

Exercice 3

Nombres complexes et équations de degré ≥2 dans C 1. On considère dansCl’ équations (E) :z³+ 6z²+ 12z−16 = 0.

a. Montrer que si z₀ est solution de (E) alorsz₀ l’est aussi.

b. Montrer que 1 +i√

3 est une solution de(E).

c. Résoudre dans Cl’ équations (E).

2. On considère dansCl’ équations (E) :z⁴+ 2z³−6z²+ 2z+z= 0.

a. Montrer que si z0 est solution de (E) alorsz0 l’est aussi.

b. Montrer que si z₀ est solution de (E) alors 1

z₀ l’est aussi.

c. Montrer que 1est une solution de (E). En déduire dans Cl’ensemble des solutions de l’ équations(E).

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Nombres Complexes: Approche géométrique

Exercice 1

Formes algébrique, trigonométrique et exponentielle 1. Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants:

a) z1= 2e^2iπ3 b)z2 =√

2e^iπ8 c)z3 =

2e^−iπ4 e^i3π4

d)z4 = 2e^−iπ4 e^−i3π4 . 2. Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants:

a) z1 = 3 + 3i b)z2 =−1−i√

3 c)z3 =−4

3i d) z4 = 1 +i√

√ 3

3−i e) z5 = 1 +e^iθ. ( pourra factoriser z₅ pare^iθ2.)

3. Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants:

a)z₁ = cos^π₇ +isin^π₇

(1+i) 1−i√ 3 2

!

b)z₂ =

√

2 cos₁₂^π −isin₁₂^π

−1 +i c)z₃ = (1−i) cos^π₅ +isin^π₅ (1+

i)(√

3−i) d) z4 = 1 + cosθ+isinθ,θ ∈]−π, π] e) z5 = tanθ−i

tanθ+i,θ 6= ^π₂ +kπ, k∈Z. (Uniquement Tle C.)

6. Après avoir rappelé la formule de Moivre, Mettre sous la forme trigonométrie, exponentielle et algébriques les nombres complexes:

a) z1= 1 +i√ 3 2

!2010

b)z1= 1 +i√ 3

−1 +i

!1999

. 6. Soit z=p

2 +√ 3 +ip

2−√ 3.

a. Calculer z², puis donner le module et un argument dez². Ecrire z². sous la forme trigonométrique.

b. En déduire le module et un argument dez.

Exercice 2

Racine n-ième d’un nombre complexe 1. Déterminer les racines 5-ièmes de l’unité.

2. Résoudre dansC les équations suivantes:

a) z³ = −2 + 2i b) 3z iz+ 1

!4

= 1 c) z⁶ = 1 +i√ 3 1−i√

3 d) z⁶ + 27 = 0 e)

27(z−1)⁶+ (z+ 1)⁶ = 0.

3. a. Déterminer les solutions dans Cde : u⁴=−4, sous formes trigonométrique.

b. Déterminer les solutions dans Cde l’équation(z+ 1)⁴+ (z−i)⁴ = 0.

4. Résoudre dansC, l’équation (z+ 1)ⁿ= (z−1)ⁿ. 5. a. Montrer que (1 +i)⁶=−8i.

b. En déduire les solutions de l’équation (E): z² =−8i.

c. Ecrire les solutions de (E) sous formes algébrique et trigonométrique.

d. Déduire de la question 3.a) une solution de (E0): z³=−8i.

5. Uniquement Tle C

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a. Pour quelles valeurs dez∈C,|1 +iz|=|1−iz|?

b. On considère l’équation (E): 1 +iz 1−iz

!n

= 1 +ai

1−ai,n ∈R. Montrer sans calculer, que les solutions de (E) sont réelles. Trouver alors ces solutions.

c. Calculer les racines cubiques de

√ 3 +i

√3−i. Exercice 3

Nombres complexes et lieux géométriques

1. Déterminer l’ensemble des nombres complexes ztels que 1−z

1−iz soit un nombre réel.

2. Déterminer l’ensemble des nombres complexes ztels que 1−z

1−iz soit un imaginaire pur.

Exercice 3

Nombres complexes et lieux géométriques A. On considère les nombres complexes a=−√

3 +i,b= 3 + 2ietc= 7−2i 1. Déterminer l’ensemble(Γ) des pointsM d’affixez tels que:

|z−b|=|z−c|

2. Déterminer l’ensemble(Π) des pointsM d’affixez tels que:

2|z−b|=|a|

3. Soit f l’application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixez associe le pointM⁰ d’affixe z⁰ telle que:

z⁰= (1 +i√

3)z−5i√ 3

a. Démontrer quef admet un seul point invariant que l’on noteraΩet dont on déterminera l’affixe.

b. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f.

c. Déterminer et construire les images parf des ensembles (Γ)et(Π)

B. Soitf l’application du plan dans lui-même qui à tout pointM d’affixe zassocie le point M⁰ d’affixe z⁰ telle z⁰= (1 +i)z−2

a. Déterminer et construire(Γ)ensemble des points M d’affixez tel que: |z⁰+ 2|= 2√ 2 b. Déterminer l’image(Γ⁰) de(Γ) parf.

c. Donner l’expression analytique de f.

d. En déduire l’image de la droite (D⁰) image de (D) : y= 2x+ 1parf.

Raisonnement par récurrence

JE M’EXERCE

Exercice 1

Raisonnement par récurrence Démontrer par récurrence que pour tout nombre entier natureln≥1, on a:

1. Pn

k=1k= 1 + 2 + 3 +...+n= n(n+ 1)

2 .

2. 1³+ 2³+ 3³+...+n³=n(n+ 1) 2

2

. 3. Pn

k=1k³ = [Pn

k=1k]². Quelle remarque faites vous?

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5. Pn

k=1k2^k−1 = (n−1)2ⁿ.

6. On considère un nombre réel x >−1. Demontrer que(1 +x)ⁿ≥1 +nx. (inégalité de Bernoulli)

Exercice 2

Raisonnement par récurrence 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, on a:

a. ∀ n∈N,n≥4: 2ⁿ≥n². b. ∀ n∈N^∗: 1

3+ 1

15+...+ 1

4n²−1= n 2n+ 1.

2. Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln,3²ⁿ⁺¹+ 2×4³ⁿ⁺¹ est divisible par11.

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 2³ⁿ −1 est un multiple de 7. En déduire que 2³ⁿ⁺¹−2et2³ⁿ⁺²−4 sont aussi multiple de7.

5. a est un entier naturel non nul.

Démontrer par récurrence que ∀n∈N,(1 +a)ⁿ⁺¹−a(n+ 1)−1est divisible para².

Exercice 3

Raisonnement par récurrence 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel no nuln,

Pn

k=1k² = n(n+ 1)(2n+ 1)

6 .

2. En déduire Pn

k=1k(n−k) = (n−1)n(n+ 1)

6 .

2. Calculer: P2003

k=1 k(2003−k).

Exercice 4

Raisonnement par récurrenceDémontrer par récurrence que:

1. ∀n≥4,2ⁿ≥n². 2. ∀n≥4,n!≥n².

3. ∀n∈N,4ⁿ−1est divisible par 3.

4. ∀n∈N,3×5²ⁿ⁺¹+ 2³ⁿ⁺¹ est divisible par 17.

5. ∀n∈N^∗,

n

X

k=1

1

k(k+ 1) = n n+ 1

6. ∀n∈N^∗,

n

X

k=1

k(k+ 1) = n(n+ 1)(n+ 2) 3

Exercice 5

Uniquement Tle C Soitn un entier naturel supérieur ou égal à 2.

1. Démontrer par récurrence que : aⁿ−bⁿ= (a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+...+abⁿ⁻²+bⁿ⁻¹).

1. En déduire que sin est impaire alors: aⁿ+bⁿ= (a−b)(aⁿ⁻¹−aⁿ⁻²b+...−abⁿ⁻²+bⁿ⁻¹).

Arithmétique 1

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JE M’EXERCE Divisiblité dansZ. Exercice 1

Congruence modulo n On désigne paraun entier naturel non nul.

1. Déterminer un entier naturel non nuln tel que aⁿ≡1[7], poura= 2 puis pour a= 3.

2. on suppose que7n’est pas un diviseur dea. On appelle ordre deamodulo7, le plus petit entier naturel non nul ktel que a^k≡1[7].

a. Montrer quea⁶ ≡1[7].

b. Soit r le reste de la division euclidienne de 6 park. Montrer que r vérifie a^r ≡1[7].

En déduire que k divise6, puis préciser les valeurs possibles de k.

item[ c. ]Déterminer l’ordre modulo 7 de tout les entiers naturel non nul acompris entre 2et6.

3. Soit le nombreA_n= 2ⁿ+ 3ⁿ+ 4ⁿ+ 5ⁿ+ 6ⁿ,nun entier naturel non nul.

Montrer que A₂₀₀₆ ≡6[7].

Exercice 2

Suite et arithmétique

Soitaetb deux nombres réels. On considère la suite(un)n∈N définie par: un= an+b

2ⁿ etn∈N. 1. Montrer que pour tout réelx >0etn >1, on a: (1 +x)ⁿ> C_n²x².

2. En déduire que pour tout n >1, on a: |u_n|< 2(|a|n+|b|) n(n−1) . 3. Etudier la convergence de la suite(un)n∈N.

4. Montrer que les cinq premiers termes de la suite (u_n)n∈N sont des entiers si et seulement si a etb sont des entiers relatifs vérifiants a≡0[8] etb≡0[16].

Exercice 4

Division euclidienne dans N

1. Soita=bq+r représentant la division euclidienne deaparb. Calculerq sachant queqetrrestent invariant si l’on augmente ade 52 et bde 4.

2. Résoudre dansN, l’équation 4231 = 713x+y.

3. Dans l’écriturea=bq+r représentant la division euclidienne deaparb,a,b,q etrsont des entiers naturels.

a. Calculerbetq sachant quea= 557etr = 89.

b. Calculerb etr sachant quea= 1517 etq= 75..

Exercice 5

Division euclidienne dans Z 1. Déterminer le reste de la division euclidienne:

a) Par 5de 8¹⁹⁷⁴ b)Par 5de 35(487)²⁰⁰+ 42(523)¹⁰⁰−224.

2. Soit 50 et r le quotient et le reste de la division euclidienne d’un entier naturel a par un entier naturel b.

Sachant que a+b+r= 3025, rétablir la division.

2. Déterminer tous les entiers naturels ntels que n−2

n+ 5soit un entier relatif.

3. a. Etablir le critère de divisibilité par99.

b. Déterminer le reste de la division euclidienne de 10¹⁰⁰ par99.

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c. Un nombre s’écritxxyy en base10.

Déterminer x ety pour que xxyy soit divisible par 99.

Exercice 6

Congruences

1. Donner l’ensemble des diviseurs positifs de 97.

2. Soit p l’entier naturel tel que0< p <97.

a. Montrer que 97C₉₇^p−1 =pC₉₇^p . b. En déduire que pCn^p−1 ≡0[97].

c. Déduire que pour tout couple(a, b)d’entiers naturels, (a+b)⁹⁷≡a⁹⁷+b⁹⁷[97].

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln,on a:

n⁹⁷≡n[97].

4. Soient netm deux entiers naturels tels que

n×m≡1[97]. Montrer quen⁹⁶≡1[97] etm⁹⁶≡1[97].

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Épreuve de Mathématiques

Evaluation n⁰1 du trimestre 1

L'épreuve com porte cinq exercices, tou s obligatoires. La qualité de la rédaction et la clarté des rai sonnements seront pri ses en com pte par le correcteur.

Exercices Exercice 1

5 points \ Arithmétique - QCM - Démon stration s

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démontration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

Proposition 1. " Pour tout nombre premiern≥3,n²−1etn²+ 1sont premiers ". 1 pt Proposition 2. " Six∈Ztel que x vérifie l’équationx²+x≡0[6]alorsx≡0[3]". 1 pt Proposition 3. On pose δ=pgcd(a, b) etµ=ppcm(a, b) où a, b∈N.

" Il existe un couple(a;b) d’entiers naturels, tel que a < b etµ−δ = 1". 1 pt Proposition 4. Deux entiers naturelsxetysont tels quex a pour écritureabcen base 10 etya pour écriture bcaen base 10.

" Six est divisible par 27 alors l’entier x−y est aussi divisible par 27 ". 1 pt Proposition 5. " Sia, b∈N^∗ alors∀k∈N^∗,ppcm(ka;kb) =kppcm(a;b) ". 1 pt

Exercice 2

2,5 points \ Arithmétique et démon stration par récurrence 1. Soit x nombre réel non nul. Démontrer par récurrence que pour toutn∈N^∗:

1−x²+x⁴+...+ (−1)ⁿx²ⁿ− 1

1 +x²= (−1)ⁿx²ⁿ⁺²

1 +x². 1 pt

2. Soit S_n=

n

X

k=1

1

1 + 2 +...+k avec nun entier naturel supérieur ou égal à 1.

a. CalculerS1 etS2. 0,5 pt

b. Démontrer par récurrence que pour toutn≥1, on a: S_n= 2 1− 1 n+ 1

!

. 1 pt

Exercice 3

5,5 points \ Nombres com plexes et résolution d'équation s

1. a. Pour tout α∈R, résoudre dansCl’équation z²−2 cos (α)z+ 1 = 0. 1 pt b. En déduire la forme exponentielle des solutions de l’équation: z²ⁿ−2 cos (α)zⁿ+ 1 = 0, où n est un

entier naturel non nul. 1 pt

2. Soit p_α(z) =z²ⁿ−2 cos (α)zⁿ+ 1 = 0,α∈R. a. Justifier la factorisation suivante:p_α(z) =

n−1

Y

k=0

z²−2zcos α+ 2kπ n

! + 1

!

. 1 pt

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b. Calculerpα(1). 0,25 pt

En déduire que

n−1

Y

k=0

sin² α+ 2kπ 2n

!

= sin²(^α₂)

4ⁿ⁻¹ 1 pt

3. Pour toutα∈]0;π[et pour tout entier natureln≥2, on pose: Hn(α) =

n−1

Y

k=1

sin α+ 2kπ 2n

! .

a. Montrer que pour toutα non nul, on: 2ⁿ⁻¹Hn(α) = sin (^α₂)

sin (_2n^α) 0,75 pt

b. En deuire la limite deH_n(α), lorsqueα tend vers 0. 0,5 pt

Exercice 4

5,5 points \ Nombres com plexes et formules d'Euler, de Moivre 1. Démontrer que pour tous nombres réels aetb, on a:

e^ia+e^ib = 2 cos a−b 2

!

e^{i(a+b2 )} ete^ia−e^ib= 2isin a−b 2

!

e^{i(a+b2 )}. 1,5 pts

2. Soit la suite (u_n) définie par: u_n=

n

X

k=0

e^ikθ,θun réel différent de2mπ,m∈Z.

a. Montrer que : u_n= e^i(n+1)θ−1

e^iθ−1 , puis queu_n= sin ⁿ⁺¹₂ θ

sin^θ₂ e^inθ2 . 1 pt

b. Montrer que

n

X

k=0

cos (kθ) = sin ⁿ⁺¹₂ θ

cos (^nθ₂ ) sin^θ₂ et

n

X

k=0

sin (kθ) = sin ⁿ⁺¹₂ θ

sin (^nθ₂ )

sin^θ₂ . 0,75 pt c. Résoudre dans [0; 2π[, l’équation: 1 + cosx+ cos 2x+ cos 3x+ cos 4x= 0. 1,25 pt

3. Linéariser cos⁵x.sin²x. 1,25 pt

Exercice 5

1,5 points \ Nombres com plexes et lieux géométriques Déterminer et représenter le lieu géométrique des pointsM, d’affixez du plan vérifiant:

1. arg(2i−z)≡ π

3[2π]. 2. arg z−2i z+ 1

!

≡ π

2[π], avec z6=−1. 1,5 pt

Aide travail p_α(z) =

n−1

Y

k=0

a_k=a₀×a₁×...×an−2×an−1, oùa_k= (z²−2zcos (α+ 2kπ n ) + 1)

"Ce n’est pas le plus fort de l’espèce qui survit, ni le plus intélligent, mais le plus apte au changement."Charles Darwin Travaillez, travaillez, travaillez encore et travaillez par vous même.